In der Euklidischen Geometrie wird ein konvexes Vierseit mit mindestens einem Paar von parallelen Seiten (sieh unten) ein Trapezoid auf Amerikanischem Englisch und als ein Trapez in Englisch außerhalb Nordamerikas genannt. Die parallelen Seiten werden die Basen des Trapezoids genannt, und die anderen zwei Seiten werden die Beine oder die seitlichen Seiten genannt. Ein Trapezoid mit Scheitelpunkten ABCD wird angezeigt.

Dieser Artikel gebraucht den Begriff Trapezoid im Sinn, der in den Vereinigten Staaten (und manchmal in einigen anderen englisch sprechenden Ländern) aktuell ist. Auf allen anderen Sprachen mit einem Wort ist auf den Griechen für diese Zahl zurückzuführen gewesen, die Form, die am Trapez (z.B französischer trapèze, italienischer trapezio, deutscher Trapez, russischer трапеция) am nächsten ist, wird verwendet.

Der Begriff Trapez ist im Gebrauch in Englisch seit 1570, vom Späten lateinischen Trapez, von Griechisch  (trapézion), wörtlich "ein kleiner Tisch", ein Diminutiv  (trápeza), "ein Tisch", selbst von  (tetrás), "vier" + πέζα (péza), "ein Fuß, ein Rand" gewesen. Der erste registrierte Gebrauch des griechischen Wortes hat Trapezoid übersetzt (, trapézoeide, "tabellenähnlich") war durch Marinus Proclus (412 bis 485 n.Chr.) in seinem Kommentar zum ersten Buch der Elemente von Euklid.

Definition

Es gibt auch etwas Unstimmigkeit auf der erlaubten Zahl von parallelen Seiten in einem Trapezoid. Strittig ist, ob Parallelogramme, die zwei Paare von parallelen Seiten haben, als Trapezoide aufgezählt werden sollten. Einige Autoren definieren ein Trapezoid als ein Vierseit, das genau ein Paar von parallelen Seiten (die exklusive Definition) dadurch hat, Parallelogramme ausschließend. Andere Autoren definieren ein Trapezoid als ein Vierseit mit mindestens einem Paar von parallelen Seiten (die einschließliche Definition), das Parallelogramm einen speziellen Typ des Trapezoids machend. Die letzte Definition ist mit seinem Gebrauch in der höheren Mathematik wie Rechnung im Einklang stehend. Die ehemalige Definition würde solche Konzepte wie die trapezoide Annäherung an ein bestimmtes Integral schlecht-definiert machen. Dieser Artikel verwendet die einschließliche Definition und betrachtet Parallelogramme als spezielle Fälle eines Trapezoids. Das wird auch in der Taxonomie von Vierseiten verteidigt.

Spezielle Fälle

In einem gleichschenkligen Trapezoid haben die Beine (n.Chr. und v. Chr. in der Zahl oben) dieselbe Länge, und die Grundwinkel haben dasselbe Maß.

In einem richtigen Trapezoid (hat auch rechtwinkliges Trapezoid genannt), sind zwei angrenzende Winkel richtige Winkel.

Laut der einschließlichen Definition sind alle Parallelogramme zusammen mit dem Rhombus, dem Rechteck und dem Quadrat auch Trapezoide.

Charakterisierungen

Ein konvexes Vierseit ist ein Trapezoid, wenn, und nur wenn es zwei angrenzende Winkel hat, die ergänzend sind, d. h. sie 180 Grade zusammenzählen.

Eine andere notwendige und genügend Bedingung besteht darin, dass die Diagonalen einander in gegenseitig demselben Verhältnis schneiden (dieses Verhältnis ist dasselbe als das zwischen den Längen der parallelen Seiten).

Ein konvexes Vierseit ist auch ein Trapezoid, wenn, und nur wenn die Diagonalen das Vierseit in vier Dreiecke schneiden, von dem entgegengesetztes Paar ähnlich sind.

Midsegment und Höhe

Der midsegment (hat auch die Mittellinie oder midline genannt), eines Trapezoids ist das Segment, das sich den Mittelpunkten der Beine anschließt. Es ist zu den Basen parallel. Seine Länge M ist dem Durchschnitt der Längen der Basen a und b des Trapezoids, gleich

Der midsegment eines Trapezoids ist einer der zwei bimedians (der andere bimedian teilt das Trapezoid in gleiche Gebiete).

Die Höhe (oder Höhe) ist die rechtwinklige Entfernung zwischen den Basen. Im Fall, dass die zwei Basen verschiedene Längen (ein  b) haben, kann die Höhe eines Trapezoids h durch die Länge seiner vier Seiten mit der Formel bestimmt werden

wo c und d die Längen der Beine sind. Diese Formel gibt auch eine Weise zu bestimmen, wenn ein Trapezoid von Konsekutivseiten a, c, b, und d besteht. Es gibt solch ein Trapezoid mit Basen a und b wenn und nur wenn

Gebiet

Gebiet K eines Trapezoids wird durch gegeben

wo a und b die Längen der parallelen Seiten sind, und h die Höhe ist (die rechtwinklige Entfernung zwischen diesen Seiten.) In 499 n.Chr. hat Aryabhata, ein großer Mathematiker-Astronom vom klassischen Alter der Indianermathematik und Indianerastronomie, diese Methode in Aryabhatiya verwendet (Abschnitt 2. 8). Das trägt als ein spezieller Fall die wohl bekannte Formel für das Gebiet eines Dreiecks, durch das Betrachten eines Dreiecks als ein degeneriertes Trapezoid, in dem der parallelen Seiten zu einem Punkt zurückgewichen ist.

