In der abstrakten Algebra, mehr besonders in der Ringtheorie, sind lokale Ringe bestimmte Ringe, die verhältnismäßig einfach sind, und dienen, um zu beschreiben, was "lokales Verhalten" im Sinne Funktionen genannt wird, die auf Varianten oder Sammelleitungen, oder von Feldern der algebraischen Zahl definiert sind, die an einem besonderen Platz untersucht sind oder erst sind. Lokale Algebra ist der Zweig der Ersatzalgebra, die lokale Ringe und ihre Module studiert.

Das Konzept lokaler Ringe wurde von Wolfgang Krull 1938 unter dem Namen Stellenringe eingeführt. Der englische Begriff lokaler Ring ist wegen Zariskis.

Definition und die ersten Folgen

Ein Ring R ist ein lokaler Ring, wenn er irgendwelche der folgenden gleichwertigen Eigenschaften hat:

• R hat ein einzigartiges maximales linkes Ideal.
• R hat ein einzigartiges maximales richtiges Ideal.
• 1  0 und die Summe irgendwelcher zwei Nichteinheiten in R sind eine Nichteinheit.
• 1  0, und wenn x ein Element von R, dann x oder 1 &minus ist; x ist eine Einheit.
• Wenn eine begrenzte Summe eine Einheit ist, dann auch sind einige seiner Begriffe (insbesondere die leere Summe ist nicht eine Einheit, folglich 1  0).

Wenn diese Eigenschaften halten, dann fällt das einzigartige maximale linke Ideal mit dem einzigartigen maximalen richtigen Ideal und mit dem radikalen Jacobson des Rings zusammen. Der dritte von den Eigenschaften, die oben verzeichnet sind, sagt, dass der Satz von Nichteinheiten in einem lokalen Ring ein (richtiges) Ideal bildet, das notwendigerweise im radikalen Jacobson enthalten ist. Das vierte Eigentum kann wie folgt paraphrasiert werden: Ein Ring R ist lokal, wenn, und nur wenn dort zwei coprime richtige (Rektor) (verlassen) Ideale nicht bestehen, wo zwei Ideale I, ich coprime wenn R = ich + ich genannt werde.

Im Fall von Ersatzringen muss man nicht zwischen linken, richtigen und zweiseitigen Idealen unterscheiden: Ein Ersatzring ist lokal, wenn, und nur wenn er ein einzigartiges maximales Ideal hat.

Einige Autoren verlangen, dass ein lokaler Ring (verlassen und Recht) Noetherian ist, und die Non-Noetherian-Ringe dann quasilokale Ringe genannt werden. In diesem Artikel wird diese Voraussetzung nicht auferlegt.

Ein lokaler Ring, der ein integriertes Gebiet ist, wird ein lokales Gebiet genannt.

Beispiele

Auswechselbar

Felder

Alle Felder (und verdrehen Felder), sind lokale Ringe, da {0} das einzige maximale Ideal in diesen Ringen ist.

Getrennte Schätzungsringe

Eine wichtige Klasse von lokalen Ringen ist getrennte Schätzungsringe, die lokale ideale Hauptgebiete sind, die nicht Felder sind.

Polynom

Jeder Ring der formellen Macht-Reihe über ein Feld (sogar in mehreren Variablen) ist lokal; das maximale Ideal besteht aus jenen Macht-Reihen ohne unveränderlichen Begriff.

Ähnlich ist die Algebra von Doppelzahlen über jedes Feld lokal. Mehr allgemein, wenn F ein Feld ist und n eine positive ganze Zahl ist, dann ist der Quotient-Ring F [X] / (X) mit dem maximalen Ideal lokal, das aus den Klassen von Polynomen mit dem unveränderlichen Nullbegriff besteht, da man eine geometrische Reihe verwenden kann, um alle anderen Polynome modulo X umzukehren. In diesen Fällen sind Elemente entweder nilpotent oder invertible.

