In der Mathematik, eine Parabel (Mehrzahlparabolae oder Parabeln, vom Griechen ) ist eine konische Abteilung, die von der Kreuzung einer richtigen kreisförmigen konischen Oberfläche und einer Flugzeug-Parallele zu einer Erzeugen-Gerade dieser Oberfläche geschaffen ist. Eine andere Weise, eine Parabel zu erzeugen, soll einen Punkt (der Fokus) und eine Linie (der directrix) auf einem Flugzeug untersuchen. Der geometrische Ort von Punkten in diesem Flugzeug, die von beiden die Linie und der Punkt gleich weit entfernt sind, ist eine Parabel.

Die Liniensenkrechte zum directrix und Durchführen des Fokus (d. h. die Linie, die die Parabel im Laufe der Mitte spaltet) wird die "Achse der Symmetrie" genannt. Der Punkt auf der Achse der Symmetrie, die die Parabel durchschneidet, wird den "Scheitelpunkt" genannt, und es ist der Punkt, wo die Krümmung am größten ist. Parabeln, können unten, verlassen, Recht, oder in einer anderen willkürlichen Richtung öffnen. Jede Parabel kann wiedereingestellt und wiedererklettert werden, um genau auf jeder anderen Parabel zu passen — d. h. alle Parabeln sind ähnlich.

Die Parabel hat viele wichtige Anwendungen von Kraftfahrzeugscheinwerfer-Reflektoren bis das Design von ballistischen Raketen. Sie werden oft in der Physik, Technik und vielen anderen Gebieten verwendet.

Geschichte

Die frühste bekannte Arbeit an konischen Abteilungen war durch Menaechmus im vierten Jahrhundert v. Chr. Er hat eine Weise entdeckt, das Problem zu beheben, den Würfel mit parabolae zu verdoppeln. (Die Lösung entspricht jedoch den Anforderungen nicht, die durch den Kompass und Haarlineal-Aufbau auferlegt sind.) Das Gebiet, das durch eine Parabel und ein Liniensegment, das so genannte "Parabel-Segment" eingeschlossen ist, wurde von Archimedes über die Methode der Erschöpfung im dritten Jahrhundert v. Chr., in seinem Die Quadratur der Parabel geschätzt. Der Name "Parabel" ist wegen Apollonius, der viele Eigenschaften von konischen Abteilungen entdeckt hat. Das Eigentum des Fokus-directrix der Parabel und anderen conics ist wegen Pappus.

Galileo hat gezeigt, dass der Pfad einer Kugel einer Parabel, einer Folge der gleichförmigen Beschleunigung wegen des Ernstes folgt.

Die Idee, dass ein parabolischer Reflektor ein Image erzeugen konnte, war bereits vor der Erfindung des nachdenkenden Fernrohrs weithin bekannt. Designs wurden im frühen der Mitte des siebzehnten Jahrhunderts von vielen Mathematikern einschließlich René Descartes, Marin Mersenne und James Gregorys vorgeschlagen. Als Isaac Newton das erste nachdenkende Fernrohr 1668 gebaut hat, hat er das Verwenden eines parabolischen Spiegels wegen der Schwierigkeit der Herstellung ausgelassen, für einen kugelförmigen Spiegel wählend. Parabolische Spiegel werden in den meisten modernen nachdenkenden Fernrohren und in Satellitenschüsseln und Radarempfängern verwendet.

Gleichung in Kartesianischen Koordinaten

Lassen Sie den directrix die Linie x = p sein und den Fokus der Punkt (p, 0) sein zu lassen. Wenn (x, y) ein Punkt auf der Parabel dann durch die Definition von Pappus einer Parabel ist, ist es dieselbe Entfernung vom directrix wie der Fokus; mit anderen Worten:

:

Quadrieren beide Seiten und Vereinfachung erzeugt

:

als die Gleichung der Parabel. Indem man die Rollen von x und y auswechselt, erhält man die entsprechende Gleichung einer Parabel mit einer vertikalen Achse als

:

Die Gleichung kann verallgemeinert werden, um dem Scheitelpunkt zu erlauben, an einem Punkt außer dem Ursprung durch das Definieren des Scheitelpunkts als der Punkt (h, k) zu sein. Die Gleichung einer Parabel mit einer vertikalen Achse wird dann

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Die letzte Gleichung kann umgeschrieben werden

:

so ist der Graph jeder Funktion, die ein Polynom des Grads 2 in x ist, eine Parabel mit einer vertikalen Achse.

