Der Vertrieb von Cauchy, genannt nach Augustin Cauchy, ist ein dauernder Wahrscheinlichkeitsvertrieb. Es ist auch, besonders unter Physikern, als der Vertrieb von Lorentz (nach Hendrik Lorentz), Cauchy-Lorentz Vertrieb, Lorentz (ian) Funktion oder Breit-Wigner Vertrieb bekannt.

Der Cauchy Vertrieb wird häufig in der Statistik als das kanonische Beispiel eines "pathologischen" Vertriebs verwendet. Sein bösartiges besteht nicht, und seine Abweichung ist unendlich. Der Cauchy Vertrieb hat begrenzte Momente der Ordnung größer oder gleich einer nicht; nur absolute Bruchmomente bestehen. Der Cauchy Vertrieb hat keine Moment-Erzeugen-Funktion.

Seine Wichtigkeit in der Physik ist das Ergebnis dessen, dass es die Lösung der Differenzialgleichung ist, die gezwungene Klangfülle beschreibt. In der Mathematik ist es nah mit dem Kern von Poisson verbunden, der die grundsätzliche Lösung für die Gleichung von Laplace im oberen Halbflugzeug ist. In der Spektroskopie ist es die Beschreibung der Gestalt von geisterhaften Linien, die dem homogenen Erweitern unterworfen sind, in dem alle Atome ebenso mit der in der Liniengestalt enthaltenen Frequenzreihe aufeinander wirken. Viele Mechanismen verursachen das homogene Erweitern, am meisten namentlich das Kollisionserweitern und die Radiation von Chantler-Alda. In seiner Standardform ist es der maximale Wärmegewicht-Wahrscheinlichkeitsvertrieb für einen zufälligen variate X für der.

Charakterisierung

Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion

Der Cauchy Vertrieb hat die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion

:

wo x der Positionsparameter ist, die Position der Spitze des Vertriebs angebend, und γ der Skala-Parameter ist, der die Halbbreite am Halbmaximum (HWHM) angibt. γ ist auch der Hälfte der Interquartile-Reihe gleich und wird manchmal den wahrscheinlichen Fehler genannt. Augustin-Louis Cauchy hat solch eine Dichte-Funktion 1827 mit einem unendlich kleinen Skala-Parameter ausgenutzt, definierend, was jetzt eine Delta-Funktion von Dirac genannt würde.

Der Umfang der obengenannten Funktion von Lorentzian wird durch gegeben

:

Der spezielle Fall, wenn x = 0 und γ = 1 den Standardvertrieb von Cauchy mit der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion genannt wird

:

In der Physik wird eine Drei-Parameter-Funktion von Lorentzian häufig verwendet:

:

= {Ich hat }\\[{\gamma^2 \over (x - x_0) ^2 + \gamma^2} \right], </Mathematik> verlassen

wo die Höhe der Spitze ist.

Kumulative Vertriebsfunktion

Die kumulative Vertriebsfunktion ist:

:

und die Quantile-Funktion (Gegenteil cdf) des Vertriebs von Cauchy ist

:

Hieraus folgt dass die ersten und dritten quartiles sind, und folglich die Interquartile-Reihe 2γ ist.

Die Ableitung der Quantile-Funktion, der quantile Dichte-Funktion, für den Vertrieb von Cauchy ist:

:

Das Differenzialwärmegewicht eines Vertriebs kann in Bezug auf seine quantile Dichte, spezifisch definiert werden

:

Eigenschaften

Der Cauchy Vertrieb ist ein Beispiel eines Vertriebs, der nicht bösartig, Abweichung oder höhere definierte Momente hat. Seine Weise und Mittellinie werden gut definiert und sind beide x gleich.

Wenn U und V zwei unabhängige sind, normalerweise hat zufällige Variablen mit dem erwarteten Wert 0 und der Abweichung 1, dann das Verhältnis verteilt U/V hat den Standardvertrieb von Cauchy.

