In der Mathematik, besonders in der elementaren Arithmetik, ist Abteilung (÷) eine arithmetische Operation.

Spezifisch, wenn b Zeiten c a, schriftlich gleichkommen:

:

wo b nicht Null ist, dann kommt ein geteilter durch b c, schriftlich gleich:

:a ÷ b = c

Zum Beispiel,

:6 ÷ 3 = 2

seitdem

:6 = 3 * 2

Im obengenannten Ausdruck zu sein, hat die Dividende, b der Teiler und c der Quotient genannt.

Begrifflich beschreibt Abteilung zwei verschiedene, aber zusammenhängende Einstellungen. Das Verteilen ist mit Einnahme einer Reihe der Größe a und das Formen b Gruppen verbunden, die in der Größe gleich sind. Die Größe jeder Gruppe gebildet, c, ist der Quotient von a und b. Abteilung von Quotative schließt Einnahme einer Reihe der Größe a und das Formen von Gruppen der Größe b ein. Die Zahl von Gruppen dieser Größe, die, c gebildet werden kann, ist der Quotient von a und b.

Lehrende Abteilung führt gewöhnlich zum Konzept von Bruchteilen, die in Studenten einführen werden. Verschieden von der Hinzufügung, Subtraktion und Multiplikation, wird der Satz aller ganzen Zahlen unter der Abteilung nicht geschlossen. Das Teilen von zwei ganzen Zahlen kann auf einen Rest hinauslaufen. Um die Abteilung des Rests zu vollenden, wird das Zahl-System erweitert, um Bruchteile oder rationale Zahlen einzuschließen, wie sie mehr allgemein genannt werden.

Notation

Abteilung wird häufig in der Algebra und Wissenschaft durch das Stellen der Dividende über den Teiler mit einer horizontalen Linie, auch genannt einen vinculum oder Bruchteil-Bar, zwischen ihnen gezeigt. Zum Beispiel wird ein geteilter durch b geschrieben

:

Das kann laut als "ein geteilter durch b", "durch b" oder "über b" gelesen werden. Eine Weise, Abteilung auszudrücken, sollen alle auf einer Linie die Dividende (oder Zähler), dann ein Hieb, dann der Teiler (oder Nenner), wie das schreiben:

:

Das ist die übliche Weise, Abteilung auf den meisten Computerprogrammiersprachen anzugeben, da es als eine einfache Folge von ASCII Charakteren leicht getippt werden kann.

Eine typografische Schwankung halbwegs zwischen diesen zwei Formen verwendet einen Schrägstrich (Bruchteil-Hieb), aber erhebt die Dividende, und senkt den Teiler:

:

Einige dieser Formen kann verwendet werden, um einen Bruchteil zu zeigen. Ein Bruchteil ist ein Abteilungsausdruck, wo sowohl Dividende als auch Teiler ganze Zahlen (obwohl normalerweise genannt, der Zähler und Nenner) sind, und es keine Implikation gibt, dass die Abteilung weiter bewertet werden muss. Eine zweite Weise, Abteilung zu zeigen, soll den obelus (oder Abteilungszeichen), üblich in der Arithmetik auf diese Weise verwenden:

:

Diese Form ist außer in der elementaren Arithmetik selten. Der obelus wird auch allein verwendet, um die Abteilungsoperation selbst bezüglich des Beispiels als ein Etikett auf einem Schlüssel einer Rechenmaschine zu vertreten.

In einigen englisch nichtsprechenden Kulturen, "wird ein geteilter durch b" a geschrieben:b. Jedoch im englischen Gebrauch wird der Doppelpunkt auf das Ausdrücken des zusammenhängenden Konzepts von Verhältnissen (dann eingeschränkt "zu b" zu sein).

In der elementaren Mathematik die Notation oder wird verwendet, um einen geteilten durch b anzuzeigen. Diese Notation wurde zuerst von Michael Stifel in Arithmetica integra, veröffentlicht 1544 eingeführt.

Rechenabteilung

Manuelle Methoden für Menschen, Abteilung durchzuführen

Abteilung wird häufig durch den Begriff eingeführt, eine Reihe von Gegenständen, zum Beispiel ein Stapel von Süßigkeiten in mehrere gleiche Teile "zu verteilen". Wenn sie die Gegenstände verteilen, führen mehrere auf einmal in jeder Runde des Teilens zu jedem Teil zur Idee von "chunking", d. h., Abteilung durch die wiederholte Subtraktion.

