Mathematik (von Griechisch  máthēma, "Kenntnisse, Studie," erfahrend), ist die Studie von Menge, Struktur, Raum und Änderung. Mathematiker finden Muster heraus und formulieren neue Vermutungen. Mathematiker lösen die Wahrheit oder Unehrlichkeit von Vermutungen durch den mathematischen Beweis auf. Die Forschung, die erforderlich ist, mathematische Probleme zu beheben, kann Jahre oder sogar Jahrhunderte der anhaltenden Untersuchung nehmen. Seit der Pionierarbeit von Giuseppe Peano (1858-1932), David Hilbert (1862-1943) und anderen auf axiomatischen Systemen gegen Ende des 19. Jahrhunderts, ist es üblich geworden, um mathematische Forschung als das Herstellen der Wahrheit durch den strengen Abzug von passend gewählten Axiomen und Definitionen anzusehen. Wenn jene mathematischen Strukturen gute Modelle von echten Phänomenen sind, dann gewährt das mathematische Denken häufig Einblick oder Vorhersagen.

Durch den Gebrauch der Abstraktion und des logischen Denkens hat sich Mathematik vom Zählen, der Berechnung, dem Maß, und der systematischen Studie der Gestalten und den Bewegungen von physischen Gegenständen entwickelt. Praktische Mathematik ist eine menschliche Tätigkeit für schon zu Lebzeiten von schriftliche Aufzeichnungen gewesen bestehen. Strenge Argumente sind zuerst in der griechischen Mathematik am meisten namentlich in den Elementen von Euklid erschienen. Mathematik hat sich mit einem relativ langsamen Schritt bis zur Renaissance entwickelt, als mathematische Neuerungen, die mit neuen wissenschaftlichen Entdeckungen aufeinander wirken, zu einer Eskalation in der Rate der mathematischen Entdeckung geführt haben, die bis zu den heutigen Tag weitergeht.

Galileo Galilei (1564-1642) hat gesagt, 'Das Weltall nicht gelesen werden kann, bis wir die Sprache erfahren haben und vertraut mit den Charakteren geworden sind, in denen es geschrieben wird. Es wird auf der mathematischen Sprache geschrieben, und die Briefe sind Dreiecke, Kreise und andere geometrische Zahlen, ohne, was bedeutet, dass es menschlich unmöglich ist, ein einzelnes Wort umzufassen. Ohne diese wandert man in einem dunklen Irrgarten umher'. Carl Friedrich Gauss (1777-1855) hat Mathematik als "die Königin der Wissenschaften" gekennzeichnet. Benjamin Peirce (1809-1880) hat Mathematik "die Wissenschaft genannt, die notwendige Schlüsse zieht". David Hilbert hat von der Mathematik gesagt: "Wir sprechen hier von der Eigenmächtigkeit in keinem Sinn. Mathematik ist keinem Spiel ähnlich, dessen Aufgaben durch willkürlich festgesetzte Regeln bestimmt werden. Eher ist es ein Begriffssystem, das innere Notwendigkeit besitzt, die nur so und keineswegs sonst sein kann." Albert Einstein (1879-1955) hat festgestellt, dass, "so weit sich die Gesetze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sie nicht sicher sind; und so weit sie sicher sind, beziehen sie sich auf die Wirklichkeit nicht".

Mathematik wird weltweit als ein wesentliches Werkzeug in vielen Feldern, einschließlich der Naturwissenschaft, Technik, Medizin und der Sozialwissenschaften verwendet. Angewandte Mathematik, der Zweig der Mathematik, die mit der Anwendung mathematischer Kenntnisse zu anderen Feldern betroffen ist, begeistert und macht von neuen mathematischen Entdeckungen Gebrauch und führt manchmal zur Entwicklung von völlig neuen mathematischen Disziplinen, wie Statistik und Spieltheorie. Mathematiker beschäftigen sich auch mit der reinen Mathematik oder Mathematik um seinetwillen, ohne auf jede Anwendung Lust zu haben. Es gibt keine klare Linie, die reine und angewandte Mathematik und praktische Anwendungen dafür trennt, was als reine Mathematik begonnen hat, werden häufig entdeckt.

Etymologie

Das Wort "Mathematik" kommt aus dem Griechen  (máthēma), was in altem Griechisch bedeutet, was man erfährt, was man kennen lernt, studieren Sie folglich auch und Wissenschaft, und in modernem Griechisch gerade Lehre.

Das Wort máthēma kommt  (manthano) in altem Griechisch und von  (mathaino) in modernem Griechisch her, von denen beide bedeuten zu erfahren.

Das Wort "Mathematik" in Griechisch ist gekommen, um das schmalere und mehr technische bedeutende "mathematische Studie" sogar in Klassischen Zeiten zu haben. Sein Adjektiv ist (mathēmatikós), verbunden mit dem Lernen oder gelehrtenhaft bedeutend, der ebenfalls weiter gekommen ist, um mathematisch zu bedeuten. Insbesondere (mathēmatik  tékhnē) hat die mathematische Kunst bedeutet. In Latein, und in Englisch ungefähr bis 1700 hat der Begriff "Mathematik" allgemeiner "Astrologie" (oder manchmal "Astronomie") aber nicht "Mathematik" bedeutet; die Bedeutung, die allmählich zu seiner gegenwärtigen ungefähr von 1500 bis 1800 geändert ist. Das ist auf mehrere falsche Übersetzungen hinausgelaufen: Ein besonders notorischer ist die Warnung des Heiligen Augustine, dass sich Christen "mathematici" vor Bedeutung von Astrologen hüten sollten, der manchmal mistranslated als eine Verurteilung von Mathematikern ist.

