In der Mathematik und Computerprogrammierung ist die Ordnung von Operationen (manchmal genannt Maschinenbediener-Priorität) eine Regel, die verwendet ist, um sich eindeutig zu klären, welche Verfahren zuerst in einem gegebenen mathematischen Ausdruck durchgeführt werden sollten.

Zum Beispiel, in der Mathematik und dem grössten Teil der Computersprachmultiplikation wird vor der Hinzufügung getan; im Ausdruck 2 + 3 × 4 ist die Antwort 14. Klammern, die ihre eigenen Regeln haben, können verwendet werden, um Verwirrung zu vermeiden, so kann der vorhergehende Ausdruck auch 2 + gemacht werden (3 × 4), aber die Klammern sind nicht erforderlich, weil Multiplikation noch Priorität ohne sie hat.

Von der Einführung des modernen algebraischen Systems, wo Nebeneinanderstellung Multiplikation von Variablen anzeigt, hat Multiplikation vor der Hinzufügung den Vortritt gehabt, welch auch immer Seite einer Zahl es darauf erschienen ist. So 3 + 4 × 5 = 4 × 5 + 3 = 23. Als Hochzahlen zuerst in den 16. und 17. Jahrhunderten eingeführt wurden, haben Hochzahlen sowohl vor der Hinzufügung als auch vor Multiplikation den Vortritt gehabt, und konnten nur als ein Exponent rechts von ihrer Basis gelegt werden. So 3 + 5 = 28 und 3 × 5 = 75. Um die Ordnung von Operationen ursprünglich zu ändern, wurde ein vinculum (ein Überstrich oder Unterstreichung) verwendet. Heute werden Parenthesen oder Klammern verwendet, um Priorität durch die Gruppierung von Teilen eines Ausdrucks ausführlich anzuzeigen, der zuerst bewertet werden sollte. So, um Hinzufügung zu zwingen, Multiplikation voranzugehen, schreiben wir (2 + 3) × 4 = 20, und Hinzufügung zu zwingen, exponentiation voranzugehen, schreiben wir (3 + 5) = 64.

Die Standardordnung von Operationen

Die Ordnung von Operationen oder Priorität, die überall in Mathematik, Wissenschaft, Technologie und vielen Computerprogrammiersprachen verwendet ist, wird hier ausgedrückt:

::: Begriffe innerhalb von Parenthesen oder Klammern

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::: Hochzahlen und Wurzeln

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::: Multiplikation und Abteilung

::: Hinzufügung und Subtraktion

Das bedeutet, dass, wenn einem mathematischen Ausdruck von einem Maschinenbediener vorangegangen und von einem anderen gefolgt wird, der Maschinenbediener höher auf der Liste zuerst angewandt werden sollte. Die auswechselbaren und assoziativen Gesetze der Hinzufügung und Multiplikation erlauben Begriffen, in jeder Ordnung und in jeder Ordnung zu multiplizierenden Faktoren hinzugefügt zu werden, aber Mischoperationen müssen der Standardordnung von Operationen folgen.

Es ist nützlich, Abteilung als Multiplikation durch das Gegenstück (multiplicative Gegenteil) und Subtraktion als Hinzufügung des Gegenteils (zusätzliches Gegenteil) zu behandeln. So 3/4 = 3 ÷ 4 = 3 · ¼; mit anderen Worten kommt der Quotient 3 und 4 dem Produkt 3 und ¼ gleich. Auch 3  4 = 3 + (4); mit anderen Worten kommt der Unterschied 3 und 4 der Summe von positiven drei und negativen vier gleich. Mit diesem Verstehen können wir 1 - 2 + 3 als die Summe 1, negative 2, und 3 denken, und in jeder Ordnung beitragen: (1 - 2) + 3 =-1 + 3 = 2 und in umgekehrter Reihenfolge (3 - 2) + 1 = 1 + 1 = 2. Das wichtige Ding ist, das negative Zeichen mit den 2 zu behalten.

Das Wurzelsymbol, , verlangt ein Symbol der Gruppierung um den radicand. Das übliche Symbol der Gruppierung ist eine Bar (hat vinculum genannt) über den radicand. Für die Anwendung anderer Funktionen, wie Logarithmus oder Kosinus, wird der Gruppierung empfohlen und durch die Parenthese oder Klammern angezeigt.

Aufgeschoberte Hochzahlen werden von der Spitze unten angewandt.

Symbole der Gruppierung können verwendet werden, um die übliche Ordnung von Operationen zu überreiten. Gruppierte Symbole können als ein einzelner Ausdruck behandelt werden. Symbole der Gruppierung können mit den assoziativen und verteilenden Gesetzen entfernt werden.