Mehr allgemein ist eine Parabel eine Kurve im Kartesianischen Flugzeug, das durch eine nicht zu vereinfachende Gleichung — diejenige definiert ist, die nicht Faktor als ein Produkt zwei nicht notwendigerweise verschiedene geradlinige Gleichungen — von der allgemeinen konischen Form tut

:

mit der Parabel-Beschränkung das

:

wo alle Koeffizienten echt sind, und wo A und C nicht beide Null sind. Die Gleichung ist wenn und nur wenn die Determinante 3×3 Matrix nicht zu vereinfachend

:

A & B/2 & D/2 \\

B/2 & C & E/2 \\

D/2 & E/2 & F

\end {bmatrix}. </Mathematik>

ist Nichtnull: d. h. wenn (AC - B/4) F + BETT/4 - CD/4 - AE/4  0. Der reduzierbare Fall, auch genannt den degenerierten Fall, gibt einem Paar von parallelen Linien, vielleicht echt, vielleicht imaginär, und vielleicht mit einander zusammenfallend.

Andere geometrische Definitionen

Eine Parabel kann auch als eine konische Abteilung mit einer Seltsamkeit 1 charakterisiert werden. Demzufolge dessen sind alle parabolae ähnlich, bedeutend, dass, während sie verschiedene Größen sein können, sie Gestalt alle gleich sind. Eine Parabel kann auch als die Grenze einer Folge von Ellipsen erhalten werden, wo ein Fokus fest behalten wird, weil der andere erlaubt wird, sich willkürlich weit weg in einer Richtung zu bewegen. In diesem Sinn kann eine Parabel als eine Ellipse betrachtet werden, die einen Fokus an der Unendlichkeit hat. Die Parabel ist ein Gegenteil verwandeln sich einer Herzkurve.

Eine Parabel hat eine einzelne Achse der reflektierenden Symmetrie, die seinen Fokus durchführt und auf seinem directrix rechtwinklig ist. Der Punkt der Kreuzung dieser Achse und der Parabel wird den Scheitelpunkt genannt. Eine Parabel hat über diese Achse in drei Dimensionsspuren eine als ein paraboloid der Revolution bekannte Gestalt gesponnen.

Die Parabel wird in zahlreichen Situationen in der physischen Welt (sieh unten) gefunden.

Gleichungen

Kartesianisch

In den folgenden Gleichungen und sind die Koordinaten des Scheitelpunkts von der Parabel.

Vertikale Achse der Symmetrie

:::

wo

:

:.

Parametrische Form:

:

Horizontale Achse der Symmetrie

:::wo::.Parametrische Form::

Allgemeine Parabel

Die allgemeine Form für eine Parabel ist

:

Dieses Ergebnis wird aus der allgemeinen konischen Gleichung abgeleitet, die unten gegeben ist:

:

und die Tatsache dass, für eine Parabel,

:.

Die Gleichung für eine allgemeine Parabel mit einem Fokus spitzt F (u, v), und ein directrix in der Form an

:

ist

:

Mastdarm von Latus, semi-latus Mastdarm und Polarkoordinaten

In Polarkoordinaten, einer Parabel mit dem Fokus am Ursprung und der Directrix-Parallele zur Y-Achse, wird durch die Gleichung gegeben

:

wo l der semilatus Mastdarm ist: die Entfernung vom Fokus bis die Parabel selbst, gemessen entlang einer Liniensenkrechte zur Achse. Bemerken Sie, dass das zweimal die Entfernung vom Fokus bis den Scheitelpunkt der Parabel oder die rechtwinklige Entfernung vom Fokus bis den latus Mastdarm ist.

Der latus Mastdarm ist der Akkord, der den Fokus durchführt und auf der Achse rechtwinklig ist. Es hat eine Länge 2l.

Gauss-kartografisch-dargestellte Form

Eine Gauss-kartografisch-dargestellte Form:

hat normalen

.

Abstammung des Fokus

Den Fokus einer einfachen Parabel abzuleiten, wo die Achse der Symmetrie die Y-Achse mit dem Scheitelpunkt an (0,0), wie ist

:

dann gibt es einen Punkt (0, f) - der Fokus, F-such, dass jeder Punkt P auf der Parabel sowohl vom Fokus als auch vom geradlinigen directrix, L gleich weit entfernt sein wird. Der geradlinige directrix ist eine Liniensenkrechte zur Achse der Symmetrie der Parabel (in diesem Fall Parallele zur x Achse) und führt den Punkt (0,-f) durch. So wird jeder Punkt P = (x, y) auf der Parabel beide zu (0, f) und (x,-f) gleich weit entfernt sein.