Arithmetik

Ein arithmetischeres Beispiel ist der folgende: Der Ring von rationalen Zahlen mit dem sonderbaren Nenner ist lokal; sein maximales Ideal besteht aus den Bruchteilen mit sogar dem Zähler und sonderbaren Nenner: Das ist die ganzen Zahlen, die an 2 lokalisiert sind.

Mehr allgemein, in Anbetracht jedes Ersatzrings R und jedes Hauptideales P R, ist die Lokalisierung von R an P lokal; das maximale Ideal ist das Ideal, das durch P in dieser Lokalisierung erzeugt ist.

Ring von Keimen

Um den für diese Ringe "lokalen" Namen zu motivieren, betrachten wir reellwertige dauernde Funktionen als definiert auf einem offenen Zwischenraum ungefähr 0 der echten Linie. Wir interessieren uns nur für das lokale Verhalten dieser Funktionen in der Nähe von 0, und wir werden deshalb zwei Funktionen identifizieren, wenn sie sich über einige (vielleicht sehr klein) offener Zwischenraum ungefähr 0 einigen. Diese Identifizierung definiert eine Gleichwertigkeitsbeziehung, und die Gleichwertigkeitsklassen sind die "Keime von reellwertigen dauernden Funktionen an 0". Diese Keime können hinzugefügt und multipliziert werden und einen Ersatzring bilden.

Um zu sehen, dass dieser Ring von Keimen lokal ist, müssen wir seine invertible Elemente identifizieren. Ein Keim f ist invertible wenn und nur wenn f (0)  0. Der Grund: Wenn f (0)  0, dann gibt es einen offenen Zwischenraum ungefähr 0, wo f Nichtnull ist, und wir die Funktion g (x) = 1/f (x) auf diesem Zwischenraum bilden können. Die Funktion g verursacht einen Keim, und das Produkt von fg ist 1 gleich.

Mit dieser Charakterisierung ist es klar, dass die Summe irgendwelcher zwei non-invertible Keime wieder non-invertible ist, und wir einen lokalen Ersatzring haben. Das maximale Ideal dieses Rings besteht genau aus jenen Keimen f mit f (0) = 0.

Genau arbeiten dieselben Argumente für den Ring von Keimen von dauernden reellwertigen Funktionen auf jedem topologischen Raum an einem gegebenen Punkt, oder den Ring von Keimen von Differentiable-Funktionen auf jeder Differentiable-Sammelleitung an einem gegebenen Punkt oder den Ring von Keimen von vernünftigen Funktionen auf jeder algebraischen Vielfalt an einem gegebenen Punkt. Alle diese Ringe sind deshalb lokal. Diese Beispiele helfen zu erklären, warum Schemas, die Generalisationen von Varianten, als spezielle lokal beringte Räume definiert werden.

Schätzungstheorie

Lokale Ringe spielen eine Hauptrolle in der Schätzungstheorie. In Anbetracht Feldes K, das kann oder kein Funktionsfeld sein kann, können wir nach lokalen Ringen darin suchen. Definitionsgemäß ist ein Schätzungsring von K ein Subring R solch, dass für jedes Nichtnullelement x K, mindestens eines von x und x in R ist. Jeder solcher Subring wird ein lokaler Ring sein. Wenn K tatsächlich das Funktionsfeld einer algebraischen Vielfalt V waren, dann für jeden Punkt P V konnten wir versuchen, einen Schätzungsring R Funktionen zu definieren, die "an" P definiert sind. In Fällen, wo V Dimension 2 oder mehr hat, gibt es eine Schwierigkeit, die dieser Weg gesehen wird: Wenn F und G vernünftige Funktionen auf V mit sind

:F (P) = G (P) = 0,

die Funktion

:F/G

ist eine unbestimmte Form an P. Ein einfaches Beispiel wie denkend

:Y/X,

genähert entlang einer Linie

:Y = tX,

man sieht, dass der Wert an P ein Konzept ohne eine vereinfachte Definition ist. Es wird durch das Verwenden von Schätzungen ersetzt.

