In der Mathematik, einem arithmetischen Fortschritt (AP) oder arithmetischen Folge ist eine Folge von solchen Zahlen, dass der Unterschied zwischen den Konsekutivbegriffen unveränderlich ist.

Zum Beispiel ist die Folge 3, 5, 7, 9, 11, 13, … ein arithmetischer Fortschritt mit dem allgemeinen Unterschied 2.

Wenn der anfängliche Begriff eines arithmetischen Fortschritts ist und der allgemeine Unterschied von aufeinander folgenden Mitgliedern d ist, dann wird durch den n-ten Begriff der Folge gegeben:

und in allgemeinem

Ein begrenzter Teil eines arithmetischen Fortschritts wird einen begrenzten arithmetischen Fortschritt genannt und manchmal gerade einen arithmetischen Fortschritt genannt. Die Summe eines begrenzten arithmetischen Fortschritts wird eine arithmetische Reihe genannt.

Das Verhalten des arithmetischen Fortschritts hängt vom allgemeinen Unterschied d ab. Wenn der allgemeine Unterschied ist:

• Positiv werden die Mitglieder (Begriffe) zur positiven Unendlichkeit wachsen.
• Negativ werden die Mitglieder (Begriffe) zur negativen Unendlichkeit wachsen.

Summe

Die Summe der Mitglieder eines begrenzten arithmetischen Fortschritts wird eine arithmetische Reihe genannt.

Das Ausdrücken der arithmetischen Reihe auf zwei verschiedene Weisen:

Beide Seiten der zwei Gleichungen hinzufügend, annullieren alle Begriffe, die d einschließen:

Das Teilen beider Seiten durch 2 erzeugt eine Standardform der Gleichung:

Eine abwechselnde Form ergibt sich den Ersatz wieder einzusetzen::

In 499 n.Chr. hat Aryabhata, ein prominenter Mathematiker-Astronom vom klassischen Alter der Indianermathematik und Indianerastronomie, diese Methode in Aryabhatiya (Abschnitt 2.18) gegeben

Also, zum Beispiel ist die Summe der Begriffe des arithmetischen Fortschritts, der durch = 3 + (n-1) (5) bis zum 50. Begriff gegeben ist

Produkt

Das Produkt der Mitglieder eines begrenzten arithmetischen Fortschritts mit einem anfänglichen Element a, allgemeine Unterschiede d und n Elemente wird insgesamt in einem geschlossenen Ausdruck bestimmt

wo das Steigen factorial anzeigt und die Gammafunktion anzeigt. (Bemerken Sie jedoch, dass die Formel nicht gültig ist, wenn eine negative ganze Zahl oder Null ist.)

Das ist eine Generalisation von der Tatsache, dass das Produkt des Fortschritts durch den factorial und dass das Produkt gegeben wird

für positive ganze Zahlen und wird durch gegeben

Das Beispiel von oben nehmend, ist das Produkt der Begriffe des arithmetischen Fortschritts, der durch = 3 + (n-1) (5) bis zum 50. Begriff gegeben ist

Siehe auch

• Geometrischer Fortschritt
• Verallgemeinerter arithmetischer Fortschritt - ist eine Reihe von gebauten ganzen Zahlen, wie ein arithmetischer Fortschritt ist, aber das Erlauben mehrerer möglicher Unterschiede.
• Harmonischer Fortschritt

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