Deshalb ist das Gebiet eines Trapezoids der Länge dieses midsegment gleich, der mit der Höhe multipliziert ist

Von der Formel für die Höhe kann es beschlossen werden, dass das Gebiet in Bezug auf die vier Seiten als ausgedrückt werden kann

Als eine der parallelen Seiten zu einem Punkt zurückgewichen ist (sagen Sie = 0), diese Formel nimmt zur Formel des Reihers für das Gebiet eines Dreiecks ab.

Eine andere gleichwertige Formel für das Gebiet, das näher der Formel des Reihers ähnelt, ist

wo der Halbumfang des Trapezoids ist. (Diese Formel ist der Formel von Brahmagupta ähnlich, aber es unterscheidet sich davon, in dem ein Trapezoid (eingeschrieben in einem Kreis) nicht zyklisch sein könnte. Die Formel ist auch ein spezieller Fall der Formel von Bretschneider für ein allgemeines Vierseit).

Von der Formel von Bretschneider, hieraus folgt dass

Diagonalen

Die Längen der Diagonalen sind

wo a und b die Basen, c sind und d die anderen zwei Seiten und ein sind

Die Linie, die sich den Mittelpunkten der parallelen Seiten anschließt, halbiert das Gebiet.

Wenn das Trapezoid in vier Dreiecke durch seine Diagonalen AC und BD (wie gezeigt, rechts) geteilt wird, sich an O schneidend, dann ist das Gebiet dessen diesem, und das Produkt der Gebiete dessen gleich und ist diesem gleich und. Das Verhältnis der Gebiete jedes Paares von angrenzenden Dreiecken ist dasselbe als das zwischen den Längen der parallelen Seiten.

Lassen Sie das Trapezoid Scheitelpunkte A, B, C, und D in der Folge haben und parallele Seiten AB und Gleichstrom haben. Lassen Sie E die Kreuzung der Diagonalen sein, und F auf der Seite DA und G sein zu lassen, auf der v. Chr. solcher Seite sein, dass FEG zu AB und CD parallel ist. Dann ist FG die Harmonische, die von AB und Gleichstrom bösartig ist:

Wenn M und N die Mittelpunkte der Diagonalen, dann sind

wo a und b die Längen der parallelen Seiten sind.

Wenn sich die Winkelhalbierungslinien zu Winkeln A und B an P schneiden, und sich die Winkelhalbierungslinien zu Winkeln C und D an Q, dann schneiden

Die Linie, die sich dem Punkt anschließt, wo sich die nichtparallelen Seiten schneiden und der Kreuzungspunkt der Diagonalen, halbiert jede Basis.

Mehr auf der Fachsprache

Der Begriff Trapez wird manchmal in den USA als ein Vierseit ohne parallele Seiten definiert, obwohl diese Gestalt mehr gewöhnlich ein unregelmäßiges Vierseit genannt wird. Der Begriff Trapezoid wurde einmal als ein Vierseit ohne irgendwelche parallelen Seiten in Großbritannien und anderswohin definiert, aber das widerspiegelt aktuellen Gebrauch nicht. (Das englische Wörterbuch von Oxford sagt "Häufig genannt von englischen Schriftstellern im 19. Jahrhundert".)

Gemäß dem englischen Wörterbuch von Oxford ist der Sinn einer Zahl ohne Seitenparallele die Bedeutung, für die Proclus den Begriff "Trapezoid" eingeführt hat. Das wird im französischen trapézoïde, deutschen Trapezoid, und auf anderen Sprachen behalten. Ein Trapez im Sinn von Proclus ist ein Vierseit, das ein Paar seiner Gegenseite-Parallele hat. Das war der spezifische Sinn in England in 17. und 18. Jahrhunderten, und wieder der überwiegende im neuen Gebrauch. Ein Trapez als jedes Vierseit, das allgemeiner ist als ein Parallelogramm, ist die Bedeutung des Terminus in Euklid. Der Sinn eines Trapezes als ein unregelmäßiges Vierseit, das keine Seitenparallele hat, wurde manchmal in England von c verwendet. 1800 zu c. 1875, aber ist jetzt veraltet. Dieser Sinn ist derjenige, der manchmal in den Vereinigten Staaten angesetzt wird, aber in der Praxis wird Vierseit aber nicht Trapez verwendet.

Architektur

In der Architektur wird das Wort verwendet, um sich auf symmetrische Türen, Fenster zu beziehen, und Gebäude haben breiter an der Basis gebaut, sich zur Spitze im ägyptischen Stil zuspitzend. Wenn diese gerade Seiten und scharfe winkelige Ecken haben, sind ihre Gestalten tatsächlich gleichschenklige Trapezoide.

Siehe auch

• Gleichschenkliges Trapezoid
• Parallelogramm
• Höfliche Zahl, auch bekannt als eine trapezoide Zahl
• Tangentiales Trapezoid
• Trapezoide Regel

Links

• Trapezoid-Definitionsgebiet einer Trapezoid-Mittellinie eines Trapezoids Mit interaktiven Zeichentrickfilmen
• Trapezoid (Nordamerika) an elsy.at: Belebter Kurs (Aufbau, Kreisumfang, Gebiet)
• http://numericalmethods.eng.usf.edu/topics/trapezoidal_rule.html auf numerischen Methoden für den Stamm-Studenten
• Autar Kaw und E. Eric Kalu, numerische Methoden mit Anwendungen, (2008)