In der Mathematik, wenn X ein begrenzter Satz von mindestens zwei Elementen, die Versetzungen X (d. h. der bijektive mappings von X bis X) Fall in zwei Klassen der gleichen Größe ist: die gleichen Versetzungen und die sonderbaren Versetzungen. Wenn Gesamteinrichtung X befestigt wird, kann die Gleichheit (Merkwürdigkeit oder Ebenheit) einer Versetzung X als die Gleichheit der Zahl von Inversionen für σ, d. h., Paare von Elementen X solch dass definiert werden

Das Referenzen oder die Unterschrift einer Versetzung σ werden sgn (σ) angezeigt und als +1 definiert, wenn σ sogar und −1 ist, wenn σ seltsam ist. Die Unterschrift definiert den Wechselcharakter der symmetrischen Gruppe S. Eine andere Notation für das Zeichen einer Versetzung wird durch mehr Symbol von General Levi-Civita gegeben , der für alle Karten von X bis X definiert wird, und Wertnull für nichtbijektive Karten hat.

Das Zeichen einer Versetzung kann als ausführlich ausgedrückt werden

:

wo N (σ) die Zahl von Inversionen in σ ist.

Wechselweise kann das Zeichen einer Versetzung σ von seiner Zergliederung ins Produkt von Umstellungen als definiert werden

:

wo die Zahl von Umstellungen in der Zergliederung ist. Obwohl solch eine Zergliederung nicht einzigartig ist, ist die Gleichheit der Zahl von Umstellungen in allen Zergliederungen dasselbe, andeutend, dass das Zeichen einer Versetzung bestimmt ist.

Beispiel

Denken Sie die Versetzung σ vom Satz, der die anfängliche Einordnung 12345 in 34521 verwandelt.

Es kann durch drei Umstellungen erhalten werden: Tauschen Sie zuerst die Plätze 1 und 3 aus, dann tauschen Sie die Plätze 2 und 4 aus, und tauschen Sie schließlich die Plätze 1 und 5 aus. Das zeigt, dass die gegebene Versetzung σ seltsam ist. Das Verwenden der Notation hat im Versetzungsartikel erklärt, wir können schreiben

:

3&4&5&2&1 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 1&3&5 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 2&4 \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} 1&5 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1&3 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 2&4 \end {pmatrix}. </Mathematik>

Es gibt viele andere Weisen, σ als eine Zusammensetzung von Umstellungen, zum Beispiel zu schreiben

:

aber es ist unmöglich, es als ein Produkt einer geraden Zahl von Umstellungen zu schreiben.

Eigenschaften

Die Identitätsversetzung ist eine gleiche Versetzung. Eine gleiche Versetzung kann bei der Identitätsversetzung durch eine gerade Zahl des Austausches (genannt Umstellungen) zwei Elemente erhalten werden, während eine sonderbare Versetzung durch eine ungerade Zahl von Umstellungen erhalten werden kann.

Die folgenden Regeln folgen direkt aus den entsprechenden Regeln über die Hinzufügung von ganzen Zahlen:

• die Zusammensetzung zwei sogar Versetzungen ist sogar
• die Zusammensetzung von zwei sonderbaren Versetzungen ist sogar
• die Zusammensetzung eines sonderbaren und einer gleichen Versetzung ist sonderbarer

Von diesen hieraus folgt dass

• das Gegenteil jeder gleichen Versetzung ist sogar
• das Gegenteil jeder sonderbaren Versetzung ist sonderbarer

Die symmetrische Gruppe S aller Versetzungen des Satzes {1, ..., } denkend, können wir dass die Karte beschließen

:

das teilt jeder Versetzung zu seine Unterschrift ist ein Gruppenhomomorphismus.

Außerdem sehen wir, dass die gleichen Versetzungen eine Untergruppe von S bilden. Das ist die Wechselgruppe auf Briefen, die durch A angezeigt sind. Es ist der Kern des Homomorphismus sgn. Die sonderbaren Versetzungen können keine Untergruppe bilden, da die Zusammensetzung von zwei sonderbaren Versetzungen sogar ist, aber sie bilden einen coset (in S).

Wenn> 1 , dann gibt es so viel sogar Versetzungen in S wie es sonderbare gibt; folglich enthält A!/2-Versetzungen. [Der Grund: Wenn σ sogar ist, dann seltsam ist; wenn σ seltsam ist, dann gleich ist; die zwei Karten sind zu einander umgekehrt.]

Ein Zyklus ist, selbst wenn, und nur wenn seine Länge seltsam ist. Das folgt aus Formeln wie

: (abcde) = (de) (ce) (be) (ae)

In der Praxis, um zu bestimmen, ob eine gegebene Versetzung sogar oder seltsam ist, schreibt man die Versetzung als ein Produkt von zusammenhanglosen Zyklen. Die Versetzung ist seltsam, wenn, und nur wenn dieser factorization eine ungerade Zahl von Zyklen der gleichen Länge enthält.

Eine andere Methode, um zu bestimmen, ob eine gegebene Versetzung sogar oder seltsam ist, soll die entsprechende Versetzungsmatrix bauen und seine Determinante schätzen. Der Wert der Determinante ist dasselbe als die Gleichheit der Versetzung.

