In der Mathematik ist eine analytische Funktion eine Funktion, die durch eine konvergente Macht-Reihe lokal gegeben wird. Dort bestehen Sie sowohl echte analytische Funktionen als auch komplizierte analytische Funktionen, Kategorien, die in mancher Hinsicht ähnlich, aber in anderen verschieden sind. Funktionen jedes Typs sind ungeheuer differentiable, aber komplizierte analytische Funktionen stellen Eigenschaften aus, die allgemein für echte analytische Funktionen nicht halten. Eine Funktion ist analytisch, wenn, und nur wenn es seiner Reihe von Taylor in einer Nachbarschaft jedes Punkts gleich ist.

Definitionen

Formell ist ein Funktions-ƒ analytisch auf einem offenen Satz D in der echten Linie echt, wenn für einen x in D man schreiben kann

:\begin {richten }\aus

f (x) & = \sum_ {n=0} ^\\infty a_ {n} \left (x-x_0 \right) ^ {n} \\

& = a_0 + a_1 (x-x_0) + a_2 (x-x_0) ^2 + a_3 (x-x_0) ^3 + \cdots

\end {richten }\aus</Mathematik>

in dem die Koeffizienten a, a... reelle Zahlen sind und die Reihe zu (x) ƒ für x in einem konvergent

ist

Nachbarschaft von x.

Wechselweise ist eine analytische Funktion ungeheuer differentiable solche Funktion dass die Reihe von Taylor an jedem Punkt x in seinem Gebiet

:

T (x) = \sum_ {n=0} ^ {\\infin} \frac {f^ {(n)} (x_0)} {n!} (x-x_0) ^ {n }\

</Mathematik>

läuft zu (x) ƒ für x in einer Nachbarschaft von x (im Mittelquadratsinn) zusammen. Der Satz aller echten analytischen Funktionen auf einem gegebenen ist untergegangen D wird häufig durch C (D) angezeigt.

Wie man

sagt, ist ein auf einer Teilmenge der echten Linie definierter Funktions-ƒ analytisch an einem Punkt x echt, wenn es eine Nachbarschaft D von x gibt, auf dem ƒ analytisch echt ist.

Die Definition einer komplizierten analytischen Funktion wird durch das Ersetzen, in den Definitionen oben, "echt" mit "dem Komplex" und "der echten Linie" mit dem "komplizierten Flugzeug erhalten."

Beispiele

Die meisten speziellen Funktionen sind (mindestens in einer Reihe des komplizierten Flugzeugs) analytisch. Typische Beispiele von analytischen Funktionen sind:

• Jedes Polynom (echt oder kompliziert) ist eine analytische Funktion. Das ist, weil, wenn ein Polynom Grad n hat, irgendwelche Begriffe des Grads, der größer ist als n in seiner Reihenentwicklung von Taylor, zu 0 sofort verschwinden müssen, und so wird diese Reihe trivial konvergent sein. Außerdem ist jedes Polynom seine eigene Reihe von Maclaurin.
• Die Exponentialfunktion ist analytisch. Jede Reihe von Taylor für diese Funktion läuft nicht nur für x nahe genug zu x (als in der Definition), aber für alle Werte von x (echt oder kompliziert) zusammen.
• Die trigonometrischen Funktionen, der Logarithmus und die Potenzfunktionen sind auf jedem offenen Satz ihres Gebiets analytisch.

Typische Beispiele von Funktionen, die nicht analytisch sind, sind:

• Die absolute Wertfunktion, wenn definiert, auf dem Satz von reellen Zahlen oder komplexen Zahlen ist nicht überall analytisch, weil es nicht differentiable an 0 ist. Piecewise hat Funktionen definiert (Funktionen, die durch verschiedene Formeln in verschiedenen Gebieten gegeben sind), sind normalerweise nicht analytisch, wo sich die Stücke treffen.
• Der Komplex konjugiert Funktion z &rarr; z* ist analytisch nicht kompliziert, obwohl seine Beschränkung zur echten Linie die Identitätsfunktion und deshalb echt analytisch ist, und es analytisch als eine Funktion von R&sup2 echt ist; zu

R&sup2;.

• Sieh hier für ein anderes Beispiel einer anderen nichtanalytischen glatten Funktion.

Abwechselnde Charakterisierungen

Wenn ƒ ungeheuer differentiable auf einem offenen Satz definierte Funktion ist, dann sind die folgenden Bedingungen gleichwertig.

:1) ƒ ist analytisch echt.

:2) Es gibt eine komplizierte analytische Erweiterung von ƒ zu einem offenen Satz, der enthält.

:3) Für jeden Kompaktsatz dort besteht eine solche Konstante, dass für jeder und jede natürliche Zahl k die folgende Schätzung hält:

::

Der echte analyticity eines Funktions-ƒ an einem gegebenen Punkt x kann mit dem FBI charakterisiert werden verwandeln sich.

Komplizierte analytische Funktionen sind zu Holomorphic-Funktionen genau gleichwertig, und werden so viel leichter charakterisiert.