Nichtauswechselbar

Lokale Nichtersatzringe entstehen natürlich, weil Endomorphismus in der Studie von Zergliederungen der direkten Summe von Modulen über einige andere Ringe klingelt. Spezifisch, wenn der Endomorphismus-Ring des Moduls M ist lokal, dann ist M unzerlegbar; umgekehrt, wenn das Modul M begrenzte Länge hat und unzerlegbar ist, dann ist sein Endomorphismus-Ring lokal.

Wenn k ein Feld der Eigenschaft p> 0 ist und G eine begrenzte P-Gruppe ist, dann ist das Gruppenalgebra-Kg lokal.

Einige Tatsachen und Definitionen

Auswechselbar

Wir schreiben auch (R, m) für einen lokalen Ersatzring R mit der maximalen idealen M. Jeder solcher Ring wird ein topologischer Ring auf eine natürliche Weise, wenn man die Mächte der M als eine Nachbarschaft-Basis 0 nimmt. Das ist die M adic Topologie auf R.

Wenn (R, m) und (S, n) lokale Ringe sind, dann ist ein lokaler Ringhomomorphismus von R bis S ein Ringhomomorphismus f: R  S mit dem Eigentum f (m)  n. Das ist genau der Ringhomomorphismus, der in Bezug auf die gegebenen Topologien auf R und S dauernd ist.

Ein Ring morphism f: R  ist S ein lokaler Ringhomomorphismus wenn und nur wenn; d. h. das Vorimage des maximalen Ideales ist maximal.

Bezüglich jedes topologischen Rings kann man fragen, ob (R, m) (als ein topologischer Raum) abgeschlossen ist; wenn es nicht ist, denkt man seine Vollziehung, wieder ein lokaler Ring.

Wenn (R, m) auswechselbarer Noetherian lokaler Ring, dann ist

:

(Der Kreuzungslehrsatz von Krull), und hieraus folgt dass R mit der M adic Topologie ein Raum von Hausdorff ist.

In der algebraischen Geometrie besonders wenn R der lokale Ring eines Schemas an einem Punkt P, R / ist, wird M das Rückstand-Feld des lokalen Rings oder Rückstand-Feld des Punkts P genannt.

Allgemein

Der Jacobson radikale M eines lokalen Rings R (der dem einzigartigen maximalen linken Ideal und auch dem einzigartigen maximalen richtigen Ideal gleich ist) besteht genau aus den Nichteinheiten des Rings; außerdem ist es das einzigartige maximale zweiseitige Ideal von R. Jedoch, im Nichtersatzfall, ein einzigartiges maximales zweiseitiges Ideal habend, ist dazu nicht gleichwertig, lokal zu sein.

Für ein Element x des lokalen Rings R ist der folgende gleichwertig:

• x hat ein linkes Gegenteil
• x hat ein richtiges Gegenteil
• x ist invertible
• x ist nicht in der M.

Wenn (R, m) lokal ist, dann ist der Faktor-Ring R/m ein verdrehen Feld. Wenn J  R ein zweiseitiges Ideal in R ist, dann ist der Faktor-Ring R/J wieder, mit dem maximalen Ideal m/J lokal.

Ein tiefer Lehrsatz durch Irving Kaplansky sagt, dass jedes projektive Modul über einen lokalen Ring frei ist, obwohl der Fall, wo das Modul begrenzt erzeugt wird, eine einfache Folgeerscheinung zum Lemma von Nakayama ist. Das hat eine interessante Folge in Bezug auf die Gleichwertigkeit von Morita. Nämlich, wenn P ein begrenzt erzeugtes projektives R Modul ist, dann ist P zum freien Modul R isomorph, und folglich ist der Ring von Endomorphismen zum vollen Ring von matrices isomorph. Da jeder Ring, der Morita, der zum lokalen Ring R gleichwertig ist, der Form für solch einen P, der Beschluss ist, ist, dass die einzigen Ringe Morita, der zu einem lokalen Ring R gleichwertig ist (isomorph zu) die Matrixringe über R sind.

Referenzen

Siehe auch

• Getrennter Schätzungsring
• Halblokaler Ring
• Schätzungsring