In der Physik, insbesondere in der speziellen Relativität und allgemeinen Relativität, ist der vier-Geschwindigkeiten-von einem Gegenstand ein vier-Vektoren-(Vektor in der vierdimensionalen Raum-Zeit), der klassische Geschwindigkeit (ein dreidimensionaler Vektor) ersetzt. Es wird auf solche Art und Weise gewählt, dass die Geschwindigkeit des Lichtes eine Konstante, wie gemessen, in jedem Trägheitsbezugsrahmen ist.

In der Relativitätstheorie werden Ereignisse rechtzeitig und Raum beschrieben, zusammen vierdimensionale Raum-Zeit bildend. Die Geschichte eines Gegenstands verfolgt eine Kurve in der Raum-Zeit, die durch einen Kurve-Parameter, die richtige Zeit des Gegenstands parametrisiert ist. Diese Kurve wird seine Weltlinie genannt. Der vier-Geschwindigkeiten-ist die Rate der Änderung von beiden Koordinaten der Zeit und Raums in Bezug auf die richtige Zeit des Gegenstands. Der vier-Geschwindigkeiten-ist ein Tangente-Vektor zur Weltlinie.

Zum Vergleich: In der klassischen Mechanik werden Ereignisse durch ihre (dreidimensionale) Position in jedem Moment rechtzeitig beschrieben. Der Pfad eines Gegenstands ist eine Kurve im dreidimensionalen Raum, der zu dieser Zeit parametrisiert ist. Die klassische Geschwindigkeit ist die Rate der Änderung der Raumkoordinaten des Gegenstands in Bezug auf die Zeit. Die klassische Geschwindigkeit eines Gegenstands ist ein Tangente-Vektor zu seinem Pfad.

Der Umfang eines Gegenstands vier-Geschwindigkeiten-(im Sinne des metrischen, das in der speziellen Relativität verwendet ist), ist immer c gleich (es ist ein normalisierter Vektor). Nur seine Richtung kann sich ändern.

Für einen Gegenstand ruhig (in Bezug auf das Koordinatensystem) seine Vier-Geschwindigkeiten-Punkte in der Richtung auf die Zeitkoordinate.

Klassische Mechanik

In der klassischen Mechanik wird der Pfad eines Gegenstands im dreidimensionalen Raum durch drei Koordinatenfunktionen als eine Funktion (der absoluten) Zeit t bestimmt:

:

\vec {x} = x^i (t) =

\begin {bmatrix }\

x^1 (t) \\x^2 (t) \\x^3 (t) \\

\end {bmatrix }\</Mathematik>

wo das Anzeigen der drei Raumpositionen des Gegenstands in der Zeit t.

Die Bestandteile der klassischen Geschwindigkeit an einem Punkt p (Tangente zur Kurve) sind

:

\left (\frac {\\mathrm {d} x^1} {\\mathrm {d} t }\\; \frac {\\mathrm {d} x^2} {\\mathrm {d} t }\\; \frac {\\mathrm {d} x^3} {\\mathrm {d} t }\\Recht)

</Mathematik>

wo die Ableitungen am Punkt p genommen werden. So sind sie

der Unterschied in zwei nahe gelegenen Positionen hat sich als Zwischenraum geteilt.

Relativitätstheorie

In der Relativitätstheorie von Einstein wird der Pfad eines Gegenstands, der sich hinsichtlich eines besonderen Bezugssystems bewegt, durch definiert

vier Koordinatenfunktionen (wo die Zeitkoordinate anzeigt, die mit c multipliziert ist), jede Funktion abhängig von einem Parameter, genannt seine richtige Zeit.

:

\mathbf {x} = x^ {\\mu} (\tau) =

\begin {bmatrix }\

X^0 (\tau) \\X^1 (\tau) \\X^2 (\tau) \\X^3 (\tau) \\

\end {bmatrix }\

\begin {bmatrix }\

ct \\x^1 (t) \\x^2 (t) \\x^3 (t) \\

\end {bmatrix }\</Mathematik>

Zeitausdehnung

Von der Zeitausdehnung wissen wir das

:

wo der Faktor von Lorentz ist, der als definiert wird:

:

und u ist die Euklidische Norm des klassischen Geschwindigkeitsvektoren:

:.

Definition des vier-Geschwindigkeiten-

Der vier-Geschwindigkeiten-ist die einer Weltlinie vier-Vektoren-Tangente.