Die offenbare Mehrzahlform in Englisch, wie die französische Mehrzahlform (und die weniger allgemein verwendete einzigartige Ableitung), geht zum Latein sächlich Mehrzahl-(Cicero) zurück, die auf dem Griechen gestützt ist, der Mehrzahl-, von Aristoteles verwendet ist (384-322BC), und Bedeutung grob "alle mathematischen Dinge"; obwohl es plausibel ist, dass Engländer nur den adjektivischen mathematic (al) geliehen haben und die Substantiv-Mathematik von neuem, nach dem Muster der Physik und Metaphysik gebildet haben, die vom Griechen geerbt wurden. In Englisch nimmt die Substantiv-Mathematik einzigartige Verbformen an. Es wird häufig zur Mathematik oder, im englisch sprechenden Nordamerika, Mathematik verkürzt.

Geschichte

Die Evolution der Mathematik könnte als eine ständig steigende Reihe von Abstraktionen, oder wechselweise einer Vergrößerung des Gegenstands gesehen werden. Die erste Abstraktion, die von vielen Tieren geteilt wird, war wahrscheinlich die von Zahlen: Die Verwirklichung, dass eine Sammlung von zwei Äpfeln und eine Sammlung von zwei Orangen (zum Beispiel) etwas gemeinsam, nämlich Menge ihrer Mitglieder haben.

Zusätzlich zum Erkennen, wie man physische Gegenstände aufzählt, haben vorgeschichtliche Völker auch anerkannt, wie man abstrakte Mengen, wie Zeit - Tage, Jahreszeiten, Jahre aufzählt. Elementare Arithmetik (Hinzufügung, Subtraktion, Multiplikation und Abteilung) natürlich gefolgt.

Seitdem Rechnen das Schreiben zurückdatiert hat, waren weitere Schritte erforderlich, um Zahlen wie Aufzeichnungen zu registrieren, oder die verknoteten Schnuren haben quipu verwendet von Inca genannt, um numerische Daten zu versorgen. Ziffer-Systeme sind viele und verschieden mit den ersten bekannten schriftlichen Ziffern gewesen, die von Ägyptern in Mittleren Königreich-Texten wie der Rhind Mathematische Papyrus geschaffen sind.

Der frühste Gebrauch der Mathematik war im Handel, dem Landmaß, der Malerei und dem Weben von Mustern und der Aufnahme der Zeit. Kompliziertere Mathematik ist bis zu ungefähr 3000 v. Chr. nicht erschienen, als die Babylonier und Ägypter begonnen haben, Arithmetik, Algebra und Geometrie für die Besteuerung und anderen Finanzberechnungen, für das Gebäude und den Aufbau, und für die Astronomie zu verwenden. Die systematische Studie der Mathematik in seinem eigenen Recht hat mit den Alten Griechen zwischen 600 und 300 v. Chr. begonnen.

Mathematik ist seitdem außerordentlich erweitert worden, und es hat eine fruchtbare Wechselwirkung zwischen Mathematik und Wissenschaft, zum Vorteil von beiden gegeben. Mathematische Entdeckungen setzen fort, heute gemacht zu werden. Gemäß Michail B. Sevryuk, im Problem im Januar 2006 der Meldung der amerikanischen Mathematischen Gesellschaft, "Ist die Zahl von Zeitungen und Büchern, die in die Mathematische Rezensionsdatenbank seit 1940 (das erste Jahr der Operation des HERRN) eingeschlossen sind, jetzt, werden mehr als 1.9 Millionen und mehr als fünfundsiebzigtausend Sachen zur Datenbank jedes Jahr hinzugefügt. Die überwältigende Mehrheit von Arbeiten in diesem Ozean enthält neue mathematische Lehrsätze und ihre Beweise."

Inspiration, reine und angewandte Mathematik und Ästhetik

Mathematik entsteht aus vielen verschiedenen Arten von Problemen. Zuerst wurden diese in Handel, Landmaß, Architektur und späterer Astronomie gefunden; heutzutage deuten alle Wissenschaften Probleme an, die von Mathematikern studiert sind, und viele Probleme entstehen innerhalb der Mathematik selbst. Zum Beispiel hat der Physiker Richard Feynman den Pfad integrierte Formulierung der Quant-Mechanik mit einer Kombination des mathematischen Denkens und der physischen Scharfsinnigkeit, und der heutigen Schnur-Theorie, einer sich noch entwickelnden wissenschaftlichen Theorie erfunden, die versucht, die vier grundsätzlichen Kräfte der Natur zu vereinigen, fortsetzt, neue Mathematik zu begeistern. Etwas Mathematik ist nur im Gebiet wichtig, das sie begeistert hat und angewandt wird, um weitere Probleme in diesem Gebiet zu beheben. Aber häufig erweist sich durch ein Gebiet begeisterte Mathematik nützlich in vielen Gebieten, und schließt sich dem allgemeinen Lager von mathematischen Konzepten an. Eine Unterscheidung wird häufig zwischen reiner Mathematik und angewandter Mathematik gemacht. Jedoch erweisen sich reine Mathematik-Themen häufig, Anwendungen, z.B Zahlentheorie in der Geheimschrift zu haben. Diese bemerkenswerte Tatsache, dass sich sogar die "reinste" Mathematik häufig erweist, praktische Anwendungen zu haben, ist, was Eugene Wigner "die unvernünftige Wirksamkeit der Mathematik" genannt hat.

