In der Logik und Mathematik, Ablehnung, hat auch logische Ergänzung genannt, ist eine Operation auf Vorschlägen, Wahrheitswerten oder semantischen Werten mehr allgemein. Intuitiv ist die Ablehnung eines Vorschlags wahr, wenn dieser Vorschlag, und umgekehrt falsch ist. In der klassischen Logikablehnung wird normalerweise mit der Wahrheitsfunktion identifiziert, die Wahrheit in die Unehrlichkeit und umgekehrt bringt. In der intuitionistic Logik, gemäß der Brouwer-Heyting-Kolmogorov Interpretation, ist die Ablehnung eines Vorschlags p der Vorschlag, dessen Beweise die Widerlegungen von p sind. In der Kripke Semantik, wo die semantischen Werte von Formeln Sätze von möglichen Welten sind, ist Ablehnung mit dem Satz theoretische Fertigstellung.

Definition

Klassische Ablehnung ist eine Operation auf einem Wahrheitswert, normalerweise dem Wert eines Vorschlags, der einen Wert von wahren erzeugt, wenn sein operand falsch ist und ein Wert von falschen, wenn sein operand wahr ist. Also, wenn Behauptung A wahr ist, dann würde ¬ (ausgesprochen "nicht") deshalb falsch sein; und umgekehrt, wenn ¬ A wahr ist, dann würde A falsch sein.

Die Wahrheitstabelle von ¬ p ist wie folgt:

Klassische Ablehnung kann in Bezug auf andere logische Operationen definiert werden. Zum Beispiel ¬ kann p als p  F, wo "&rarr definiert werden;" ist logische Implikation, und F ist absolute Lüge. Umgekehrt kann man F als p & ¬ p für jeden Vorschlag p, wo "&amp definieren;" ist logische Verbindung. Die Idee hier besteht darin, dass jeder Widerspruch falsch ist. Während diese Ideen sowohl in der klassischen als auch in intuitionistic Logik arbeiten, arbeiten sie in der brasilianischen Logik nicht, wo Widersprüche nicht notwendigerweise falsch sind. Aber in der klassischen Logik bekommen wir eine weitere Identität: p  kann q als ¬ p  q, wo "&or definiert werden;" ist logische Trennung: "nicht p, oder q".

Algebraisch entspricht klassische Ablehnung Fertigstellung in einer Algebra von Boolean und intuitionistic Ablehnung zur Pseudofertigstellung in einer Algebra von Heyting. Diese Algebra stellen eine Semantik für die klassische und intuitionistic Logik beziehungsweise zur Verfügung.

Notation

Die Ablehnung eines Vorschlags p wird unterschiedlich in verschiedenen Zusammenhängen der Diskussion und Anwendungsbereiche in Notenschrift geschrieben. Unter diesen Varianten sind der folgende:

In der Mengenlehre \wird auch verwendet, um 'nicht Mitglied' anzuzeigen: U \ist A der Satz aller Mitglieder von U, die nicht Mitglieder von A sind.

Egal wie es in Notenschrift geschrieben oder symbolisiert wird, kann die Ablehnung ¬ p / p als gelesen werden "es ist nicht der Fall das p", "nicht dass p", oder gewöhnlich einfacher (obwohl nicht grammatisch) als "nicht p".

Eigenschaften

Doppelte Ablehnung

Innerhalb eines Systems der klassischen Logik ist doppelte Ablehnung, d. h. die Ablehnung der Ablehnung eines Vorschlags p, zum p logisch gleichwertig. Ausgedrückt in symbolischen Begriffen, ¬ (¬ p)  p. In der intuitionistic Logik bezieht ein Vorschlag seine doppelte Ablehnung, aber nicht umgekehrt ein. Dieser wichtige Ein-Zeichen-Unterschied zwischen der klassischen und intuitionistic Ablehnung. Algebraisch wird klassische Ablehnung eine Involution der Periode zwei genannt.

Jedoch in der intuitionistic Logik haben wir wirklich die Gleichwertigkeit von ¬¬¬ p und ¬ p. Außerdem, im Satzfall, ist ein Satz klassisch nachweisbar, wenn seine doppelte Ablehnung nachweisbar intuitionistically ist. Dieses Ergebnis ist als der Lehrsatz von Glivenko bekannt.

Distributivity

Die Gesetze von De Morgan stellen eine Weise zur Verfügung, Ablehnung über die Verbindung und Trennung zu verteilen:

: und

:.

Linearität

In der Boolean Algebra ist eine geradlinige Funktion ein solcher dass:

Wenn dort a, a..., {0,1} solch dass besteht

f (b..., b) = ein  (ein b) ...  (ein b), für den ganzen b..., b {0,1}.

Eine andere Weise, das auszudrücken, besteht darin, dass jede Variable immer einen Unterschied im Wahrheitswert der Operation macht oder es nie einen Unterschied macht. Ablehnung ist ein geradliniger logischer Maschinenbediener.

Selbst Doppel-

In der Boolean Algebra selbst ist Doppelfunktion ein solcher dass:

Wenn f (a..., a) = ~f (~a..., ~a) für den ganzen a..., {0,1}. Ablehnung ist selbst logischer Doppelmaschinenbediener.

Regeln der Schlussfolgerung

Es gibt mehrere gleichwertige Weisen, Regeln für die Ablehnung zu formulieren. Eine übliche Weise, klassische Ablehnung in einer natürlichen Abzug-Einstellung zu formulieren, soll als primitive Regeln der Interferenzablehnungseinführung (von einer Abstammung von p sowohl zu q als auch zu ¬ q nehmen, ¬ p ableiten; diese Regel, auch reductio Anzeige absurdum genannt), Ablehnungsbeseitigung (von p und ¬ leiten p q ab; diese Regel, auch ab falso quodlibet genannt), und doppelte Ablehnungsbeseitigung (von ¬¬ leiten p p ab). Man erhält die Regeln für die intuitionistic Ablehnung derselbe Weg, aber durch das Ausschließen der doppelten Ablehnungsbeseitigung.