Eigenschaften von analytischen Funktionen

• Die Summen, Produkte und Zusammensetzungen von analytischen Funktionen sind analytisch.
• Das Gegenstück einer analytischen Funktion, die nirgends Null ist, ist analytisch, wie das Gegenteil einer invertible analytischen Funktion ist, deren Ableitung nirgends Null ist. (Siehe auch den Inversionslehrsatz von Lagrange.)
• Jede analytische Funktion, ist d. h. ungeheuer differentiable glatt. Das gegenteilige ist nicht wahr; tatsächlich, im gewissen Sinne, sind die analytischen Funktionen im Vergleich zu allen ungeheuer differentiable Funktionen spärlich.
• Für jeden offenen Satz Ω  C, der Satz (Ω) aller analytischen Funktionen u: Ω  C ist ein Raum von Fréchet in Bezug auf die gleichförmige Konvergenz auf Kompaktsätzen. Die Tatsache, dass gleichförmige Grenzen auf Kompaktsätzen von analytischen Funktionen analytisch sind, ist eine leichte Folge des Lehrsatzes von Morera. Der Satz aller begrenzten analytischen Funktionen mit der Supremum-Norm ist ein Banachraum.

Ein Polynom kann nicht Null an zu vielen Punkten sein, wenn es das Nullpolynom nicht ist (genauer, ist die Zahl von Nullen höchstens der Grad des Polynoms). Eine ähnliche, aber schwächere Behauptung hält für analytische Funktionen. Wenn der Satz von Nullen eines analytischen Funktions-ƒ einen Anhäufungspunkt innerhalb seines Gebiets hat, dann ist ƒ Null überall auf dem verbundenen Bestandteil, der den Anhäufungspunkt enthält. Mit anderen Worten, wenn (r) eine Folge von verschiedenen solchen Zahlen ist, dass ƒ (r) = 0 für den ganzen n und diese Folge zu einem Punkt r im Gebiet von D zusammenläuft, dann ist ƒ auf dem verbundenen Bestandteil von D identisch Null-, der r enthält.

Außerdem, wenn alle Ableitungen einer analytischen Funktion an einem Punkt Null sind, ist die Funktion auf dem entsprechenden verbundenen Bestandteil unveränderlich.

Diese Behauptungen deuten an, dass, während analytische Funktionen wirklich mehr Grade der Freiheit haben als Polynome, sie noch ziemlich starr sind.

Analyticity und differentiability

Wie bemerkt, oben ist jede analytische Funktion (echt oder kompliziert) ungeheuer differentiable (auch bekannt als glatt, oder C). (Bemerken Sie, dass dieser differentiability im Sinne echter Variablen ist; vergleichen Sie komplizierte Ableitungen unten.) Dort bestehen glatte echte Funktionen, die nicht analytisch sind: Sieh nichtanalytische glatte Funktion. Tatsächlich gibt es viele solche Funktionen.

Die Situation ist ziemlich verschieden, wenn man komplizierte analytische Funktionen und komplizierte Ableitungen denkt. Es kann bewiesen werden, dass jede komplizierte Funktion differentiable (im komplizierten Sinn) in einem offenen Satz analytisch ist. Folglich, in der komplizierten Analyse, der Begriff ist analytische Funktion mit der Holomorphic-Funktion synonymisch.

Echt gegen komplizierte analytische Funktionen

Echte und komplizierte analytische Funktionen haben wichtige Unterschiede (man konnte dass sogar von ihrer verschiedenen Beziehung mit differentiability bemerken). Analyticity von komplizierten Funktionen ist ein einschränkenderes Eigentum, weil er einschränkendere notwendige Bedingungen hat und komplizierte analytische Funktionen mehr Struktur haben als ihre Kollegen der echten Linie.

Gemäß dem Lehrsatz von Liouville ist jede begrenzte komplizierte analytische auf dem ganzen komplizierten Flugzeug definierte Funktion unveränderlich. Die entsprechende Behauptung für echte analytische Funktionen, mit dem komplizierten durch die echte Linie ersetzten Flugzeug, ist klar falsch; das wird durch illustriert

:

Außerdem, wenn eine komplizierte analytische Funktion in einem offenen Ball um einen Punkt x definiert wird, ist seine Macht-Reihenentwicklung an x im ganzen Ball konvergent. Diese Behauptung für echte analytische Funktionen (mit dem offenen Ball, der einen offenen Zwischenraum der echten Linie aber nicht eine offene Platte des komplizierten Flugzeugs bedeutet), ist im Allgemeinen nicht wahr; die Funktion des Beispiels führt oben ein Beispiel für x = 0 und ein Ball des Radius an, der 1 zu weit geht, da die Macht-Reihe für |x> 1 abweicht.

Jede echte analytische Funktion auf einem offenen Satz auf der echten Linie kann zu einer komplizierten analytischen Funktion auf einem offenen Satz des komplizierten Flugzeugs erweitert werden. Jedoch kann nicht jede echte analytische auf der ganzen echten Linie definierte Funktion zu einer komplizierten auf dem ganzen komplizierten Flugzeug definierten Funktion erweitert werden. Die Funktions(x) ƒ, die im Paragrafen oben definiert sind, sind ein Gegenbeispiel, weil er für x = ±i nicht definiert wird.

Analytische Funktionen von mehreren Variablen

Man kann analytische Funktionen in mehreren Variablen mittels der Macht-Reihe in jenen Variablen definieren (sieh Macht-Reihe). Analytische Funktionen von mehreren Variablen haben einige derselben Eigenschaften wie analytische Funktionen einer Variable. Jedoch, besonders für komplizierte analytische Funktionen, tauchen neue und interessante Phänomene auf, wenn sie in 2 oder mehr Dimensionen arbeiten. Zum Beispiel sind Nullsätze von komplizierten analytischen Funktionen in mehr als einer Variable nie getrennt.

Siehe auch

• Gleichungen von Cauchy-Riemann
• Holomorphic fungieren
• Paley-Wiener Lehrsatz
• Quasianalytische Funktion
• Unendliche Zusammensetzungen von analytischen Funktionen

Referenzen

Links

• Analytisches Funktionsmodul durch John H. Mathews