Als in den meisten Gebieten der Studie hat die Explosion von Kenntnissen im wissenschaftlichen Alter zu Spezialisierung geführt: Es gibt jetzt Hunderte von Spezialgebieten in der Mathematik und den letzten Mathematik-Thema-Klassifikationsläufen zu 46 Seiten. Mehrere Gebiete der angewandten Mathematik haben sich mit zusammenhängenden Traditionen außerhalb der Mathematik verschmolzen und sind Disziplinen in ihrem eigenen Recht, einschließlich der Statistik, Operationsforschung und Informatik geworden.

Für diejenigen, die mathematisch dazu neigen, gibt es häufig einen bestimmten ästhetischen Aspekt zu viel Mathematik. Viele Mathematiker sprechen über die Anmut der Mathematik, seiner inneren Ästhetik und inneren Schönheit. Einfachheit und Allgemeinheit werden geschätzt. Es gibt Schönheit in einem einfachen und eleganten Beweis wie der Beweis von Euklid, dass es ungeheuer viele Primzahlen, und in einer eleganten numerischen Methode gibt, die Geschwindigkeitsberechnung, wie der schnelle Fourier umgestalten. G. H. Hardy in einer Entschuldigung eines Mathematikers hat den Glauben ausgedrückt, dass diese ästhetischen Rücksichten, in sich, genügend sind, um die Studie der reinen Mathematik zu rechtfertigen. Er hat Kriterien wie Bedeutung, Unerwartetkeit, Unvermeidlichkeit und Wirtschaft als Faktoren identifiziert, die zu einem mathematischen ästhetischen beitragen. Mathematiker mühen sich häufig, Beweise zu finden, die, Beweise aus "Dem Buch" des Gottes gemäß Paul Erdős besonders elegant sind. Die Beliebtheit der Erholungsmathematik ist ein anderes Zeichen des Vergnügens, das viele im Lösen mathematischer Fragen finden.

Notation, Sprache und Strenge

Der grösste Teil der mathematischen Notation im Gebrauch wurde heute bis zum 16. Jahrhundert nicht erfunden. Davor wurde Mathematik in Wörtern, ein sorgfältiger Prozess ausgeschrieben, der mathematische Entdeckung beschränkt hat. Euler (1707-1783) war für viele der Notationen im Gebrauch heute verantwortlich. Moderne Notation macht Mathematik viel leichter für den Fachmann, aber Anfänger finden es häufig das Einschüchtern. Es wird äußerst zusammengepresst: Einige Symbole enthalten sehr viel Information. Wie Musiknotation hat moderne mathematische Notation eine strenge Syntax (welch sich in einem beschränkten Ausmaß vom Autor dem Autor und von der Disziplin bis Disziplin ändert) und Information verschlüsselt, die schwierig sein würde, auf jede andere Weise zu schreiben.

Mathematische Sprache kann schwierig sein, für Anfänger zu verstehen. Wörter solcher als oder und haben nur genauere Bedeutungen als in der Alltagssprache. Außerdem sind Wörter solcher als offen und Feld spezialisierte mathematische Bedeutungen gegeben worden. Fachbegriffe wie homeomorphism und integrable haben genaue Bedeutungen in der Mathematik. Zusätzlich, Schnellschrift-Ausdrücke wie "iff" für "wenn, und nur wenn" dem mathematischen Jargon gehören. Es gibt einen Grund für die spezielle Notation und das technische Vokabular: Mathematik verlangt mehr Präzision als Alltagssprache. Mathematiker kennzeichnen diese Präzision der Sprache und Logik als "Strenge".

Mathematischer Beweis ist im Wesentlichen eine Sache der Strenge. Mathematiker wollen, dass ihre Lehrsätze aus Axiomen mittels des systematischen Denkens folgen. Das soll falsche "Lehrsätze" vermeiden, die auf fehlbaren Intuitionen gestützt sind, von denen viele Beispiele in der Geschichte des Themas vorgekommen sind. Das Niveau der in der Mathematik erwarteten Strenge hat sich mit der Zeit geändert: Die Griechen haben ausführlich berichtete Argumente erwartet, aber zur Zeit von Isaac Newton waren die verwendeten Methoden weniger streng. Probleme, die den von Newton verwendeten Definitionen innewohnend sind, würden zu einem Wiederaufleben der sorgfältigen Analyse und des formellen Beweises im 19. Jahrhundert führen. Missverständnis der Strenge ist ein Grund zu einigen der häufigen Irrtümer der Mathematik. Heute setzen Mathematiker fort, unter sich über computergestützte Beweise zu streiten. Da große Berechnung hart ist nachzuprüfen, können solche Beweise nicht genug streng sein.

Axiome im traditionellen Gedanken waren "selbstverständliche Wahrheiten", aber diese Vorstellung ist problematisch. An einem formellen Niveau ist ein Axiom gerade eine Reihe von Symbolen, die eine innere Bedeutung nur im Zusammenhang aller ableitbaren Formeln eines axiomatischen Systems hat. Es war die Absicht des Programms von Hilbert, die ganze Mathematik auf einer festen axiomatischen Basis zu stellen, aber gemäß dem Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel hat jedes (genug starke) axiomatische System unentscheidbare Formeln; und so ein endgültiger axiomatization der Mathematik unmöglich ist. Dennoch, wie man häufig vorstellt, ist Mathematik (so weit sein formeller Inhalt) nichts als Mengenlehre in einem axiomatization im Sinn, dass jede mathematische Behauptung oder Beweis in Formeln innerhalb der Mengenlehre geworfen werden konnten.