Systematischer und effizienter (sondern auch mehr formalisiert und mehr regelbasierend, und mehr entfernt von einem gesamten holistischen Bild dessen, was Abteilung erreicht), eine Person, die weiß, die Multiplikationstabellen können zwei ganze Zahlen mit dem Bleistift und Papier mit der Methode der kurzen Abteilung teilen, wenn der Teiler einfach ist. Lange Abteilung wird für größere Teiler der ganzen Zahl verwendet. Wenn die Dividende einen Bruchteil hat (ausgedrückt als ein Dezimalbruch), kann man den Algorithmus vorbei an denjenigen Platz so weit gewünscht fortsetzen. Wenn der Teiler einen Bruchteil hat, können wir das Problem neu formulieren, indem wir die Dezimalzahl nach rechts in beiden Zahlen bewegen, bis der Teiler keinen Bruchteil hat.

Eine Person kann Abteilung mit einer Rechenmaschine berechnen, indem sie die Dividende auf der Rechenmaschine wiederholt legt, und dann den Teiler der Ausgleich jeder Ziffer im Ergebnis abzieht, die Zahl von an jedem Ausgleich möglichen Abteilungen aufzählend.

Eine Person kann Logarithmus-Tische verwenden, um zwei Zahlen zu teilen, indem sie die Logarithmen der zwei Zahlen dann abzieht, den Antilogarithmus des Ergebnisses nachschlagend.

Eine Person kann Abteilung mit einem Rechenschieber berechnen, indem sie den Teiler auf der C-Skala mit der Dividende auf der D-Skala ausrichtet. Der Quotient kann auf der D-Skala gefunden werden, wo es nach dem linken Index auf der C-Skala ausgerichtet wird. Der Benutzer ist jedoch verantwortlich, um den dezimalen Punkt geistig nachzugehen.

Abteilung durch den Computer oder mit der Computerhilfe

Moderne Computer schätzen Abteilung durch Methoden, die schneller sind als lange Abteilung: Sieh (digitale) Abteilung.

In der Modularithmetik haben einige Zahlen ein multiplicative Gegenteil in Bezug auf das Modul. Wir können Abteilung durch die Multiplikation in solch einem Fall berechnen. Diese Annäherung ist in Computern nützlich, die keine schnelle Abteilungsinstruktion haben.

Abteilungsalgorithmus

Der Abteilungsalgorithmus ist ein mathematischer Lehrsatz, der genau das Ergebnis des üblichen Prozesses der Abteilung von ganzen Zahlen ausdrückt. Insbesondere der Lehrsatz behauptet, dass ganze Zahlen den Quotienten q genannt haben und Rest r immer bestehen, und dass sie durch die Dividende a und Teiler d, mit d  0 einzigartig bestimmt werden. Formell wird der Lehrsatz wie folgt festgesetzt: Dort bestehen Sie einzigartige ganze Zahlen q und solcher r, dass = qd + r und 0  r oder Das die in der Mathematik gewöhnlich genommene Annäherung ist.

1. Geben Sie die Antwort als ein Quotient der ganzen Zahl und ein Rest, so
2. Geben Sie den Quotienten der ganzen Zahl als die Antwort, so wird Das manchmal Abteilung der ganzen Zahl genannt.

Das Teilen von ganzen Zahlen in einem Computerprogramm verlangt spezielle Sorge. Einige Programmiersprachen, wie C, behandeln Abteilung der ganzen Zahl als, im Falle dass 4 oben, so ist die Antwort eine ganze Zahl. Andere Sprachen, wie MATLAB, wandeln zuerst ganze Zahlen zu rationalen Zahlen um, geben dann eine rationale Zahl als die Antwort, als im Falle dass 2 oben zurück.

Namen und für die Abteilung der ganzen Zahl verwendete Symbole schließen div,/, \, und % ein. Definitionen ändern sich bezüglich der Abteilung der ganzen Zahl, wenn die Dividende oder der Teiler negativ sind: Das Runden kann zur Null (so genannte T-Abteilung) oder zu − (F-Abteilung) sein; seltenere Stile können vorkommen - sieh Operation von Modulo wegen der Details.

Teilbarkeitsregeln können manchmal verwendet werden, um schnell zu bestimmen, ob sich eine ganze Zahl genau in einen anderen teilt.

Abteilung von rationalen Zahlen

Das Ergebnis, zwei rationale Zahlen zu teilen, ist eine andere rationale Zahl, wenn der Teiler nicht 0 ist. Wir können Abteilung von zwei rationalen Zahlen p/q und r/s durch definieren

:

Alle vier Mengen sind ganze Zahlen, und nur p kann 0 sein. Diese Definition stellt sicher, dass Abteilung der inverse Betrieb der Multiplikation ist.

Abteilung von reellen Zahlen

Die Abteilung von zwei reellen Zahlen läuft auf eine andere reelle Zahl hinaus, wenn der Teiler nicht 0 ist. Es wird solcher a/b = c wenn und nur wenn = CB und b  0 definiert.