Ablehnungseinführung stellt fest, dass, wenn eine Absurdität als Beschluss von p dann gezogen werden kann, p nicht der Fall sein muss (d. h. p (klassisch) falsch oder (intuitionistically) oder usw. widerlegbar ist). Ablehnungsbeseitigung stellt fest, dass irgendetwas aus einer Absurdität folgt. Manchmal wird Ablehnungsbeseitigung mit einem primitiven Absurditätszeichen- formuliert. In diesem Fall sagt die Regel, dass von p und ¬ p einer Absurdität folgt. Zusammen mit der doppelten Ablehnungsbeseitigung kann man unsere ursprünglich formulierte Regierung nämlich ableiten, dass irgendetwas aus einer Absurdität folgt.

Normalerweise wird die intuitionistic Ablehnung ¬ p p als p  definiert. Dann sind Ablehnungseinführung und Beseitigung gerade spezielle Fälle der Implikationseinführung (bedingter Beweis) und Beseitigung (Modus ponens). In diesem Fall muss man auch als eine primitive Regel ab falso quodlibet beitragen.

Programmierung

Als in der Mathematik wird Ablehnung in der Informatik verwendet, um logische Behauptungen zu bauen.

wenn (! (r == t))

{\

/*... Behauptungen haben durchgeführt, wenn r t...* / NICHT gleichkommt

}\

</Quelle>

"" Ist logisch NICHT in B, C, und Sprachen mit einer C-inspired Syntax wie C ++, Java, JavaScript, Perl und PHP wichtig. "" ist der Maschinenbediener, der im Algol 60 verwendet ist, GRUNDLEGEND, und Sprachen mit einem Algol - oder GRUNDLEGEND BEGEISTERTE Syntax wie Pascal, Ada, Eiffel und Seed7. Einige Sprachen (C ++, Perl, usw.) stellen mehr als einem Maschinenbediener für die Ablehnung zur Verfügung. Einige Sprachen wie PL/I und Ratfor verwenden für die Ablehnung. Einige moderne Computer und Betriebssysteme werden als auf in ASCII verschlüsselten Dateien zeigen. Am meisten neuere Sprachen erlauben der obengenannten Behauptung, von dazu verkürzt zu werden, der kleinere Quelldateien berücksichtigt, hat weniger Zeit Programmierung, und, in einigen Fällen, schnellere Programme ausgegeben.

In der Informatik gibt es auch bitwise Ablehnung. Das nimmt den Wert gegeben und schaltet die ganze Dualzahl 1s zu 0s und 0s zu 1s. Sieh bitwise Operation. Das wird häufig verwendet, um die Ergänzung von oder "" in C oder C ++ und die Ergänzung von two zu schaffen (gerade vereinfacht zu "" oder das negative Zeichen, da das zur Einnahme des arithmetischen negativen Werts der Zahl gleichwertig ist), weil es grundsätzlich das Gegenteil (negativer Wert gleichwertig) oder mathematische Ergänzung des Werts schafft (wo beide Werte zusammen hinzugefügt werden, schaffen sie einen Ganzen).

Um das Absolute (positive Entsprechung) Wert einer gegebenen ganzen Zahl zu bekommen, würde der folgende arbeiten, weil ""es vom negativen bis positiven ändert (es ist weil negativ"

nicht unterzeichnete interne Nummer abs (interne Nummer x)

{\

wenn (x

Logische Ablehnung zu demonstrieren:

nicht unterzeichnete interne Nummer abs (interne Nummer x) {\

wenn (! (x

Das Umkehren der Bedingung und das Umkehren der Ergebnisse erzeugen Code, der zum ursprünglichen Code logisch gleichwertig ist, d. h. identische Ergebnisse für jeden Eingang haben wird (bemerken Sie, dass je nachdem der Bearbeiter verwendet hat, können sich die wirklichen durch den Computer durchgeführten Instruktionen unterscheiden).

Siehe auch

• Logische Verbindung
• Logische Trennung
• NICHT Tor
• Bitwise NICHT
• Ampheck
• Apophasis
• Zyklische Ablehnung
• Verdoppeln Sie negative Beseitigung
• Grammatische Widersprüchlichkeit
• Minimaler Ablehnungsmaschinenbediener
• Ablehnung (Linguistik)
• Ablehnung als Misserfolg
• Quadrat der Opposition
• Gabbay, Dov, und Wansing, Heinrich, Hrsg., 1999. Was ist Ablehnung? Kluwer.
• Horn, L., 2001. Eine Naturgeschichte der Ablehnung, Universität der Chikagoer Presse.
• G. H. von Wright, 1953-59, "Auf der Logik der Ablehnung", Commentationes Physico-Mathematicae 22.
• Wansing, Heinrich, 2001, "Ablehnung", in Goble, Lou, Hrsg., Dem Handbuch von Blackwell zur Philosophischen Logik, Blackwell.
• Marco Tettamanti, Rosa Manenti - Pasquale A. Della Rosa - Andrea Falini - Daniela Perani - Stefano F. Cappa und Andrea Moro (2008) "Ablehnung im Gehirn: Handlungsdarstellung", Band 43 von NeuroImage, Ausgabe 2, am 1. November 2008, Seiten 358-367, http://dx.doi.org/10.1016/j.neuroimage.2008.08.004/ abstimmend

Links

• NICHT, auf MathWorld