Felder der Mathematik

Mathematik kann ganz allgemein gesprochen in die Studie von Menge, Struktur, Raum und Änderung (d. h. Arithmetik, Algebra, Geometrie und Analyse) unterteilt werden. Zusätzlich zu diesen Hauptsorgen gibt es auch Unterteilungen, die dem Erforschen von Verbindungen vom Herzen der Mathematik zu anderen Feldern gewidmet sind: zur Logik, zur Mengenlehre (Fundamente), zur empirischen Mathematik der verschiedenen Wissenschaften (angewandte Mathematik), und mehr kürzlich zur strengen Studie der Unklarheit.

Fundamente und Philosophie

Um zu klären, dass die Fundamente der Mathematik, die Felder der mathematischen Logik und Mengenlehre entwickelt wurden. Mathematische Logik schließt die mathematische Studie der Logik und die Anwendungen der formalen Logik zu anderen Gebieten der Mathematik ein; Mengenlehre ist der Zweig der Mathematik, die Sätze oder Sammlungen von Gegenständen studiert. Kategorie-Theorie, die sich auf eine abstrakte Weise mit mathematischen Strukturen und Beziehungen zwischen ihnen befasst, ist noch in der Entwicklung. Der Ausdruck "Krise von Fundamenten" beschreibt die Suche nach einem strengen Fundament für die Mathematik, die von ungefähr 1900 bis 1930 stattgefunden hat. Etwas Unstimmigkeit über die Fundamente der Mathematik geht bis zu den heutigen Tag weiter. Die Krise von Fundamenten wurde durch mehrere Meinungsverschiedenheiten zurzeit, einschließlich der Meinungsverschiedenheit über die Mengenlehre des Kantoren und der Brouwer-Hilbert Meinungsverschiedenheit stimuliert.

Mathematische Logik ist mit untergehender Mathematik innerhalb eines strengen axiomatischen Fachwerks und dem Studieren der Implikationen solch eines Fachwerks beschäftigt. Als solcher beherbergt es die Unvollständigkeitslehrsätze von Gödel, die (informell) andeuten, dass ein wirksames formelles System, das grundlegende Arithmetik enthält, wenn Ton (das Meinen, dass alle Lehrsätze, die bewiesen werden können, wahr sind), notwendigerweise unvollständig ist (das Meinen, dass es wahre Lehrsätze gibt, die in diesem System nicht bewiesen werden können). Was auch immer die begrenzte Sammlung von mit der Zahl theoretischen Axiomen als ein Fundament genommen wird, hat Gödel gezeigt, wie man eine formelle Behauptung baut, die eine wahre mit der Zahl theoretische Tatsache ist, aber die aus jenen Axiomen nicht folgt. Deshalb ist kein formelles System ein ganzer axiomatization der vollen Zahlentheorie. Moderne Logik wird in die recursion Theorie, Mustertheorie und Probetheorie geteilt, und wird mit der theoretischen Informatik, sowie mit der Kategorie-Theorie nah verbunden.

Theoretische Informatik schließt Berechenbarkeitstheorie, rechenbetonte Kompliziertheitstheorie und Informationstheorie ein. Berechenbarkeitstheorie untersucht die Beschränkungen von verschiedenen theoretischen Modellen des Computers, einschließlich des weithin bekanntsten Modells - die Maschine von Turing. Kompliziertheitstheorie ist die Studie der Lenkbarkeit durch den Computer; einige Probleme, obwohl theoretisch lösbar, durch den Computer, sind in Bezug auf die Zeit oder den Raum so teuer, dass das Lösen von ihnen wahrscheinlich praktisch unausführbar sogar mit dem schnellen Fortschritt der Computerhardware bleiben wird. Ein berühmtes Problem ist der "P=NP?" Problem, eines der Millennium-Preis-Probleme. Schließlich ist Informationstheorie mit der Datenmenge beschäftigt, die auf einem gegebenen Medium versorgt werden kann, und sich folglich mit Konzepten wie Kompression und Wärmegewicht befasst.

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Reine Mathematik

Menge

Die Studie der Menge fängt mit Zahlen, zuerst die vertrauten natürlichen Zahlen und ganzen Zahlen ("ganze Zahlen") und arithmetische Operationen auf ihnen an, die in der Arithmetik charakterisiert werden. Die tieferen Eigenschaften von ganzen Zahlen werden in der Zahlentheorie studiert, aus der solche populären Ergebnisse als der Letzte Lehrsatz von Fermat kommen. Der Zwilling Hauptvermutung und die Vermutung von Goldbach ist zwei ungelöste Probleme in der Zahlentheorie.