Beispiele

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Eine horizontale Bruchlinie handelt auch als ein Symbol der Gruppierung:

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Für die Bequemlichkeit im Lesen werden andere sich gruppierende Symbole wie geschweifte Klammern, manchmal genannt lockige geschweifte Klammern {}, oder Klammern, manchmal genannt eckige Klammern [], häufig zusammen mit Parenthesen verwendet. Zum Beispiel,

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Ausnahmen zum Standard

Dort bestehen Sie, sich Vereinbarung bezüglich des unären Maschinenbedieners  (gewöhnlich gelesen "minus") unterscheidend. In der schriftlichen oder gedruckten Mathematik wird der Ausdruck −3 interpretiert&minus zu bedeuten; (3) = −9, aber in einigen Anwendungen und Programmiersprachen, namentlich die Anwendung Microsoft Office Excel und die Programmiersprache bc, haben unäre Maschinenbediener einen höheren Vorrang als binäre Maschinenbediener, d. h. das unäre minus (die Ablehnung) hat höhere Priorität als exponentiation, so auf jenen Sprachen −3 wird als (−3) = 9 interpretiert. In Fällen, wo es die Möglichkeit gibt, dass die Notation missdeutet werden könnte, werden Parenthesen gewöhnlich verwendet, um die beabsichtigte Bedeutung zu klären.

Ähnlich kann es Zweideutigkeit im Gebrauch des Hiebs (' / ') Symbol geben. Die Reihe von Charakteren "1/2x" wird durch die obengenannte Vereinbarung als (1/2) x interpretiert. Die gegensätzliche Interpretation sollte ausführlich als 1 / (2x) geschrieben werden. Wieder klärt der Gebrauch von Parenthesen die Bedeutung und vermeidet die Möglichkeit der Missdeutung.

Die Priorität einer implizierten Multiplikation z.B 2x 2 &times zu sein; x ändert sich auch durch die Quelle. Zum Beispiel denkt Wolfram Alpha, dass einbezogene Multiplikation Abteilung vorangeht, z.B 2x÷2x gibt 1 statt x ², außer, wo Parenthesen angrenzend sind, z.B 48÷2 (9+3) gibt 288 statt 2.

Gedächtniskunst

Gedächtniskunst wird häufig verwendet, um Studenten zu helfen, sich an die Regeln zu erinnern, aber die durch den Gebrauch von Akronymen unterrichteten Regeln können irreführend sein. In den Vereinigten Staaten das Akronym ist PEMDAS üblich. Es tritt für Parenthesen, Hochzahlen, Multiplikation, Abteilung, Hinzufügung, Subtraktion ein. PEMDAS wird häufig ausgebreitet, um "Zu erfreuen, entschuldigen meine liebe Tante Sally" mit dem ersten Brief jedes Wortes, das das Akronym PEMDAS schafft. Kanada verwendet BEDMAS, und das Vereinigte Königreich verwendet BODMAS.

In Kanada und anderen englischen Sprechen-Ländern können Parenthesen Klammern genannt werden, oder Symbole der Einschließung und Exponentiation können entweder Indizes, Mächte oder Ordnungen genannt werden, und da Multiplikation und Abteilung von der gleichen Priorität sind, werden M und D häufig ausgewechselt, zu solchen Akronymen wie BEDMAS, BIDMAS, BODMAS, BERDMAS, PERDMAS und BPODMAS führend.

Diese Gedächtniskunst, kann wenn geschrieben, dieser Weg besonders irreführend sein, wenn der Benutzer nicht bewusst ist, dass Multiplikation und Abteilung von der gleichen Priorität sind, wie Hinzufügung und Subtraktion sind. Mit einigen der obengenannten Regeln in der Ordnung "Hinzufügung zuerst würde Subtraktion später" auch die falsche Antwort geben.

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Die richtige Antwort ist 9 (und nicht 5, den wir bekommen, wenn wir 3 und 2 zuerst beitragen, um 5 zu kommen, und dann sie von 10 abzuziehen, um die Endantwort 5 zu bekommen), der am besten durch das Denken an das Problem als die Summe von positiven zehn, negativen drei und positiven zwei verstanden wird.

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Eine alternative Weise, das mnemonische zu schreiben, ist:

P

E

DOKTOR DER MEDIZIN

ALS

Oder, einfach als PEMA, wo es gelehrt wird, dass Multiplikation und Abteilung von Natur aus dieselbe Priorität teilen; und diese Hinzufügung und Subtraktion teilen von Natur aus dieselbe Priorität. PEMA ist eine der in Neuseeland unterrichteten Gedächtniskunst.

