In der abstrakten Algebra ist der Überlegenheitsgrad einer Felderweiterung L/K ein bestimmtes ziemlich raues Maß der "Größe" der Erweiterung. Spezifisch wird es als der größte cardinality einer algebraisch unabhängigen Teilmenge von L über K definiert.

Eine Teilmenge S L ist eine Überlegenheitsbasis von L/K, wenn es über K algebraisch unabhängig ist, und wenn außerdem L eine algebraische Erweiterung Feldes K (S) (das erhaltene Feld durch das Angrenzen an die Elemente von S zu K) ist. Man kann zeigen, dass jede Felderweiterung eine Überlegenheitsbasis hat, und dass alle Überlegenheitsbasen denselben cardinality haben; dieser cardinality ist dem Überlegenheitsgrad der Erweiterung gleich und wird trdeg L oder trdeg (L/K) angezeigt.

Wenn kein Feld K angegeben wird, ist der Überlegenheitsgrad Feldes L sein Grad hinsichtlich des Hauptfeldes derselben Eigenschaft, d. h., Q, wenn L von der Eigenschaft 0 und F ist, wenn L von der Eigenschaft p ist.

Die Felderweiterung L/K ist rein transzendental, wenn es eine Teilmenge S von L gibt, der über K algebraisch unabhängig und dass L = K (S) solch ist.

Beispiele

• Eine Erweiterung ist algebraisch, wenn, und nur wenn sein Überlegenheitsgrad 0 ist; der leere Satz dient als eine Überlegenheitsbasis hier.
• Das Feld von vernünftigen Funktionen in n Variablen K (x..., x) ist eine rein transzendentale Erweiterung mit dem Überlegenheitsgrad n über K; wir können zum Beispiel {x..., x} als eine Überlegenheitsbasis nehmen.
• Mehr allgemein ist der Überlegenheitsgrad der Funktion Feld L einer n-dimensional algebraischen Vielfalt über einen Boden Feld K n.
• Q (√2, π) hat Überlegenheitsgrad 1 über Q, weil 2 algebraisch ist, während π transzendental ist.
• Der Überlegenheitsgrad von C oder R über Q ist der cardinality des Kontinuums. (Das folgt, da jedes Element nur zählbar viele algebraische Elemente darüber in Q hat, da Q selbst zählbar ist.)
• Der Überlegenheitsgrad von Q (π, e) über Q ist entweder 1 oder 2; die genaue Antwort ist unbekannt, weil es nicht bekannt ist, ob π und e algebraisch unabhängig sind.

Analogie mit Vektorraum-Dimensionen

Es gibt eine Analogie mit der Theorie von Vektorraum-Dimensionen. Das Wörterbuch vergleicht algebraisch unabhängige Sätze mit linear unabhängigen Sätzen; Sätze S solch, dass L über K (S) mit dem Überspannen von Sätzen algebraisch ist; Überlegenheit stützt mit Basen; und Überlegenheitsgrad mit der Dimension. Die Tatsache, dass Überlegenheitsbasen immer bestehen (wie die Tatsache, dass Basen immer in der geradlinigen Algebra bestehen) verlangt das Axiom der Wahl. Der Beweis, dass irgendwelche zwei Basen denselben cardinality haben, hängt in jeder Einstellung auf einem Austauschlemma ab.

Tatsachen

Wenn M/L eine Felderweiterung ist und L/K eine andere Felderweiterung ist, dann ist der Überlegenheitsgrad von M/K der Summe der Überlegenheitsgrade von M/L und L/K gleich. Das wird durch die Vertretung bewiesen, dass eine Überlegenheitsbasis von M/K durch die Einnahme der Vereinigung einer Überlegenheitsbasis von M/L und einen von L/K erhalten werden kann.

Anwendungen

Überlegenheitsbasen sind ein nützliches Werkzeug, um verschiedene Existenz-Behauptungen über den Feldhomomorphismus zu beweisen. Hier ist ein Beispiel: In Anbetracht eines algebraisch geschlossenen Feldes L, ein Teilfeld K und ein Feld automorphism f K, dort besteht ein Feld automorphism L, der f erweitert (d. h. dessen Beschränkung zu K f ist). Für den Beweis fängt man mit einer Überlegenheitsbasis S L/K an. Die Elemente von K (S) sind gerade Quotienten von Polynomen in Elementen von S mit Koeffizienten in K; deshalb kann der automorphism f zu einem von K (S) durch das Senden jedes Elements von S zu sich erweitert werden. Feld L ist der algebraische Verschluss von K (S), und algebraische Verschlüsse sind bis zum Isomorphismus einzigartig; das bedeutet, dass der automorphism weiter von K (S) zu L erweitert werden kann.

Als eine andere Anwendung zeigen wir, dass es (viele) richtige Teilfelder der komplexen Zahl Feld C gibt, die (als Felder) isomorph zu C sind. Für den Beweis, nehmen Sie eine Überlegenheitsbasis S C/Q. S ist ein Unendliche (sogar unzählbar) Satz, also dort bestehen (viele) Karten f: S  S, die injective, aber nicht surjective sind. Jede solche Karte kann zu einem Feldhomomorphismus Q (S)  Q (S) erweitert werden, der nicht surjective ist. Solch ein Feldhomomorphismus kann der Reihe nach zum algebraischen Verschluss C erweitert werden, und der resultierende Feldhomomorphismus C  C ist nicht surjective.

Der Überlegenheitsgrad kann ein intuitives Verstehen der Größe eines Feldes geben. Zum Beispiel stellt ein Lehrsatz wegen Siegels fest, dass, wenn X eine kompakte, verbundene, komplizierte Sammelleitung der Dimension n und K (X) ist, das Feld (allgemein definiert) meromorphic Funktionen darauf, dann trdeg (K (X)) &le anzeigt; n.