Wenn unabhängig sind und identisch zufällige Variablen, jeden mit einem Standardvertrieb von Cauchy verteilt hat, dann hat die bösartige Probe denselben Standardvertrieb von Cauchy (die Beispielmittellinie, die durch äußerste Werte nicht betroffen wird, kann als ein Maß der Haupttendenz verwendet werden). Um zu sehen, dass das wahr ist, schätzen Sie die charakteristische Funktion der bösartigen Probe:

:

wo die bösartige Probe ist. Dieses Beispiel dient, um zu zeigen, dass die Hypothese der begrenzten Abweichung im Hauptgrenzwertsatz nicht fallen gelassen sein kann. Es ist auch ein Beispiel einer mehr verallgemeinerten Version des Hauptgrenzwertsatzes, der für den ganzen stabilen Vertrieb charakteristisch ist, dessen der Vertrieb von Cauchy ein spezieller Fall ist.

Der Cauchy Vertrieb ist ein ungeheuer teilbarer Wahrscheinlichkeitsvertrieb. Es ist auch ein ausschließlich stabiler Vertrieb.

Der Standardvertrieb von Cauchy fällt mit dem T-Vertrieb des Studenten mit einem Grad der Freiheit zusammen.

Wie der ganze stabile Vertrieb wird die Positionsskala-Familie, der der Vertrieb von Cauchy gehört, unter geradlinigen Transformationen mit echten Koeffizienten geschlossen. Außerdem ist der Vertrieb von Cauchy der einzige univariate Vertrieb, der unter geradlinigen Bruchtransformationen mit echten Koeffizienten geschlossen wird. In dieser Verbindung, sieh auch den parametrization von McCullagh des Vertriebs von Cauchy.

Charakteristische Funktion

Lassen Sie X zeigen an, dass Cauchy zufällige Variable verteilt hat. Die charakteristische Funktion des Vertriebs von Cauchy wird durch gegeben

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der gerade der Fourier ist, verwandeln sich von der Wahrscheinlichkeitsdichte. Die ursprüngliche Wahrscheinlichkeitsdichte kann in Bezug auf die charakteristische Funktion, im Wesentlichen durch das Verwenden des Gegenteils ausgedrückt werden, das Fourier umgestaltet:

:

Bemerken Sie, dass die charakteristische Funktion nicht differentiable am Ursprung ist: Das entspricht der Tatsache, dass der Vertrieb von Cauchy keinen erwarteten Wert hat.

Erklärung von unbestimmten Momenten

Bösartig

Wenn ein Wahrscheinlichkeitsvertrieb eine Dichte-Funktion f (x) hat, dann ist das bösartige

:

Die Frage besteht jetzt darin, ob das dasselbe Ding wie ist

:

Wenn am grössten Teil von einen der zwei Begriffe in (2) unendlich ist, dann (1) ist dasselbe als (2). Aber im Fall vom Vertrieb von Cauchy sind sowohl die positiven als auch negativen Begriffe (2) unendlich. Das bedeutet (2) ist unbestimmt. Außerdem, wenn (1) als integrierter Lebesgue analysiert wird, dann (1) ist auch unbestimmt, weil (1) dann einfach als der Unterschied (2) zwischen positiven und negativen Teilen definiert wird.

Jedoch, wenn (1) als ein unpassendes Integral aber nicht integrierter Lebesgue analysiert wird, dann (2) ist unbestimmt, und (1) ist nicht notwendigerweise bestimmt. Wir können (1) nehmen, um zu bedeuten

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und das ist sein Hauptwert von Cauchy, der Null ist, aber wir konnten auch (1) nehmen, um, zum Beispiel, zu bedeuten

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der nicht Null ist, wie leicht durch die Computerwissenschaft des Integrals gesehen werden kann.

Weil der integrand begrenzt wird und nicht Lebesgue integrable ist, ist es nicht sogar Henstock-Kurzweil integrable. Verschiedene Ergebnisse in der Wahrscheinlichkeitstheorie über erwartete Werte, wie das starke Gesetz der großen Anzahl, werden in solchen Fällen nicht arbeiten.