Die vier Geschwindigkeit der Weltlinie wird als definiert:

:wo

: ist die richtige Zeit.

Bestandteile des vier-Geschwindigkeiten-

Die Beziehung zwischen der Zeit t und der Koordinatenzeit wird durch gegeben

:

Die Ableitung in Bezug auf die richtige Zeit nehmend, finden wir den Geschwindigkeitsbestandteil für μ = 0:

:

Mit der Kettenregel, für 1, 2, 3, haben wir

:

\frac {\\mathrm {d} x^i} {\\mathrm {d} x^0} \frac {\\mathrm {d} x^0} {\\mathrm {d }\\tau} =

\frac {\\mathrm {d} x^i} {\\mathrm {d} x^0} c\gamma = \frac {\\mathrm {d} x^i} {\\mathrm {d} (ct)} c\gamma =

{1 \over c} \frac {\\mathrm {d} x^i} {\\mathrm {d} t\c\gamma = \gamma \frac {\\mathrm {d} x^i} {\\mathrm {d} t\= \gamma u^i </Mathematik>

wo wir die Beziehung verwendet haben

:

von der klassischen Mechanik. So finden wir für den vier-Geschwindigkeiten-:

:

In Bezug auf die Maßstäbe (und synchronisierte Uhren) hat vereinigt

mit einer besonderen Scheibe der flachen Raum-Zeit, der drei raummäßigen

Bestandteile von 4-Geschwindigkeiten-definieren einen Reisen Gegenstands

richtige Geschwindigkeit d. h.

die Rate, an der Entfernung im Bezugskarte-Rahmen bedeckt wird

pro Einheit hat richtige Zeit auf Uhren vergangen, die mit dem Gegenstand reisen.

Interpretation

Für einen Rest-Rahmen, natürlich, und, folglich so die Behauptung über das Reisen in der Zeitrichtung rechtfertigend.

In jedem Bezugssystem, sowohl in der speziellen als auch in allgemeinen Relativität, haben wir

:

wenn die Unterschrift des metrischen (-1,1,1,1) ist.

Sonst, wenn die Unterschrift genommen wird, um zu sein (1,-1,-1,-1), haben wir

:

Jedoch, in beiden Fällen:

:

Mit anderen Worten sind die Norm oder der Umfang des vier-Geschwindigkeiten-von einem mit dem Rest massiven Gegenstand immer der Geschwindigkeit des Lichtes genau gleich. So kann von allen mit dem Rest massiven Gegenständen als bewegend durch die Raum-Zeit mit der Geschwindigkeit des Lichtes gedacht werden.

Das stellt eine Weise zur Verfügung, Zeitausdehnung zu verstehen. Da sich ein Gegenstand wie eine Rakete von unserer Perspektive beschleunigt, bewegt er sich nicht nur schneller durch den Raum, sondern auch schneller im Laufe der Zeit, um den Umfang der Vier-Geschwindigkeiten-Konstante zu behalten. Weil die Geschwindigkeit im Laufe der Zeit, die Rate zunimmt, Abnahmen alt zu machen. So einem Beobachter bewegt sich eine Uhr auf der Rakete langsamer, wie die Uhren in jedem Bezugsrahmen tun, der nicht comoving mit ihnen ist.

Der vier-Geschwindigkeiten-, der oben über den Rest-Rahmen eines Gegenstands definiert ist, besteht für Gegenstände des Rests-massless wie Licht nicht, da Licht keinen Lorentz Trägheitsrest-Rahmen hat. Jedoch kann vom vier-Geschwindigkeiten-auch als der Tangente-Vektor zu einem Raum-Zeit-Pfad eines Gegenstands gedacht werden. Mit dieser Definition hat das 4-Geschwindigkeiten-vom Licht Raum-Zeit-Null"Länge". Formell ist das zu einem Pfad eines Fotons gleichwertig, der eine geodätische Null ist. Heuristisch reist ein Foton immer "ebenso" in der koordinierten Zeit und Raum, sein Pfad, der die Diagonale in einem Raum-Zeit-Diagramm ist, in dem besonderer Lorentz Trägheitskoordinatensystem gewählt worden ist. Die zwei Bilder sind gleichwertig, da die Diagonale eine geodätische Null ist.

Siehe auch

• vier-Vektoren-, vier-Beschleunigungen-, vier-Schwünge-, vier-Kräfte-.
• Spezielle Relativität, Rechnung, Ableitung.
• Algebra des physischen Raums
• Kongruenz (allgemeine Relativität)