Abteilung durch die Null

Die Abteilung jeder Zahl durch die Null (wo der Teiler Null ist) ist unbestimmt. Das ist, weil Null, die mit jeder begrenzten Zahl immer multipliziert ist, auf ein Produkt der Null hinausläuft. Der Zugang solch eines Ausdrucks in die meisten Rechenmaschinen erzeugt eine Fehlermeldung.

Abteilung von komplexen Zahlen

Das Teilen von zwei komplexen Zahlen läuft auf eine andere komplexe Zahl hinaus, wenn der Teiler nicht 0, definiert so ist:

:

Alle vier Mengen sind reelle Zahlen. r und s kann nicht 0 beide sein.

Die Abteilung für in der polaren Form ausgedrückte komplexe Zahlen ist einfacher als die Definition oben:

:

Wieder sind alle vier Mengen reelle Zahlen. r kann nicht 0 sein.

Abteilung von Polynomen

Man kann die Abteilungsoperation wegen Polynome definieren. Dann, als im Fall von ganzen Zahlen, hat man einen Rest. Sieh polynomische lange Abteilung oder synthetische Abteilung.

Abteilung von matrices

Man kann eine Abteilungsoperation wegen matrices definieren. Die übliche Weise zu tun ist das zu definieren, wo das Gegenteil von B anzeigt, aber es ist viel üblicher, ausführlich auszuschreiben, um Verwirrung zu vermeiden.

Verlassen und richtige Abteilung

Weil Matrixmultiplikation nicht auswechselbar ist, kann man auch eine linke Abteilung oder so genannte Abteilung des umgekehrten Schrägstrichs als definieren. Dafür, um gut definiert zu werden, braucht nicht zu bestehen, jedoch muss bestehen. Um Verwirrung zu vermeiden, wird Abteilung, wie definiert, dadurch manchmal richtige Abteilung oder Hieb-Abteilung in diesem Zusammenhang genannt.

Bemerken Sie, dass mit der linken und richtigen Abteilung diesen Weg definiert hat, im Allgemeinen nicht dasselbe als ist und noch dasselbe als ist, aber und.

Matrixabteilung und Pseudogegenteil

Um Probleme wenn zu vermeiden und/oder nicht zu bestehen, kann Abteilung auch als Multiplikation mit dem Pseudogegenteil definiert werden, d. h., und, wo und das Pseudogegenteil von A und B anzeigen.

Abteilung in der abstrakten Algebra

In abstrakten Algebra wie Matrixalgebra und quaternion Algebra, Bruchteile, die normalerweise als definiert werden, oder wo ein invertible Element gewagt wird (d. h., dort besteht ein multiplicative Gegenteil solch das, wo die multiplicative Identität ist). In einem integrierten Gebiet, wo solche Elemente nicht bestehen können, kann Abteilung noch auf Gleichungen der Form oder durch die linke oder richtige Annullierung beziehungsweise durchgeführt werden. Mehr allgemein kann "die Abteilung" im Sinne "der Annullierung" in jedem Ring mit den oben erwähnten Annullierungseigenschaften getan werden. Wenn solch ein Ring begrenzt ist, dann durch eine Anwendung des Ablegefach-Grundsatzes ist jedes Nichtnullelement des Rings invertible, so ist die Abteilung durch jedes Nichtnullelement in solch einem Ring möglich. Um darüber zu erfahren, wenn Algebra (im technischen Sinn) eine Abteilungsoperation haben, beziehen Sie sich auf die Seite auf Abteilungsalgebra. In besonderem Bott kann Periodizität verwendet werden, um zu zeigen, dass jede echte normed Abteilungsalgebra entweder zu den reellen Zahlen R, die komplexen Zahlen C, der quaternions H, oder zum octonions O isomorph sein muss.

Abteilung und Rechnung

Die Ableitung des Quotienten von zwei Funktionen wird durch die Quotientenregel gegeben:

:

Es gibt keine allgemeine Methode, den Quotienten von zwei Funktionen zu integrieren.

Siehe auch

• 400AD Abteilungsalgorithmus von Sunzi
• Galeere-Abteilung
• Abteilung durch zwei
• Feld
• Gruppe
• Umgekehrtes Element
• Ordnung von Operationen
• Quasigruppe (verlassen Abteilung)
• Das Wiederholen der Dezimalzahl

Außenverbindungen

• Die Abteilung auf einer japanischen Rechenmaschine hat von der Rechenmaschine ausgewählt: Mysterium der Perle
• Chinesische kurze Abteilungstechniken auf einem Suan Pan
• Regeln der Teilbarkeit