Höhere Momente

Der Cauchy Vertrieb hat begrenzte Momente keiner Ordnung. Einige der höheren rohen Momente bestehen wirklich und haben einen Wert der Unendlichkeit, zum Beispiel der rohe zweite Moment:

:

Höher werden sogar angetriebene rohe Momente auch zur Unendlichkeit bewerten. Sonderbar angetriebene rohe Momente bestehen jedoch überhaupt nicht (d. h. sind unbestimmt), der vom vorhandenen mit dem Wert der Unendlichkeit ausgesprochen verschieden ist. (Denken Sie 1/0, der mit dem Wert der Unendlichkeit gegen 0/0 definiert wird, der unbestimmt ist.) Sind die sonderbar angetriebenen rohen Momente unbestimmt, weil ihre Werte zu seit den zwei Hälften des Integrals im Wesentlichen gleichwertig sind sowohl abweichen als auch entgegengesetzte Zeichen haben. Der erste rohe Moment ist das bösartige, das, seltsam seiend, nicht besteht. (Siehe auch die Diskussion oben darüber.) Bedeutet das der Reihe nach, dass alle Hauptmomente und standardisierte Momente nicht bestehen (sind unbestimmt), da sie alle auf dem bösartigen gestützt werden. Die Abweichung — der der zweite Hauptmoment ist — ist ebenfalls nicht existierend (ungeachtet der Tatsache dass der rohe zweite Moment mit der Wertunendlichkeit besteht).

Die Ergebnisse seit höheren Momenten folgen aus der Ungleichheit von Hölder, die andeutet, dass höhere Momente (oder Hälften von Momenten) abweichen, wenn niedrigere tun.

Bewertung von Rahmen

Weil das bösartige und die Abweichung des Vertriebs von Cauchy, Versuche nicht definiert werden einzuschätzen, dass diese Rahmen nicht erfolgreich sein werden. Zum Beispiel, wenn n Proben von einem Vertrieb von Cauchy genommen werden, kann man die Probe bösartig als berechnen:

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Obwohl die Musterwerte x über den Hauptwert x konzentriert werden, wird die bösartige Probe immer variabler werden, weil mehr Proben wegen der vergrößerten Wahrscheinlichkeit genommen werden, auf Beispielpunkte mit einem großen absoluten Wert zu stoßen. Tatsächlich wird der Vertrieb der bösartigen Probe dem Vertrieb der Proben selbst gleich sein; d. h. die einer großen Probe bösartige Probe ist nicht besser (oder schlechter) ein Vorkalkulator von x als jede einzelne Beobachtung von der Probe. Ähnlich wird das Rechnen der Beispielabweichung auf Werte hinauslaufen, die größer wachsen, weil mehr Proben genommen werden.

Deshalb sind robustere Mittel, den Hauptwert x und den kletternden Parameter γ zu schätzen, erforderlich. Eine einfache Methode ist, den Mittelwert der Probe als ein Vorkalkulator von x und Hälfte der Probe interquartile Reihe als ein Vorkalkulator von γ zu nehmen. Anderer sind genauere und robuste Methoden Zum Beispiel entwickelt worden, der gestutzte bösartige von den mittleren 24 % der Beispielordnungsstatistik erzeugt eine Schätzung für x, der effizienter ist als das Verwenden entweder die Beispielmittellinie oder die volle bösartige Probe. Jedoch, wegen der fetten Schwänze des Vertriebs von Cauchy, nimmt die Leistungsfähigkeit des Vorkalkulatoren ab, wenn mehr als 24 % der Probe verwendet werden.