Jede Versetzung der sonderbaren Ordnung muss gleich sein; das gegenteilige ist im Allgemeinen nicht wahr.

Gleichwertigkeit der zwei Definitionen

Beweis 1

Jede Versetzung kann durch eine Folge von Umstellungen (2-Elemente-Austausch) erzeugt werden: Mit der ersten Umstellung stellen wir das erste Element der Versetzung in seinem richtigen Platz, die zweite Umstellung stellt das zweite Element-Recht usw. In Anbetracht einer Versetzung σ können wir es als ein Produkt von Umstellungen auf viele verschiedene Weisen schreiben. Wir wollen zeigen, dass entweder alle jene Zergliederungen eine gerade Zahl von Umstellungen haben, oder alle eine ungerade Zahl haben.

Nehmen Sie an, dass wir zwei solche Zergliederungen haben:

:&sigma; = T T... T

:&sigma; = Q Q... Q.

Wir wollen zeigen, dass k und M entweder beide sogar oder beide seltsam sind.

Jede Umstellung kann als ein Produkt einer ungeraden Zahl von Umstellungen von angrenzenden Elementen z.B geschrieben werden.

: (25) = (23)  (34)  (45)  (43)  (32)

Wenn wir auf diese Weise jede der Umstellungen T. zersetzen.. T und Q... Q über

in eine ungerade Zahl von angrenzenden Umstellungen bekommen wir die neuen Zergliederungen:

:&sigma; = T T... T

:&sigma; = Q Q... Q

wo alle T... T Q... Q, sind k &minus angrenzend; k ist  sogar, und M &minus; M  ist gleich.

Setzen Sie jetzt das Gegenteil von T mit σ zusammen. T ist die Umstellung (ich, i + 1) zwei angrenzender Zahlen, so, im Vergleich zu σ, wird die neue Versetzung σ  (ich, i + 1) genau ein Inversionspaar weniger haben (im Falle dass (ich, i + 1) ein Inversionspaar für σ war), oder mehr (im Falle dass (ich, i + 1) nicht ein Inversionspaar war). Dann wenden Sie die Gegenteile von T, T an... T ebenso, die Versetzung σ "ausfasernd". Am Ende bekommen wir die Identitätsversetzung, deren N Null ist. Das bedeutet, dass der ursprüngliche N (σ) weniger k gleich ist.

Wir können mit der anderen Zergliederung, Q. dasselbe machen.. Q, und wird es sich herausstellen, dass der ursprüngliche N (σ) weniger M gleich ist.

Deshalb, M &minus; k ist sogar, weil wir uns haben zeigen wollen.

Wir können jetzt die Versetzung σ definieren, um zu sein, selbst wenn N (σ) eine gerade Zahl, und seltsam ist, wenn N (σ) seltsam ist. Das fällt mit der Definition gegeben früher zusammen, aber es ist jetzt klar, dass jede Versetzung entweder sogar oder seltsam ist.

Beweis 2

Ein alternativer Beweis verwendet das Polynom

:

Also zum Beispiel im Fall = 3 haben wir

:

Jetzt für eine gegebene Versetzung σ der Zahlen {1, ..., }, definieren wir

:

Da das Polynom dieselben Faktoren wie abgesehen von ihren Zeichen hat, wenn dem folgt, ist sgn (σ) entweder +1 oder &minus;1. Außerdem, wenn σ und τ zwei Versetzungen sind, sehen wir das

:

::::

::::

Seitdem mit dieser Definition ist es außerdem klar, dass jede Umstellung von zwei angrenzenden Elementen Unterschrift &minus;1 hat, erlangen wir wirklich tatsächlich die Unterschrift, wie definiert, früher wieder.

Beweis 3

Eine dritte Annäherung verwendet die Präsentation der Gruppe S in Bezug auf Generatoren und Beziehungen

• für alles ich

• für alles ich wenn ich &minus; j  2.

[Hier vertritt der Generator die Umstellung (ich, ich + 1).] Halten alle Beziehungen die Länge eines Wortes dasselbe oder ändern es um zwei. Das Starten mit einem Wort der gleichen Länge wird so immer auf ein Wort der gleichen Länge nach dem Verwenden der Beziehungen, und ähnlich für Wörter der sonderbaren Länge hinauslaufen. Es ist deshalb eindeutig, um die Elemente von S vertreten durch Wörter der gleichen Länge "sogar" und die Elemente vertreten durch "seltsame" Wörter der sonderbaren Länge zu nennen.

Generalisationen

Gleichheit kann zu Gruppen von Coxeter verallgemeinert werden: Man definiert eine Länge-Funktion, die von einer Wahl von Generatoren (für die symmetrische Gruppe, angrenzenden Umstellungen) abhängt, und dann die Funktion eine verallgemeinerte Zeichen-Karte gibt.

Siehe auch

• Die fünfzehn sind verwirrt ist eine klassische Anwendung, obwohl sie wirklich einen groupoid einschließt.
• Das Lemma von Zolotarev

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