Da das Zahl-System weiter entwickelt wird, werden die ganzen Zahlen als eine Teilmenge der rationalen Zahlen ("Bruchteile") anerkannt. Diese werden abwechselnd innerhalb der reellen Zahlen enthalten, die verwendet werden, um dauernde Mengen zu vertreten. Reelle Zahlen werden zu komplexen Zahlen verallgemeinert. Das sind die ersten Schritte einer Hierarchie von Zahlen, die fortsetzt, quarternions und octonions einzuschließen. Die Rücksicht der natürlichen Zahlen führt auch zu den transfiniten Zahlen, die das Konzept "der Unendlichkeit" formalisieren. Ein anderes Gebiet der Studie ist Größe, die zu den Grundzahlen und dann zu einer anderen Vorstellung der Unendlichkeit führt: Die aleph Zahlen, die bedeutungsvollen Vergleich der Größe von ungeheuer großen Sätzen erlauben.

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Struktur

Viele mathematische Gegenstände, wie Sätze von Zahlen und Funktionen, stellen innere Struktur demzufolge Operationen oder Beziehungen aus, die auf dem Satz definiert werden. Mathematik studiert dann Eigenschaften jener Sätze, die in Bezug auf diese Struktur ausgedrückt werden können; zum Beispiel studiert Zahlentheorie Eigenschaften des Satzes von ganzen Zahlen, die in Bezug auf arithmetische Operationen ausgedrückt werden können. Außerdem geschieht es oft, dass verschieden solche strukturierten Sätze (oder Strukturen) ähnliche Eigenschaften ausstellen, der es möglich durch einen weiteren Schritt der Abstraktion macht, Axiome für eine Klasse von Strukturen festzusetzen, und dann studieren Sie sofort die ganze Klasse von Strukturen, die diese Axiome befriedigen. So kann man Arbeitsgruppen, Ringe, Felder und andere abstrakte Systeme; zusammen setzen solche Studien (für Strukturen, die durch algebraische Operationen definiert sind), das Gebiet der abstrakten Algebra ein. Durch seine große Allgemeinheit kann abstrakte Algebra häufig auf Probleme anscheinend ohne Beziehung angewandt werden; zum Beispiel wurden mehrere alte Probleme bezüglich des Kompasses und der Haarlineal-Aufbauten schließlich mit der Theorie von Galois behoben, die Feldtheorie und Gruppentheorie einschließt. Ein anderes Beispiel einer algebraischen Theorie ist geradlinige Algebra, die die allgemeine Studie von Vektorräumen ist, deren Elemente genannt Vektoren sowohl Menge als auch Richtung haben und verwendet werden können um (Beziehungen zwischen) Punkte im Raum zu modellieren. Das ist ein Beispiel des Phänomenes, dass die ursprünglich Gebiete ohne Beziehung der Geometrie und Algebra sehr starke Wechselwirkungen in der modernen Mathematik haben. Combinatorics studiert Weisen, die Zahl von Gegenständen aufzuzählen, die eine gegebene Struktur passen.

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Raum

Die Studie des Raums entsteht mit der Geometrie - insbesondere Euklidische Geometrie. Trigonometrie ist der Zweig der Mathematik, die sich mit Beziehungen zwischen den Seiten und den Winkeln von Dreiecken und mit den trigonometrischen Funktionen befasst; es verbindet Raum und Zahlen, und umfasst den wohl bekannten Pythagoreischen Lehrsatz. Die moderne Studie des Raums verallgemeinert diese Ideen, hoch-dimensionale Geometrie, nicht-euklidische Geometrie einzuschließen (die eine Hauptrolle in der allgemeinen Relativität spielen), und Topologie. Menge und Raum sowohl spielen eine Rolle in der analytischen Geometrie, Differenzialgeometrie als auch algebraischen Geometrie. Konvexe und getrennte Geometrie wurde entwickelt, um Probleme in der Zahlentheorie und Funktionsanalyse zu beheben, aber wird jetzt mit einem Auge auf Anwendungen in der Optimierung und Informatik verfolgt. Innerhalb der Differenzialgeometrie sind die Konzepte von Faser-Bündeln und Rechnung auf Sammelleitungen, insbesondere Vektoren und Tensor-Rechnung. Innerhalb der algebraischen Geometrie ist die Beschreibung von geometrischen Gegenständen als Lösungssätze von polynomischen Gleichungen, die Konzepte der Menge und des Raums und auch der Studie von topologischen Gruppen verbindend, die Struktur und Raum verbinden. Lügen Sie Gruppen werden verwendet, um Raum, Struktur und Änderung zu studieren. Die Topologie in allen seinen vielen Implikationen kann das größte Wachstumsgebiet in der Mathematik des 20. Jahrhunderts gewesen sein; es schließt Topologie der Punkt-gesetzten, mit dem Satz theoretische Topologie, algebraische Topologie und Differenzialtopologie ein. Insbesondere Beispiele der modernen Tagestopologie sind metrizability Theorie, axiomatische Mengenlehre, homotopy Theorie und Morsezeichen-Theorie. Topologie schließt auch die jetzt gelöste Vermutung von Poincaré ein. Andere Ergebnisse in der Geometrie und Topologie, einschließlich des vier Farbenlehrsatzes und der Vermutung von Kepler, sind nur mit der Hilfe von Computern bewiesen worden.

