In der Mathematik ist die spezielle geradlinige Gruppe des Grads n über Feld F der Satz n×n matrices mit der Determinante 1, mit den Gruppenoperationen der gewöhnlichen Matrixmultiplikation und Matrixinversion.

Das ist die normale Untergruppe der allgemeinen geradlinigen Gruppe, die durch den Kern der Determinante gegeben ist

wo wir F für die multiplicative Gruppe von F schreiben (d. h. 0 ausschließend).

Diese Elemente sind darin "speziell" sie fallen auf einer Subvielfalt der allgemeinen geradlinigen Gruppe - sie befriedigen eine polynomische Gleichung (da die Determinante Polynom in den Einträgen ist).

Geometrische Interpretation

Die spezielle geradlinige Gruppe kann SL (n, R) als die Gruppe des Volumens und der Orientierung charakterisiert werden, die geradlinige Transformationen von R bewahrt; das entspricht der Interpretation der Determinante als messend Änderung im Volumen und der Orientierung.

Lügen Sie Untergruppe

Wenn F R ist oder C SL (n) eine Lüge-Untergruppe von GL (n) von der Dimension n &minus ist; 1. Die Lüge-Algebra von SL (n) besteht aus allen n×n matrices über F mit der verschwindenden Spur. Die Lüge-Klammer wird durch den Umschalter gegeben.

Topologie

Jede invertible Matrix kann gemäß der polaren Zergliederung als das Produkt einer einheitlichen Matrix und einer hermitian Matrix mit positivem eigenvalues einzigartig vertreten werden. Die Determinante der einheitlichen Matrix ist auf dem Einheitskreis, während diese der hermitian Matrix echt und, und seitdem im Fall von einer Matrix von der speziellen geradlinigen Gruppe positiv ist, muss das Produkt dieser zwei Determinanten 1 sein, dann muss jeder von ihnen 1 sein. Deshalb kann eine spezielle geradlinige Matrix als das Produkt einer speziellen einheitlichen Matrix (oder spezieller orthogonaler Matrix im echten Fall) und einer positiven bestimmten hermitian Matrix (oder symmetrischer Matrix im echten Fall) geschrieben werden Determinante 1 zu haben.

So die Topologie der Gruppe ist SL (n, C) das Produkt der Topologie von SU (n) und der Topologie der Gruppe von hermitian matrices von der Einheitsdeterminante mit positivem eigenvalues. Eine hermitian Matrix der Einheitsdeterminante und positiven eigenvalues zu haben, kann als der Exponential-von einem traceless hermitian Matrix einzigartig ausgedrückt werden, und deshalb ist die Topologie davon die des n-1 dimensionalen Euklidischen Raums.

Die Topologie von SL (n, R) ist das Produkt der Topologie SO (n) und der Topologie der Gruppe von symmetrischem matrices mit positivem eigenvalues. Da der letzte matrices als der Exponential-von symmetrischem traceless matrices einzigartig ausgedrückt werden kann, dann ist diese letzte Topologie die von (n+2) (n-1)/2 dimensionaler Euklidischer Raum.

Der Gruppen-SL (n, C), wie SU (n), wird einfach verbunden, während SL (n, R), wie SO (n), nicht ist. SL (n, R) hat dieselbe grundsätzliche Gruppe wie GL (n, R) oder SO (n), d. h. Z für n = 2 und Z für n > 2.

Beziehungen zu anderen Untergruppen von GL (n, A)

Zwei zusammenhängende Untergruppen, die in einigen Fällen mit SL, und in anderen Fällen zusammenfallen, werden mit SL zufällig verschmelzt, sind die Umschalter-Untergruppe von GL und die durch transvections erzeugte Gruppe. Das sind beide Untergruppen von SL (transvections haben Determinante 1, und det ist eine Karte zu einer abelian Gruppe, so), aber fallen im Allgemeinen damit nicht zusammen.

Die durch transvections erzeugte Gruppe wird angezeigt

(für elementaren matrices) oder. Durch die zweite Beziehung von Steinberg, weil transvections Umschalter, so sind

für.

Da transvections Umschalter (von 2×2 matrices), wie gesehen, zum Beispiel nicht zu sein braucht, wenn das Feld von zwei Elementen, dann ist

wo Alt (3) und Sym (3) das Wechseln resp. symmetrische Gruppe auf 3 Briefen anzeigen.

Jedoch, wenn ein Feld mit mehr als 2 Elementen, dann, und wenn ist

ist ein Feld mit mehr als 3 Elementen.

In einigen Verhältnissen fallen diese zusammen: Die spezielle geradlinige Gruppe über ein Feld oder ein Euklidisches Gebiet wird durch transvections erzeugt, und die stabile spezielle geradlinige Gruppe über ein Gebiet von Dedekind wird durch transvections erzeugt. Für allgemeinere Ringe wird der stabile Unterschied von der speziellen Gruppe von Whitehead gemessen, wo und die stabilen Gruppen der speziellen geradlinigen Gruppe und elementaren matrices sind.

Generatoren und Beziehungen

man über einen Ring arbeitet, wo SL durch transvections (wie ein Euklidisches oder Feldgebiet) erzeugt wird, kann man eine Präsentation von SL geben, der transvections mit einigen Beziehungen verwendet. Transvections befriedigen die Beziehungen von Steinberg, aber diese sind nicht genügend: Die resultierende Gruppe ist die Gruppe von Steinberg, die nicht die spezielle geradlinige Gruppe, aber eher die universale Haupterweiterung der Umschalter-Untergruppe von GL ist.

Ein genügend Satz von Beziehungen für dafür wird durch zwei der Beziehungen von Steinberg plus eine dritte Beziehung gegeben.

Lassen Sie, die elementare Matrix mit 1's auf der Diagonale und in der Position, und 0's anderswohin zu sein (und). Dann

\left [T_ {ij}, T_ {jk} \right] &= T_ {ik} && \mbox {weil} ich \neq k \\

\left [T_ {ij}, T_ {kl} \right] &= \mathbf {1} && \mbox {weil} ich \neq l, j \neq k \\

(T_ {12} T_ {21} ^ {-1} T_ {12}) ^4 &= \mathbf {1 }\\\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

sind ein ganzer Satz von Beziehungen für,

Struktur von GL (n, F)

Die Gruppe spaltet sich über seine Determinante auf (wir verwenden als der monomorphism von zu,

sieh halbdirektes Produkt), und deshalb kann GL (n, F) als ein halbdirektes Produkt von SL (n, F) durch F geschrieben werden:

:GL (n, F) = SL (n, F)  F.

Siehe auch

• SL(R)
• SL (C)
• Modulgruppe
• Projektive geradlinige Gruppe