Maximale Wahrscheinlichkeit kann auch verwendet werden, um die Rahmen x und den γ zu schätzen. Jedoch neigt das dazu, durch die Tatsache kompliziert zu werden, dass das Entdeckung der Wurzeln eines hohen Grad-Polynoms verlangt, und es vielfache Wurzeln geben kann, die lokale Maxima vertreten. Außerdem, während der maximale Wahrscheinlichkeitsvorkalkulator asymptotisch effizient ist, ist es für kleine Proben relativ ineffizient. Die Funktion der Klotz-Wahrscheinlichkeit für den Vertrieb von Cauchy für die Beispielgröße n ist:

:

Die Maximierung der Klotz-Wahrscheinlichkeitsfunktion in Bezug auf x und γ erzeugt das folgende Gleichungssystem:

::

Bemerken Sie, dass das eine Eintönigkeitsfunktion in γ ist, und dass die Lösung γ befriedigen muss. Das Lösen gerade für x verlangt das Lösen eines Polynoms des Grads 2n &minus; 1, und gerade für γ lösend, verlangt das Lösen eines Polynoms des Grads n (zuerst für, dann x). Deshalb, ob, für einen Parameter oder für beide paramters gleichzeitig lösend, eine numerische Lösung auf einem Computer normalerweise erforderlich ist. Der Vorteil der maximalen Wahrscheinlichkeitsbewertung ist asymptotische Leistungsfähigkeit; das Schätzen x das Verwenden der Beispielmittellinie ist nur um ungefähr 81 % so asymptotisch effizient wie das Schätzen x durch die maximale Wahrscheinlichkeit. Die gestutzte Probe, die bösartig ist, die mittlere 24-%-Ordnungsstatistik zu verwenden, ist um ungefähr 88 % ein Vorkalkulator von x so asymptotisch effizient wie die maximale Wahrscheinlichkeitsschätzung. Wenn die Methode des Newtons verwendet wird, um die Lösung für die maximale Wahrscheinlichkeitsschätzung zu finden, kann die mittlere 24-%-Ordnungsstatistik als eine anfängliche Lösung für x verwendet werden.

Cauchy kreisförmiger Vertrieb

Wenn X Cauchy ist, der mit der Mittellinie μ und Skala-Parameter γ, dann die komplizierte Variable verteilt ist

:

hat Einheitsmodul und wird auf dem Einheitskreis mit der Dichte verteilt:

:

in Bezug auf die winkelige Variable, wo

:

und drückt die zwei Rahmen des verbundenen geradlinigen Vertriebs von Cauchy für x als eine komplexe Zahl aus:

:

Der Vertrieb wird den kreisförmigen Vertrieb von Cauchy genannt

(auch der komplizierte Vertrieb von Cauchy) mit dem Parameter. Der kreisförmige Vertrieb von Cauchy ist mit dem gewickelten Vertrieb von Cauchy verbunden. Wenn ein gewickelter Vertrieb von Cauchy mit dem Parameter ist, der die Rahmen des entsprechenden "ausgewickelten" Vertriebs von Cauchy in der Variable y wo, dann vertritt

:

Siehe auch den parametrization von McCullagh des Vertriebs von Cauchy und Kerns von Poisson für zusammenhängende Konzepte.

Der kreisförmige in der komplizierten Form ausgedrückte Vertrieb von Cauchy hat begrenzte Momente aller Ordnungen

:

für die ganze Zahl. Dafür

:

ist holomorphic auf der Einheitsplatte, und die umgestaltete Variable wird als komplizierter Cauchy mit dem Parameter verteilt.

In Anbetracht einer Probe der Größe n> 2, die Gleichung der maximalen Wahrscheinlichkeit

:

kann durch eine einfache Wiederholung des festen Punkts gelöst werden:

:

das Starten mit Der Folge von Wahrscheinlichkeitswerten nimmt nichtab, und die Lösung ist für Proben einzigartig, die mindestens drei verschiedene Werte enthalten.

Die Schätzung der maximalen Wahrscheinlichkeit für die Mittellinie und Skala-Parameter einer echten Probe von Cauchy wird durch die umgekehrte Transformation erhalten:

:

Für n  4 sind Ausdrücke der geschlossenen Form dafür bekannt. Die Dichte des Vorkalkulatoren der maximalen Wahrscheinlichkeit an t in der Einheitsplatte ist notwendigerweise der Form:

:

wo

:.

Formeln dafür und sind verfügbar.