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Änderung

Das Verstehen und das Beschreiben der Änderung sind ein allgemeines Thema in den Naturwissenschaften, und Rechnung wurde als ein starkes Werkzeug entwickelt, um es zu untersuchen. Funktionen entstehen hier als ein Hauptkonzept, das eine sich ändernde Menge beschreibt. Die strenge Studie von reellen Zahlen und Funktionen einer echten Variable sind als echte Analyse, mit der komplizierten Analyse das gleichwertige Feld für die komplexen Zahlen bekannt. Funktionsanalyse richtet Aufmerksamkeit auf (normalerweise unendlich-dimensionale) Räume von Funktionen. Eine von vielen Anwendungen der Funktionsanalyse ist Quant-Mechanik. Viele Probleme führen natürlich zu Beziehungen zwischen einer Menge und seiner Rate der Änderung, und diese werden als Differenzialgleichungen studiert. Viele Phänomene in der Natur können durch dynamische Systeme beschrieben werden; Verwirrungstheorie macht genau die Wege in der viele dieser Systeme Ausstellungsstück unvorhersehbar doch deterministisches Verhalten.

Angewandte Mathematik

Angewandte Mathematik beschäftigt sich mit mathematischen Methoden, die normalerweise in Wissenschaft, Technik, Geschäft und Industrie verwendet werden. So ist "angewandte Mathematik" eine mathematische Wissenschaft mit Spezialkenntnissen. Der Begriff "angewandte Mathematik" beschreibt auch die Berufsspezialisierung, in der Mathematiker an praktischen Problemen arbeiten; da sich ein Beruf auf praktische Probleme konzentriert hat, konzentriert sich angewandte Mathematik auf die Formulierung, die Studie und den Gebrauch von mathematischen Modellen in der Wissenschaft, der Technik und den anderen Gebieten der mathematischen Praxis.

In der Vergangenheit haben praktische Anwendungen die Entwicklung von mathematischen Theorien motiviert, die dann das Thema der Studie in der reinen Mathematik geworden sind, wo Mathematik in erster Linie um seinetwillen entwickelt wird. So wird die Tätigkeit der angewandten Mathematik mit der Forschung in der reinen Mathematik lebenswichtig verbunden.

Statistik und andere Entscheidungswissenschaften

Angewandte Mathematik hat bedeutendes Übergreifen mit der Disziplin der Statistik, deren Theorie mathematisch besonders mit der Wahrscheinlichkeitstheorie formuliert wird. Statistiker (als ein Teil eines Forschungsprojektes arbeitend), "schaffen Daten, der Sinn" mit der zufälligen Stichprobenerhebung und mit Randomized-Experimenten hat; das Design einer statistischen Probe oder Experimentes gibt die Analyse der Daten (vor den Daten an, verfügbar sein). Wenn sie Daten von Experimenten und Proben nachprüfen, oder wenn sie Daten von Beobachtungsstudien analysieren, verstehen Statistiker "die Daten" das Verwenden der Kunst des Modellierens und der Theorie der Schlussfolgerung - mit der Musterauswahl und Bewertung; die geschätzten Modelle und folgenreichen Vorhersagen sollten auf neuen Daten geprüft werden.

Statistische Theorie studiert Entscheidungsprobleme wie Minderung der Gefahr (erwarteter Schadensumfang) einer statistischen Handlung, wie das Verwenden eines Verfahrens in, zum Beispiel, Parameter-Bewertung, Hypothese-Prüfung und das Auswählen des besten. In diesen traditionellen Gebieten der mathematischen Statistik wird ein Problem der statistischen Entscheidung durch die Minderung einer objektiven Funktion wie erwarteter Schadensumfang formuliert oder unter spezifischen Einschränkungen gekostet: Zum Beispiel ist das Entwerfen eines Überblicks häufig mit Minderung der Kosten verbunden, eine mit einem gegebenen Niveau des Vertrauens bösartige Bevölkerung zu schätzen. Wegen seines Gebrauches der Optimierung teilt die mathematische Theorie der Statistik Sorgen mit anderen Entscheidungswissenschaften, wie Operationsforschung, Steuerungstheorie und mathematische Volkswirtschaft.

Rechenbetonte Mathematik

Rechenbetonte Mathematik schlägt vor und studiert Methoden, um mathematische Probleme zu beheben, die für die menschliche numerische Kapazität normalerweise zu groß sind. Numerische Analyse studiert Methoden für Probleme in der Analyse mit der Funktionsanalyse und Annäherungstheorie; numerische Analyse schließt die Studie der Annäherung und discretization weit gehend mit der speziellen Sorge für Rundungsfehler ein. Numerische Analyse und, weit gehender, studiert wissenschaftliche Computerwissenschaft auch nichtanalytische Themen der mathematischen Wissenschaft, besonders algorithmischen Matrix und Graph-Theorie. Andere Gebiete der rechenbetonten Mathematik schließen Computeralgebra und symbolische Berechnung ein.

Mathematik als Beruf

Wohl ist der renommiertste Preis in der Mathematik, gegründet 1936 und jetzt zuerkannt alle 4 Jahre. Die Feldmedaille wird häufig als eine mathematische Entsprechung zum Nobelpreis betrachtet.

Der Wolf-Preis in der Mathematik, errichtet 1978, erkennt Lebenszu-Stande-Bringen an, und ein anderer internationaler Hauptpreis, der Preis von Abel, wurde 2003 eingeführt. Die Chern Medaille wurde 2010 eingeführt, um Lebenszu-Stande-Bringen anzuerkennen. Diese Ritterschläge werden als Anerkennung für einen besonderen Körper der Arbeit zuerkannt, die innovational sein, oder eine Lösung eines hervorragenden Problems in einem feststehenden Feld zur Verfügung stellen kann.

