In der Mathematik, besonders Funktionsanalyse, ist eine Algebra von Banach, genannt nach Stefan Banach, eine assoziative Algebra über die reellen Zahlen oder komplexen Zahlen, der zur gleichen Zeit auch ein Banachraum ist. Die Algebra-Multiplikation und die Banachraum-Norm sind erforderlich, durch die folgende Ungleichheit verbunden zu sein:

(d. h. die Norm des Produktes ist weniger als oder gleich dem Produkt der Normen). Das stellt sicher, dass die Multiplikationsoperation dauernd ist. Dieses Eigentum wird in den reellen Zahlen und komplexen Zahlen gefunden; zum Beispiel, |-6×5 |  |-6|×|5 |.

Wenn im obengenannten wir Banachraum zum normed Raum entspannen, wird die analoge Struktur eine normed Algebra genannt.

Eine Banach Algebra wird "unital" genannt, wenn es ein Identitätselement für die Multiplikation hat, deren Norm 1, und "auswechselbar" ist, wenn seine Multiplikation auswechselbar ist.

Jede Banach Algebra (ob es ein Identitätselement oder nicht hat) kann isometrisch in eine unital Algebra von Banach eingebettet werden, um ein geschlossenes Ideal dessen zu bilden. Häufig nimmt man a priori an, dass die Algebra unter der Rücksicht unital ist: Weil man viel von der Theorie entwickeln kann, indem man in Betracht zieht und dann das Ergebnis in der ursprünglichen Algebra anwendet. Jedoch ist das nicht der Fall die ganze Zeit. Zum Beispiel kann man nicht alle trigonometrischen Funktionen in einer Algebra von Banach ohne Identität definieren.

Die Theorie von echten Algebra von Banach kann von der Theorie von komplizierten Algebra von Banach sehr verschieden sein. Zum Beispiel kann das Spektrum eines Elements einer komplizierten Algebra von Banach nie leer sein, wohingegen in einer echten Algebra von Banach es für einige Elemente leer sein konnte.

Algebra von Banach können auch über Felder von p-adic Zahlen definiert werden. Das ist ein Teil der p-adic Analyse.

Beispiele

Das archetypische Beispiel einer Algebra von Banach, ist der Raum (Komplex-geschätzter) dauernder Funktionen auf einem lokal kompakten (Hausdorff) Raum, die an der Unendlichkeit verschwinden. ist unital, wenn, und nur wenn X kompakt ist. Die komplizierte Konjugation, die eine Involution ist, ist tatsächlich C*-algebra. Mehr allgemein, jeder ist C*-algebra eine Algebra von Banach.

• Der Satz von echten (oder Komplex) Zahlen ist eine Algebra von Banach mit der durch den absoluten Wert gegebenen Norm.
• Der Satz von allen echter oder komplizierter n-by-n matrices wird eine unital Algebra von Banach, wenn wir es mit einer sub-multiplicative Matrixnorm ausstatten.
• Nehmen Sie den Banachraum R (oder C) mit der Norm x = max x und definieren Sie Multiplikation componentwise: (x..., x) (y..., y) = (xy..., xy).
• Die quaternions bilden eine 4-dimensionale echte Algebra von Banach mit der Norm, die durch den absoluten Wert von quaternions wird gibt.
• Die Algebra von allen ist echt - oder Komplex-geschätzte auf einem Satz definierte Funktionen gesprungen (mit der pointwise Multiplikation, und die Supremum-Norm) ist eine unital Algebra von Banach.
• Die Algebra von allen ist dauernd echt - oder Komplex-geschätzte Funktionen auf einem lokal kompakten Raum gesprungen (wieder mit pointwise Operationen, und Supremum-Norm) ist eine Algebra von Banach.
• Die Algebra aller dauernden geradlinigen Maschinenbediener auf einem Banachraum E (mit der funktionellen Zusammensetzung als Multiplikation und die Maschinenbediener-Norm als Norm) ist eine unital Algebra von Banach. Der Satz aller Kompaktmaschinenbediener auf E ist ein geschlossenes Ideal in dieser Algebra.
• Wenn G lokal kompakter Hausdorff topologische Gruppe und μ sein Maß von Haar ist, dann wird der Banachraum L (G) aller μ-Integrable-Funktionen auf G eine Algebra von Banach unter der Gehirnwindung xy (g) =  x (h) y (hg) dμ (h) für x, y in L (G).
• Gleichförmige Algebra: Eine Banach Algebra, die eine Subalgebra von C (X) mit der Supremum-Norm ist und enthält das die Konstanten und trennt die Punkte X (der ein Kompaktraum von Hausdorff sein muss).
• Natürliche Banach-Funktionsalgebra: Eine gleichförmige Algebra, deren alle Charaktere Einschätzungen an Punkten X sind.
• C*-algebra: Eine Banach Algebra, die ein geschlossener *-subalgebra der Algebra von begrenzten Maschinenbedienern auf einem Raum von Hilbert ist.
• Maß-Algebra: Eine Banach Algebra, die aus ganzem Radon besteht, misst auf einer lokal kompakten Gruppe, wo das Produkt von zwei Maßnahmen durch die Gehirnwindung gegeben wird.