FP, eine Linie vom Fokus bis einen Punkt auf der Parabel, hat dieselbe Länge wie QP, eine Linie, die von diesem Punkt auf der Parabel-Senkrechte zum geradlinigen directrix gezogen ist, sich am Punkt Q schneidend.

Stellen Sie sich ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei Beinen, x und f-y (die vertikale Entfernung zwischen F und P) vor. Die Länge der Hypotenuse, FP, wird durch gegeben

:

(Bemerken Sie, dass (f-y) und (y-f) dasselbe Ergebnis erzeugen, weil es quadratisch gemacht wird.)

Die Linie QP wird durch das Hinzufügen y (die vertikale Entfernung zwischen dem Punkt P und der X-Achse) und f (die vertikale Entfernung zwischen der X-Achse und dem geradlinigen directrix) gegeben.

:

Diese zwei Liniensegmente, sind und, wie angezeigt, oben, y=ax ², so gleich

::

Quadrat beide Seiten,

:

Annullieren Sie Begriffe von beiden Seiten,

::

Teilen Sie den x ² von beiden Seiten aus (wir nehmen an, dass x nicht Null ist),

::

Also, die Parabel kann als geschrieben werden; und für eine Parabel wie f (x) =x ² ist ein Koeffizient 1, so ist der Fokus F (0, ¼)

Wie oben angegeben ist das die Abstammung des Fokus für eine einfache Parabel, einen in den Mittelpunkt gestellten am Ursprung und mit der Symmetrie um die Y-Achse. Für jede verallgemeinerte Parabel, mit seiner Gleichung, die in der Standardform gegeben ist

:

der Fokus wird am Punkt gelegen

:

der auch als geschrieben werden kann

:

und der directrix wird durch die Gleichung benannt

:der auch als geschrieben werden kann:

Reflektierendes Eigentum der Tangente

Die Tangente der Parabel, die durch die Gleichung y=ax beschrieben ist, hat Hang

:

Diese Linie schneidet die Y-Achse am Punkt (0,-y) = (0, - ein x ²), und die X-Achse am Punkt (x/2,0) durch. Lassen Sie diesen Punkt G genannt werden. Punkt G ist auch der Mittelpunkt des Liniensegmentes FQ:

:::

Da G der Mittelpunkt der Linie FQ ist, bedeutet das das

:

und es ist bereits bekannt, dass P sowohl von F als auch von Q gleich weit entfernt ist:

:

und, drittens, ist Linie GP sich deshalb gleich:

:

Hieraus folgt dass

.

Linie QP kann außer P zu einem Punkt T und Linie GP erweitert werden, kann außer P zu einem Punkt R erweitert werden. Dann und sind vertikal, so sind sie (kongruent) gleich. Aber ist dem gleich. Deshalb ist dem gleich.

Die Linie RG ist Tangente zur Parabel an P, so jeder leichte Balken, der vom Punkt springt, wird sich P benehmen, als ob Linie RG ein Spiegel war und sprang es von diesem Spiegel.

Lassen Sie ein leichtes Balken-Reisen unten die vertikale Linie TP und Schlag von von P. Der Winkel des Balkens der Neigung vom Spiegel ist so, wenn es davon springt, muss sein Winkel der Neigung dem gleich sein. Aber ist gezeigt worden, dem gleich zu sein. Deshalb springt der Balken von entlang der Linie FP: direkt zum Fokus.

Beschluss: Jeder leichte Balken, der sich vertikal abwärts in der Konkavität der Parabel (Parallele zur Achse der Symmetrie) bewegt, wird von der Parabel springen, die sich direkt zum Fokus bewegt. (Sieh parabolischen Reflektor.)

Dasselbe Denken kann auf eine Parabel angewandt werden, deren Achse vertikal ist, so dass es durch die Gleichung angegeben werden kann

:.

Die Tangente hat dann einen allgemeinen Hang von

:.

Nachdenken-Abstammung, zusammen mit trigonometrischen Winkelhinzufügungsregeln, führt zum Ergebnis, dass der widerspiegelte Strahl einen Hang von hat

:.