Eine berühmte Liste von 23 offenen Problemen, genannt "die Probleme von Hilbert", wurde 1900 vom deutschen Mathematiker David Hilbert kompiliert. Diese Liste hat große Berühmtheit unter Mathematikern erreicht, und mindestens neun der Probleme sind jetzt behoben worden. Eine neue Liste von sieben wichtigen Problemen, betitelt die "Millennium-Preis-Probleme", wurde 2000 veröffentlicht. Die Lösung von jedem dieser Probleme trägt eine Belohnung von $ 1 Million, und nur ein (die Hypothese von Riemann) werden in den Problemen von Hilbert kopiert.

Mathematik als Wissenschaft

Gauss hat Mathematik als "die Königin der Wissenschaften" gekennzeichnet. Im ursprünglichen Latein Regina Scientiarum, sowie in German Königin der Wissenschaften bedeutet das Wort entsprechend der Wissenschaft ein "Feld von Kenntnissen", und das war die ursprüngliche Bedeutung "der Wissenschaft" in Englisch auch. Natürlich ist Mathematik in diesem Sinn ein Feld von Kenntnissen. Die Spezialisierung, die die Bedeutung "der Wissenschaft" zur Naturwissenschaft einschränkt, folgt dem Anstieg der Baconwissenschaft, die "Naturwissenschaft" zur Scholastik, die Methode von Aristotelean gegenübergestellt hat, von den ersten Grundsätzen zu fragen. Natürlich ist die Rolle des empirischen Experimentierens und der Beobachtung in der Mathematik, im Vergleich zu Naturwissenschaften wie Psychologie, Biologie oder Physik unwesentlich. Albert Einstein hat festgestellt, dass, "so weit sich die Gesetze der Mathematik auf die Wirklichkeit beziehen, sie nicht sicher sind; und so weit sie sicher sind, beziehen sie sich auf die Wirklichkeit nicht." Mehr kürzlich hat Marcus du Sautoy Mathematik 'die Königin der Wissenschaft... die wichtige treibende Kraft hinter der wissenschaftlichen Entdeckung' genannt.

Viele Philosophen glauben, dass Mathematik, und so nicht eine Wissenschaft gemäß der Definition von Karl Popper nicht experimentell falsifizierbar ist. Jedoch in den 1930er Jahren haben die Unvollständigkeitslehrsätze von Gödel viele Mathematiker überzeugt, dass Mathematik auf die Logik allein nicht reduziert werden kann, und Karl Popper beschlossen hat, dass "die meisten mathematischen Theorien, wie diejenigen der Physik und Biologie, hypothetico-deduktiv sind: Reine Mathematik erweist sich deshalb, an den Naturwissenschaften viel näher zu sein, deren Hypothesen Vermutungen sind, als es sogar kürzlich geschienen ist." Andere Denker, namentlich Imre Lakatos, haben eine Version von falsificationism zur Mathematik selbst angewandt.

Eine alternative Ansicht besteht darin, dass bestimmte wissenschaftliche Felder (wie theoretische Physik) Mathematik mit Axiomen sind, die beabsichtigt sind, um Wirklichkeit zu entsprechen. Tatsächlich hat der theoretische Physiker, J. M. Ziman, vorgeschlagen, dass Wissenschaft öffentliche Kenntnisse ist und so Mathematik einschließt. Jedenfalls teilt sich Mathematik viel genau wie viele Felder in den physischen Wissenschaften, namentlich die Erforschung der logischen Folgen von Annahmen. Intuition und Experimentieren spielen auch eine Rolle in der Formulierung von Vermutungen sowohl in der Mathematik als auch in den (anderen) Wissenschaften. Experimentelle Mathematik setzt fort, in der Wichtigkeit innerhalb der Mathematik zu wachsen, und Berechnung und Simulation spielen eine zunehmende Rolle sowohl in den Wissenschaften als auch in der Mathematik, den Einwand schwächend, dass Mathematik die wissenschaftliche Methode nicht verwendet.

Die Meinungen von Mathematikern auf dieser Sache werden geändert. Viele Mathematiker finden, dass, um ihr Gebiet zu nennen, eine Wissenschaft die Wichtigkeit von seiner ästhetischen Seite und seiner Geschichte in den traditionellen sieben Geisteswissenschaften herunterspielen soll; andere finden, dass, seine Verbindung zu den Wissenschaften zu ignorieren, über die Tatsache wegsehen soll, dass die Schnittstelle zwischen Mathematik und seinen Anwendungen in der Wissenschaft und Technik viel Entwicklung in der Mathematik gesteuert hat. Auf eine Weise erschöpft dieser Unterschied des Gesichtspunkts ist in der philosophischen Debatte betreffs, ob Mathematik (als in der Kunst) geschaffen oder (als in der Wissenschaft) entdeckt wird. Es ist üblich, Universitäten zu sehen, die in Abteilungen geteilt sind, die eine Abteilung der Wissenschaft und Mathematik einschließen, anzeigend, dass die Felder als gesehen werden verbunden werden, aber dass sie nicht zusammenfallen. In der Praxis werden Mathematiker normalerweise mit Wissenschaftlern am groben Niveau gruppiert, aber an feineren Niveaus getrennt. Das ist eines von vielen in der Philosophie der Mathematik betrachteten Problemen.