Eigenschaften

Mehrere Elementarfunktionen, die über die Macht-Reihe definiert werden, können in jeder unital Algebra von Banach definiert werden; Beispiele schließen die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen und mehr allgemein jede komplette Funktion ein. (Insbesondere die Exponentialkarte kann verwendet werden, um abstrakte Index-Gruppen zu definieren.) Die Formel für die geometrische Reihe bleibt gültig in allgemeinen unital Algebra von Banach. Der binomische Lehrsatz hält auch für zwei pendelnde Elemente einer Algebra von Banach.

Der Satz von invertible Elementen in jeder unital Algebra von Banach ist ein offener Satz, und die Inversionsoperation auf diesem Satz ist dauernd, (und folglich homeomorphism), so dass es eine topologische Gruppe unter der Multiplikation bildet.

Wenn eine Algebra von Banach Einheit 1 hat, dann 1 kann kein Umschalter sein; d. h.,   für jeden x, y  A.

Die verschiedenen Algebra von Funktionen, die in den Beispielen oben gegeben sind, haben sehr verschiedene Eigenschaften von Standardbeispielen von Algebra wie der reals. Zum Beispiel:

• Jede echte Algebra von Banach, die eine Abteilungsalgebra ist, ist zum reals, den Komplexen oder dem quaternions isomorph. Folglich ist die einzige komplizierte Algebra von Banach, die eine Abteilungsalgebra ist, die Komplexe. (Das ist als der Gelfand-Mazur Lehrsatz bekannt.)
• Jede unital echte Algebra von Banach ohne Nullteiler, und in dem jedes Hauptideal geschlossen wird, ist zum reals, den Komplexen oder dem quaternions isomorph.
• Jede unital echte Ersatzalgebra von Noetherian Banach ohne Nullteiler ist zu den reellen Zahlen oder komplexen Zahlen isomorph.
• Jede unital echte Ersatzalgebra von Noetherian Banach (vielleicht Nullteiler habend), ist endlich-dimensional.
• Dauerhaft einzigartige Elemente in Algebra von Banach sind topologische Teiler der Null, d. h. Erweiterungen B Algebra von Banach ein denkend, haben Elemente, die in der gegebenen Algebra A einzigartig sind, ein multiplicative umgekehrtes Element in einer Algebra-Erweiterung von Banach B. Topologische Teiler der Null in A sind in der ganzen Erweiterung von Banach B A dauerhaft einzigartig.