Vertrieb von Multivariate Cauchy

Wie man

sagt, hat ein zufälliger Vektor den multivariate Vertrieb von Cauchy, wenn jede geradlinige Kombination seiner Bestandteile Y = Axt +... + Axt einen Vertrieb von Cauchy hat. D. h. für jeden unveränderlichen Vektoren sollte die zufällige Variable einen univariate Vertrieb von Cauchy haben. Durch die charakteristische Funktion eines multivariate Vertriebs von Cauchy wird gegeben:

:

wo x (t) und γ (t) echte Funktionen mit x (t) eine homogene Funktion des Grads ein und γ (t) eine positive homogene Funktion des Grads ein sind. Mehr formell:

: und für den ganzen t.

Ein Beispiel eines bivariate Vertriebs von Cauchy kann angeführt werden durch:

:

Bemerken Sie, dass in diesem Beispiel, wenn auch es keine Entsprechung einer Kovarianz-Matrix gibt, x und y nicht statistisch unabhängig sind.

Analog zur univariate Dichte bezieht sich die mehrdimensionale Dichte von Cauchy auch auf den Multivariate Studentenvertrieb. Sie sind gleichwertig, wenn die Grade des Freiheitsparameters einem gleich sind. Die Dichte eines k Dimensionsstudentenvertriebs mit einem Grad der Freiheit wird:

:

f ({\\mathbf x}; {\\mathbf\mu}, {\\mathbf\Sigma}, k) = \frac {\\Gamma\left [(1+k)/2\right]} {\\Gamma (1/2) \pi^ {k/2 }\\ist | {\\mathbf\Sigma }\\richtiger |^ {1/2 }\\link [1 + ({\\mathbf x} - {\\mathbf\mu}) ^T {\\mathbf\Sigma} ^ {-1} ({\\mathbf x} - {\\mathbf\mu}) \right] ^ {(1+k)/2}} abgereist.

</Mathematik>

Eigenschaften und Details für diese Dichte können durch die Einnahme davon als ein besonderer Fall der Multivariate Studentendichte erhalten werden.

Transformationseigenschaften

• Wenn dann

Wenn dann

• Wenn und, dann unabhängig

sindWenn dann

• Der parametrization von McCullagh des Vertriebs von Cauchy: Das Ausdrücken eines Vertriebs von Cauchy in Bezug auf einen komplizierten Parameter, definieren Sie, um zu bedeuten. Wenn X ~ Cauchy dann:

: ~ Cauchy, wo a, b, c und d reelle Zahlen sind.

• Das Verwenden derselben Tagung wie oben, wenn Wenn X ~ Cauchy dann:

: ~ CCauchy

:where "CCauchy" ist der kreisförmige Vertrieb von Cauchy.

Zusammenhängender Vertrieb

• Der t Vertrieb des Studenten
• Der t Vertrieb des nichtstandardisierten Studenten
• Wenn und dann

Wenn dannWenn dann

• Der Cauchy Vertrieb ist ein Begrenzungsfall eines Vertriebs von Pearson des Typs 4
• Der Cauchy Vertrieb ist ein spezieller Fall eines Vertriebs von Pearson des Typs 7.
• Der Cauchy Vertrieb ist ein stabiler Vertrieb: wenn X ~ Stall, dann X ~Cauchy (μ, γ).
• Der Cauchy Vertrieb ist eine einzigartige Grenze eines Hyperbelvertriebs
• Der gewickelte Vertrieb von Cauchy, Werte auf einem Kreis nehmend, wird aus dem Vertrieb von Cauchy durch die Verpackung davon um den Kreis abgeleitet.

Relativistischer Breit-Wigner Vertrieb

Im Kern- und der Partikel-Physik wird das Energieprofil einer Klangfülle durch den relativistischen Breit-Wigner Vertrieb beschrieben, während der Vertrieb von Cauchy der (nichtrelativistische) Breit-Wigner Vertrieb ist.

Siehe auch

• Flug von Lévy und Lévy bearbeiten
• Hieb-Vertrieb

Links

• Frühster Gebrauch: Der Zugang auf dem Vertrieb von Cauchy hat etwas historische Information.
• GNU wissenschaftliche Bibliothek - Bedienungshandbuch