Siehe auch

• Definitionen der Mathematik
• Mathematik und Kunst
• Mathematik-Ausbildung

Referenzen

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• du Sautoy, Marcus, Eine Kurze Geschichte der Mathematik, BBC-Radio 4 (2010).
• Vorabende, Howard, Eine Einführung in die Geschichte der Mathematik, der Sechsten Ausgabe, Saunders, 1990, internationale Standardbuchnummer 0-03-029558-0.
• Kline, Morris, Mathematischer Gedanke vom Alten bis Moderne Zeiten, Presse der Universität Oxford, die USA; Paperback-Ausgabe (am 1. März 1990). Internationale Standardbuchnummer 0-19-506135-7.
• Englisches Wörterbuch von Oxford, die zweite Ausgabe, Hrsg. John Simpson und Edmund Weiner, Clarendon Press, 1989, internationale Standardbuchnummer 0-19-861186-2.
• Das Wörterbuch von Oxford der englischen Etymologie, 1983 Nachdruck. Internationale Standardbuchnummer 0-19-861112-9.
• Pappas, Theoni, Die Heiterkeit der Mathematik, des Breiten Weltveröffentlichens; verbesserte Auflage (Juni 1989). Internationale Standardbuchnummer 0-933174-65-9.

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• Peterson, Ivars, Mathematischer Tourist, Neue und Aktualisierte Schnellschüsse der Modernen Mathematik, Eule-Bücher, 2001, internationale Standardbuchnummer 0-8050-7159-8.

Weiterführende Literatur

• Benson, Donald C., Der Moment des Beweises: Mathematischer Epiphanies, Presse der Universität Oxford, die USA; neue Hrsg.-Ausgabe (am 14. Dezember 2000). Internationale Standardbuchnummer 0-19-513919-4.
• Boyer, Carl B., Eine Geschichte der Mathematik, Wileys; 2 Ausgabe (am 6. März 1991). Internationale Standardbuchnummer 0-471-54397-7. — Eine kurze Geschichte der Mathematik vom Konzept der Zahl zur zeitgenössischen Mathematik.
• Davis, Philip J. und Hersh, Reuben, Die Mathematische Erfahrung. Seemann-Bücher; Nachdruck-Ausgabe (am 14. Januar 1999). Internationale Standardbuchnummer 0-395-92968-7.
• Gullberg, Jan, Mathematik — Von der Geburt von Zahlen. W. W. Norton & Company; 1. Ausgabe (Oktober 1997). Internationale Standardbuchnummer 0 393 04002 X.
• Hazewinkel, Michiel (Hrsg.). Enzyklopädie der Mathematik. Kluwer Akademische Herausgeber 2000. — Eine übersetzte und ausgebreitete Version einer sowjetischen Mathematik-Enzyklopädie, in zehn (teuren) Volumina, die am meisten ganze und herrische verfügbare Arbeit. Auch im Paperback und auf der CD-ROM, und online.
• Jourdain, Philip E. B., Die Natur der Mathematik, in Der Welt der Mathematik, James R. Newmans, Redakteurs, Veröffentlichungen von Dover, 2003, internationale Standardbuchnummer 0-486-43268-8.

Links

• Freie Mathematik bestellt Freie Mathematik-Buchsammlung vor.
• Enzyklopädie der Mathematik Online-Enzyklopädie vom Springer, der Absolventenniveau-Bezugsarbeit mit mehr als 8,000 Einträgen, fast 50,000 Begriffe in der Mathematik illuminierend.
• Seite von HyperMath an der Staatlichen Universität von Georgia
• Bibliothek von FreeScience Die Mathematik-Abteilung der Bibliothek von FreeScience
• Rusin, Dave: Der Mathematische Atlas. Eine Führung durch die verschiedenen Zweige der modernen Mathematik. (Kann auch an NIU.edu gefunden werden.)
• Polyanin, Andrei: EqWorld: Die Welt von Mathematischen Gleichungen. Eine Online-Quelle, die sich auf algebraisches, gewöhnliches unterschiedliches, teilweises Differenzial (mathematische Physik), integrierte und andere mathematische Gleichungen konzentriert.
• Kain, George: Online-Mathematik-Lehrbücher verfügbar gratis online.
• Tricki, Wiki-artige Seite, die beabsichtigt ist, um sich in einen großen Laden von nützlichen mathematischen problemlösenden Techniken zu entwickeln.
• Mathematische Strukturen, Listeninformation über Klassen von mathematischen Strukturen.
• Mathematiker-Lebensbeschreibungen. Die Geschichte von MacTutor der Mathematik archiviert Umfassende Geschichte und Notierungen aus allen berühmten Mathematikern.
• Metamath. Eine Seite und eine Sprache, die Mathematik von seinen Fundamenten formalisieren.
• Nrich, eine preisgekrönte Seite für Studenten vom Alter fünf von der Universität von Cambridge
• Offener Problem-Garten, ein wiki von offenen Problemen in der Mathematik
• Planet-Mathematik. Eine Online-Mathematik-Enzyklopädie im Bau, sich auf moderne Mathematik konzentrierend. Verwendet die Lizenz der Zuweisung-ShareAlike, Artikel-Austausch mit der Wikipedia erlaubend. Gebrauch Preiserhöhung von TeX.
• Etwas Mathematik applets, an MIT
• Weisstein, Eric u. a.: MathWorld: Welt der Mathematik. Eine Online-Enzyklopädie der Mathematik.
• Die Videotutorenkurse von Patrick Jones auf der Mathematik
• Citizendium: Theorie (Mathematik).

du Sautoy, Marcus, Eine Kurze Geschichte der Mathematik, BBC-Radio 4 (2010).

• MathOverflow Q&A Seite für die Forschungsniveau-Mathematik