Geisterhafte Theorie

Algebra von Unital Banach über das komplizierte Feld stellen eine allgemeine Einstellung zur Verfügung, um geisterhafte Theorie zu studieren. Das Spektrum eines Elements x  A, angezeigt dadurch, besteht aus allen jenen komplizierten Skalaren λ solch dass x − λ1 ist nicht invertible in A. Das Spektrum jedes Elements x ist eine geschlossene Teilmenge der geschlossenen Scheibe in C mit dem Radius || x und Zentrum 0, und ist so kompakt. Außerdem ist das Spektrum eines Elements x nichtleer und befriedigt die geisterhafte Radius-Formel:

Gegebener x ∈ A erlaubt die holomorphic funktionelle Rechnung (x) ƒ  für jeden Funktions-ƒ holomorphic in einer Nachbarschaft Außerdem zu definieren, der geisterhafte kartografisch darstellende Lehrsatz hält:

Wenn die Algebra von Banach A die Algebra L (X) von begrenzten geradlinigen Maschinenbedienern auf einem komplizierten Banachraum X&thinsp ist; (z.B, die Algebra des Quadrats matrices), fällt der Begriff des Spektrums in A mit dem üblichen in der Maschinenbediener-Theorie zusammen. Für den ƒ ∈ C (X) (mit einem Kompaktraum von Hausdorff X) sieht man dass:

Die Norm eines normalen Elements x dessen fällt C*-algebra mit seinem geisterhaften Radius zusammen. Das verallgemeinert eine analoge Tatsache für normale Maschinenbediener.

Lassen Sie A  seien Sie ein Komplex unital Algebra von Banach, in der jedes Nichtnullelement x invertible (eine Abteilungsalgebra) ist. Für jeden ∈ A gibt es λ ∈ C solch dass

− λ1 ist nicht invertible (weil das Spektrum, nicht leer zu sein), folglich = λ1: Diese Algebra A ist zu C (der komplizierte Fall des Gelfand-Mazur Lehrsatzes) natürlich isomorph.

Ideale und Charaktere

Lassen Sie A  seien Sie eine unital Ersatzalgebra von Banach über C. Da A dann ein Ersatzring mit der Einheit ist, gehört jedes non-invertible Element von A einem maximalen Ideal von A. Da ein maximales Ideal in A geschlossen wird, ist eine Algebra von Banach, die ein Feld ist, und es aus dem Gelfand-Mazur Lehrsatz folgt, dass es eine Bijektion zwischen dem Satz aller maximalen Ideale von A und dem Satz Δ (A) des ganzen Nichtnullhomomorphismus von A&thinsp gibt; zu C. Der Satz Δ (A) wird den "Struktur-Raum" oder "Typenabstand" von A und seine Mitglieder "Charaktere" genannt.

Ein Charakter χ ist ein geradliniger funktioneller auf, der zur gleichen Zeit multiplicative, χ (ab) = χ (a) χ (b) ist, und χ (1) = 1 befriedigt. Jeder Charakter ist von A&thinsp automatisch dauernd; zu C da ist der Kern eines Charakters ein maximales Ideal, das geschlossen wird. Außerdem sind die Norm (d. h., Maschinenbediener-Norm) eines Charakters diejenige. Ausgestattet mit der Topologie der pointwise Konvergenz auf (d. h., die Topologie, die durch weak-* Topologie von A veranlasst ist), ist der Typenabstand, Δ (A), Hausdorff Kompaktraum.

Für jeden x  A,

wo die Darstellung von Gelfand von x definiert wie folgt ist: Ist die dauernde Funktion von Δ (A) zu C, der durch &thinsp gegeben ist; das Spektrum in der Formel oben, ist das Spektrum als Element der Algebra C (Δ (A)) komplizierter dauernder Funktionen auf dem Kompaktraum Δ (A). Ausführlich,

Als eine Algebra ist eine unital Ersatzalgebra von Banach halbeinfach (d. h. sein radikaler Jacobson ist Null), wenn, und nur wenn seine Darstellung von Gelfand trivialen Kern hat. Ein wichtiges Beispiel solch einer Algebra ist ein auswechselbarer C*-algebra. Tatsächlich, wenn A ein auswechselbarer unital C*-algebra ist, ist die Darstellung von Gelfand dann ein isometrischer *-isomorphism zwischen A und C (Δ (A)).

Siehe auch

• Maschinenbediener-Algebra
• Grenze von Shilov
• Automatische Kontinuität
• Die Vermutung von Kaplansky
• Ungefähre Identität

Referenzen