Ein anderes Tangente-Eigentum

Lassen Sie die Linie der Symmetrie die Parabel am Punkt Q durchschneiden, und den Fokus als Punkt F und seine Entfernung vom Punkt Q als f anzeigen. Lassen Sie die Senkrechte zur Linie der Symmetrie durch den Fokus, schneiden Sie die Parabel an einem Punkt T durch. Dann (1) ist die Entfernung von F bis T 2f, und (2) eine Tangente zur Parabel am Punkt T schneidet die Linie der Symmetrie in einem 45 °-Winkel durch.

Wenn sich b ändert

Die X-Koordinate am Scheitelpunkt ist, der durch das Abstammen der ursprünglichen Gleichung, das Setzen des resultierenden gleichen der Null (ein kritischer Punkt) und das Lösen dafür gefunden wird. Setzen Sie diese X-Koordinate in die ursprüngliche Gleichung ein, um zu tragen:

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Vereinfachung:

::::

So ist der Scheitelpunkt am Punkt

:

Parabolae in der physischen Welt

In der Natur werden Annäherungen von parabolae und paraboloids (wie Kettenkurven) in vielen verschiedenen Situationen gefunden. Das am besten bekannte Beispiel der Parabel in der Geschichte der Physik ist die Schussbahn einer Partikel oder Körpers in der Bewegung unter dem Einfluss eines gleichförmigen Schwerefeldes ohne Luftwiderstand (zum Beispiel, ein Baseball, der durch die Luft fliegt, Luftreibung vernachlässigend).

Die parabolische Schussbahn von Kugeln wurde experimentell von Galileo am Anfang des 17. Jahrhunderts entdeckt, wer Experimente mit Bällen durchgeführt hat, die auf aufgelegten Flugzeugen rollen. Er hat auch später das mathematisch in seinem Buchdialog Bezüglich Zwei Neuer Wissenschaften bewiesen. Für Gegenstände, die im Raum wie ein Taucher erweitert sind, der von einem Sprungbrett springt, folgt der Gegenstand selbst einer komplizierten Bewegung, als es rotiert, aber das Zentrum der Masse des Gegenstands bildet dennoch eine Parabel. Als in allen Fällen in der physischen Welt ist die Schussbahn immer eine Annäherung einer Parabel. Die Anwesenheit des Luftwiderstandes verdreht zum Beispiel immer die Gestalt, obwohl mit niedrigen Geschwindigkeiten die Gestalt eine gute Annäherung einer Parabel ist. Mit höheren Geschwindigkeiten, solcher als in der Ballistik, wird die Gestalt hoch verdreht und ähnelt keiner Parabel.

Eine andere Situation, in der parabolae in der Natur entstehen kann, ist in Zwei-Körper-Bahnen, zum Beispiel, von einem kleinen planetoid oder anderem Gegenstand unter dem Einfluss der Schwerkraft der Sonne. Solche parabolischen Bahnen sind ein spezieller Fall, die in der Natur selten gefunden werden. Bahnen, die eine Hyperbel oder eine Ellipse bilden, sind viel üblicher. Tatsächlich ist die parabolische Bahn der Grenzfall zwischen jenen zwei Typen der Bahn. Ein Gegenstand im Anschluss an eine parabolische Bahn bewegt sich an der genauen Flucht-Geschwindigkeit des Gegenstands, den es umkreist, während elliptische Bahnen langsamer sind und Hyperbelbahnen schneller sind.

Annäherungen von parabolae werden auch in Form der Hauptkabel auf einer einfachen Hängebrücke gefunden. Die Kurve der Ketten einer Hängebrücke ist immer eine Zwischenkurve zwischen einer Parabel und einer Kettenlinie, aber in der Praxis ist die Kurve allgemein zu einer Parabel näher, und in Berechnungen wird die zweite Grad-Parabel verwendet. Unter dem Einfluss einer gleichförmigen Last (wie ein horizontales aufgehobenes Deck) wird das sonst hyperbolische Kabel zu einer Parabel deformiert. Verschieden von einer unelastischen Kette ein frei hängender Frühling der Null nimmt unbetonte Länge die Gestalt einer Parabel.

Paraboloids entstehen in mehreren physischen Situationen ebenso. Das am besten bekannte Beispiel ist der parabolische Reflektor, der ein Spiegel oder ähnliches reflektierendes Gerät ist, das Licht oder andere Formen der elektromagnetischen Radiation zu einem allgemeinen Brennpunkt konzentriert. Der Grundsatz des parabolischen Reflektors kann im 3. Jahrhundert v. Chr. vom geometer Archimedes entdeckt worden sein, der, gemäß einer Legende der diskutablen Richtigkeit, parabolische Spiegel gebaut hat, um Syracuse gegen die römische Flotte zu verteidigen, indem er die Strahlen der Sonne konzentriert hat, um die Decks der römischen Schiffe in Brand zu setzen. Der Grundsatz wurde auf Fernrohre im 17. Jahrhundert angewandt. Heute, paraboloid Reflektoren kann überall in viel von der Welt in der Mikrowelle und den Satellitenschüssel-Antennen allgemein beobachtet werden.

