In der abstrakten Algebra ist ein Monoid-Ring ein neuer Ring, der von einem anderen Ring und einem monoid gebaut ist.

Definition

Lassen Sie R ein Ring und G sein, ein monoid sein. Denken Sie alle Funktionen φ: G  R solch dass der Satz {g: φ (g)  ist 0\begrenzt. Lassen Sie alle diese Funktionen mit dem Element kluger addable sein. Wir können Multiplikation definieren

durch (φ * ψ) (g) = Σφ (k) ψ (l).

Der Satz aller dieser Funktionen φ, zusammen mit diesen zwei Operationen, bildet einen Ring, der monoid Ring von G über R hat R [G] angezeigt. Wenn G eine Gruppe ist, dann zeigt R [G] den Gruppenring von G über R an.

Weniger streng, aber einfacher ist ein Element von R [G] ein Polynom in G über R, folglich die Notation. Wir multiplizieren Elemente als Polynome, das Produkt in G des "indeterminates" nehmend und Begriffe sammelnd:

wo rs das R-Produkt ist und gh das G-Produkt ist.

Der Ring R kann im Ring R [G] über den Ringhomomorphismus T eingebettet werden: R  R [G] definiert durch

:T (r) (1) = r, T(r) (g) = 0 für g ≠ 1.

wo 1 das Identitätselement von G ist.

Dort auch besteht ein kanonischer Homomorphismus, der den anderen Weg, genannt die Zunahme geht. Es ist die Karte η:R [G]  R, definiert durch

Der Kern dieses Homomorphismus, des Zunahme-Ideales, wird durch J (G) angezeigt. Es ist ein freies R-Modul, das durch die Elemente 1 - g für g in G erzeugt ist.

Beispiele

In Anbetracht eines Rings R und des (Zusatzes) monoid der natürlichen Zahlen N (oder {x} hat multiplicatively angesehen), erhalten wir den Ring R [{x}] =: R [x] Polynome über R.

Der Monoid N (mit der Hinzufügung) gibt den polynomischen Ring mit n Variablen: R [N] =: R [X..., X].