In der abstrakten Algebra ist eine Kongruenz-Beziehung (oder einfach Kongruenz) eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf einer algebraischen Struktur (wie eine Gruppe, Ring oder Vektorraum), der mit der Struktur vereinbar ist. Jede Kongruenz-Beziehung hat eine entsprechende Quotient-Struktur, deren Elemente die Gleichwertigkeitsklassen (oder Kongruenz-Klassen) für die Beziehung sind.

Grundlegendes Beispiel

Das archetypische Beispiel einer Kongruenz-Beziehung ist Kongruenz modulo auf dem Satz von ganzen Zahlen. Für eine gegebene positive ganze Zahl, zwei ganze Zahlen und werden kongruenten modulo, schriftlichen genannt

wenn dadurch teilbar ist (oder gleichwertig wenn und denselben Rest, wenn geteilt, durch haben).

zum Beispiel, und sind kongruenter modulo,

seitdem ist ein Vielfache 10, oder gleichwertig seit beiden, und haben Sie einen Rest, wenn geteilt, dadurch.

Kongruenz modulo (für einen festen) ist sowohl mit der Hinzufügung als auch mit Multiplikation auf den ganzen Zahlen vereinbar. D. h. wenn

: und

dann

: und

Die entsprechende Hinzufügung und Multiplikation von Gleichwertigkeitsklassen sind als Modularithmetik bekannt. Aus dem Gesichtswinkel von der abstrakten Algebra ist Kongruenz modulo eine Kongruenz-Beziehung auf dem Ring von ganzen Zahlen, und Arithmetik modulo kommt auf dem entsprechenden Quotient-Ring vor.

Definition

Die Definition einer Kongruenz hängt vom Typ der algebraischen Struktur unter der Rücksicht ab. Besondere Definitionen der Kongruenz können für Gruppen, Ringe, Vektorräume, Module, Halbgruppen, Gitter und so weiter gemacht werden. Das allgemeine Thema ist, dass eine Kongruenz eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf einem algebraischen Gegenstand ist, der mit der algebraischen Struktur im Sinn vereinbar ist, dass die Operationen auf den Gleichwertigkeitsklassen bestimmt sind.

Zum Beispiel ist eine Gruppe ein algebraischer Gegenstand, der aus einem Satz zusammen mit einer einzelnen binären Operation besteht, bestimmte Axiome befriedigend. Wenn eine Gruppe mit der Operation &lowast ist; eine Kongruenz-Beziehung auf G ist eine Gleichwertigkeitsbeziehung ≡ auf den Elementen von G, der befriedigt

:g ≡ g und h ≡ h ⇒ g ∗ h ≡ g ∗ h

für den ganzen g, g, h, h ∈ G. Für eine Kongruenz auf einer Gruppe ist die Gleichwertigkeitsklasse, die das Identitätselement enthält, immer eine normale Untergruppe, und die anderen Gleichwertigkeitsklassen sind der cosets dieser Untergruppe. Zusammen sind diese Gleichwertigkeitsklassen die Elemente einer Quotient-Gruppe.

Wenn eine algebraische Struktur mehr als eine Operation einschließt, sind Kongruenz-Beziehungen erforderlich, mit jeder Operation vereinbar zu sein. Zum Beispiel besitzt ein Ring sowohl Hinzufügung als auch Multiplikation, und eine Kongruenz-Beziehung auf einem Ring muss befriedigen

:r + s ≡ r + s und rs ≡ rs

wann auch immer r ≡ r und s ≡ s. Für eine Kongruenz auf einem Ring ist die Gleichwertigkeitsklasse, die 0 enthält, immer ein zweiseitiges Ideal, und die zwei Operationen auf dem Satz von Gleichwertigkeitsklassen definieren den entsprechenden Quotient-Ring.

Der allgemeine Begriff einer Kongruenz-Beziehung kann eine formelle Definition im Zusammenhang der universalen Algebra, ein Feld gegeben werden, das für alle algebraischen Strukturen übliche Ideen studiert. In dieser Einstellung ist eine Kongruenz-Beziehung eine Gleichwertigkeitsbeziehung ≡ auf einer algebraischen Struktur, die befriedigt

:μ (a, a..., a) ≡ μ (a′ a′..., a&prime)

für jede n-stufige Operation μ und alle Elemente a,...,a,a′,...,a′ die Zufriedenheit ≡ a′ für jeden ich.