Paraboloids werden auch in der Oberfläche einer Flüssigkeit beobachtet, die auf einen Behälter beschränkt ist, und haben um die Hauptachse rotiert. In diesem Fall veranlasst die Zentrifugalkraft die Flüssigkeit, die Wände des Behälters zu besteigen, eine parabolische Oberfläche bildend. Das ist der Grundsatz hinter dem flüssigen Spiegelfernrohr.

Flugzeug hat gepflegt, einen schwerelosen Staat zum Zwecke des Experimentierens wie der "Erbrechen-Komet der NASA zu schaffen," folgt eine vertikal parabolische Schussbahn seit kurzen Perioden, um den Kurs eines Gegenstands im freien Fall zu verfolgen, der dieselbe Wirkung wie Nullernst zu den meisten Zwecken erzeugt.

Vertikale Kurven in Straßen sind gewöhnlich durch das Design parabolisch.

Generalisationen

In der algebraischen Geometrie wird die Parabel durch die vernünftigen normalen Kurven verallgemeinert, die Koordinaten haben, ist die Standardparabel der Fall, und der Fall ist als das gedrehte kubische bekannt. Eine weitere Generalisation wird durch die Vielfalt von Veronese gegeben, wenn es mehr als eine Eingangsvariable gibt.

In der Theorie von quadratischen Formen ist die Parabel der Graph der quadratischen Form (oder anderer scalings), während der elliptische paraboloid der Graph der positiv-bestimmten quadratischen Form ist (oder scalings) und der hyperbolische paraboloid der Graph der unbestimmten quadratischen Form-Generalisationen zu mehr Variable-Ertrag weiter solche Gegenstände ist.

Die Kurven für andere Werte von p werden traditionell die höheren Parabeln genannt, und wurden implizit, in der Form für p und q beide positiven ganzen Zahlen ursprünglich behandelt, in der Form, wie man sieht, sie algebraische Kurven sind. Diese entsprechen der ausführlichen Formel für eine positive Bruchmacht von x. Negative Bruchmächte entsprechen der impliziten Gleichung und werden traditionell höhere Hyperbeln genannt. Analytisch kann x auch zu einer vernunftwidrigen Macht (für positive Werte von x) erhoben werden; die analytischen Eigenschaften sind dem analog, wenn x zu vernünftigen Mächten erhoben wird, aber die resultierende Kurve ist nicht mehr algebraisch, und kann über die algebraische Geometrie nicht analysiert werden.

Siehe auch

• Kettenlinie
• Ellipse
• Hyperbel
• Universaler parabolischer unveränderlicher
• Parabolischer Reflektor
• Parabolische teilweise Differenzialgleichung
• Paraboloid
• Quadratische Gleichung
• Quadratische Funktion
• Brennofen, paraboloids erzeugt durch die Folge rotieren lassend
• Sonnen-cooker#Theory und Hintergrund, Daten über paraboloidal Reflektoren

Referenzen

• Lockwood, E. H. (1961): Ein Buch von Kurven, Universität von Cambridge drückt

Links

• Die Abstammung von Apollonius der Parabel an der Konvergenz
• Interaktiver Fokus der Parabel-Schinderei, sieh Achse der Symmetrie, directrix, Standard und Scheitelpunkt bilden
• Dreieck von Archimedes und Quadrieren der Parabel an der Knoten-Kürzung
• Zwei Tangenten zur Parabel an der Knoten-Kürzung
• Parabel Als Umschlag von Geraden an der Knoten-Kürzung
• Parabolischer Spiegel an der Knoten-Kürzung
• Drei Parabel-Tangenten an der Knoten-Kürzung
• Modul für die Tangente-Parabel
• Im Brennpunkt stehende Eigenschaften der Parabel an der Knoten-Kürzung
• Parabel Als Umschlag II an der Knoten-Kürzung
• Die Ähnlichkeit der Parabel an Dynamischen Geometrie-Skizzen, interaktiver dynamischer Geometrie-Skizze.
• eine Methode, eine Parabel mit der Schnur und den Stiften zu ziehen