Beziehung mit dem Homomorphismus

Wenn ƒ: → B ist ein Homomorphismus zwischen zwei algebraischen Strukturen (wie Homomorphismus von Gruppen oder eine geradlinige Karte zwischen Vektorräumen), dann die Beziehung ≡ definiert durch

:a ≡ wenn und nur wenn ƒ (a) = ƒ (ein)

ist eine Kongruenz-Beziehung. Durch den ersten Isomorphismus-Lehrsatz, das Image unter ƒ ist ein Unterbau von B, der zum Quotienten durch diese Kongruenz isomorph ist.

Kongruenzen von Gruppen, und normale Untergruppen und Ideale

Im besonderen Fall von Gruppen können Kongruenz-Beziehungen in elementaren Begriffen wie folgt beschrieben werden:

Wenn G eine Gruppe ist (mit dem Identitätselement e und der Operation *) und ~ eine binäre Beziehung auf G ist, dann ist ~ eine Kongruenz wann auch immer:

1. In Anbetracht jedes Elements G, ein ~ (reflexivity);
2. In Anbetracht irgendwelcher Elemente a und b von G, wenn ein ~ b, dann b ~ (Symmetrie);
3. In Anbetracht irgendwelcher Elemente a, b, und c von G, wenn ein ~ b und b ~ c, dann ein ~ c (transitivity);
4. In Anbetracht irgendwelcher Elemente a,', b, und b' von G, wenn ein ~' und b ~ b', dann * b ~' * b';
5. In Anbetracht irgendwelcher Elemente a und' G, wenn ein ~' dann ein ~' (kann das wirklich von den anderen vier bewiesen werden, ist ausschließlich überflüssig) auch.

Bedingungen 1, 2, und 3 sagen, dass ~ eine Gleichwertigkeitsbeziehung ist.

Eine Kongruenz ~ wird völlig durch den Satz {ein  G bestimmt: Ein ~ e\jener Elemente von G, die zum Identitätselement und diesem Satz kongruent sind, ist eine normale Untergruppe.

Spezifisch, ein ~ b wenn und nur wenn b * ein ~ e.

So, anstatt über Kongruenzen auf Gruppen zu sprechen, sprechen Leute gewöhnlich in Bezug auf normale Untergruppen von ihnen; tatsächlich entspricht jede Kongruenz einzigartig zu einer normalen Untergruppe von G.

Ideale von Ringen und der allgemeine Fall von Kernen

Ein ähnlicher Trick erlaubt, von Kernen in der Ringtheorie als Ideale statt Kongruenz-Beziehungen, und in der Modul-Theorie als Untermodule statt Kongruenz-Beziehungen zu sprechen.

Die allgemeinste Situation, wo dieser Trick möglich ist, ist in Ideal unterstützenden Algebra.

Aber das kann mit, zum Beispiel, monoids nicht getan werden, so spielt die Studie von Kongruenz-Beziehungen eine zentralere Rolle in der monoid Theorie.

Universale Algebra

Die Idee wird in der universalen Algebra verallgemeinert:

Eine Kongruenz-Beziehung auf einer Algebra A ist eine Teilmenge des direkten Produktes × der sowohl eine Gleichwertigkeitsbeziehung auf A als auch eine Subalgebra &times ist; A.

Der Kern eines Homomorphismus ist immer eine Kongruenz. Tatsächlich entsteht jede Kongruenz als ein Kern.

Für eine gegebene Kongruenz ~ auf A kann der Satz / ~ Gleichwertigkeitsklassen die Struktur einer Algebra auf eine natürliche Mode, der Quotient-Algebra gegeben werden.

Die Funktion, die jedes Element zu seiner Gleichwertigkeitsklasse kartografisch darstellt, ist ein Homomorphismus, und der Kern dieses Homomorphismus ist ~.

Das Gitter Con (A) aller Kongruenz-Beziehungen auf einer Algebra A ist algebraisch.

Siehe auch

• Geradliniger Kongruenz-Lehrsatz
• Kongruenz-Gitter-Problem
• Horn und Johnson, Matrixanalyse, Universität von Cambridge Presse, 1985. Internationale Standardbuchnummer 0-521-38632-2. (Abschnitt 4.5 bespricht Kongruenz von matrices.)