Das macht die Gleichwertigkeit von Multiplikation und Abteilung, und Hinzufügung und Subtraktion, klar.

Ein anderer potenziell irreführender Aspekt davon mnemonisch ist die Einschließung von P für Parenthesen. Zuallererst gruppieren Parenthesen Symbole, nicht Operationssymbole. Außerdem innerhalb der sich gruppierenden Symbole kann es Ausdrücke geben, die mehrere Operationen einschließen, die gemäß der richtigen Ordnung oder den Operationen würden bewertet werden müssen, die NACH dem P im mnemonischen erscheinen. Es ist wahrscheinlich besser zu lehren, dass sich gruppierende Symbole nicht Operationen selbst sind, aber eher verwendet werden, um die Priorität von Operationen vom Verzug zu ändern.

Sobald Klotz eingeführt wird, sollte ihnen dieselbe Priorität wie Hochzahlen gegeben werden.

Spezielle Fälle

Ein Ausrufungszeichen zeigt an, dass man den factorial des Begriffes sofort an seiner linken Seite, vor der Computerwissenschaft von einigen der Operationen der niedrigeren Priorität schätzen sollte, wenn sich gruppierende Symbole sonst nicht diktieren. Aber 2 Mittel (2)! = 8! = 40320 während 2 = 2 = 64; ein factorial in einer Hochzahl gilt für die Hochzahl, während ein factorial nicht in der Hochzahl für die komplette Macht gilt.

Wenn exponentiation durch aufgeschoberte Symbole angezeigt wird, ist die Regel, von der Spitze unten so zu arbeiten:

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Ein Funktionsname gilt gewöhnlich für das Monom im Anschluss an den Namen, so "bedeutet Sünde xy" Sünde (xy), aber Sünde x + y Mittel (Sünde x) + y. Rechenmaschinen verlangen gewöhnlich Klammern, und Klammern sollten in komplizierten Ausdrücken verwendet werden, um zu verhindern, zu missverstehen.

Manchmal werden eine Spur oder ein schwerer Punkt als ein Multiplikationszeichen verwendet, das höhere Priorität hat als Abteilung.

Rechenmaschinen

Verschiedene Rechenmaschinen folgen verschiedenen Ordnungen von Operationen. Die meisten unwissenschaftlichen Rechenmaschinen ohne eine Stapel-Arbeit sind zu direkt ohne jeden Vorrang gegeben verschiedenen Maschinenbedienern abgereist, zum Beispiel gebend

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während hoch entwickeltere Rechenmaschinen einen mehr normalen Vorrang verwenden werden, zum Beispiel gebend

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Das Programm von Microsoft Calculator verwendet den ersteren in seiner Standardansicht und die Letzteren in seiner wissenschaftlichen Ansicht.

Die unwissenschaftliche Rechenmaschine erwartet zwei operands und einen Maschinenbediener. Wenn der folgende Maschinenbediener gedrückt wird, wird der Ausdruck sofort bewertet, und die Antwort wird die linke Hand des folgenden Maschinenbedieners. Fortgeschrittene Rechenmaschinen erlauben Zugang des ganzen Ausdrucks, gruppiert als notwendig, und bewertet nur, wenn der Benutzer das Gleichheitszeichen verwendet.

Rechenmaschinen können Hochzahlen nach links oder nach rechts abhängig vom Modell vereinigen. Zum Beispiel vereinigt der Ausdruck ein ^ b ^ c auf dem TI-92 und TI-30XII (beide Instrument-Rechenmaschinen von Texas) zwei verschiedene Wege:

Der TI-92 verkehrt nach rechts, der ist

:: ein ^ b ^ c = ein ^ (b ^ c) =

wohingegen der TI-30XII nach links verkehrt, der ist

:: ein ^ b ^ c = (ein ^ b) ^ c =

Ein Ausdruck wie 1/2x wird als 1 / (2x) durch TI-82, aber als (1/2) x durch TI-83 interpretiert. Während die erste Interpretation von einigen Benutzern erwartet werden kann, ist nur der Letztere in Übereinstimmung mit der Standardregel, dass Multiplikation und Abteilung der gleichen Priorität sind, so wird 1/2x derjenige gelesen, der durch zwei und die mit x multiplizierte Antwort geteilt ist.

Wenn der Benutzer unsicher ist, wie eine Rechenmaschine einen Ausdruck interpretieren wird, ist es eine gute Idee, Parenthesen zu verwenden, also gibt es keine Zweideutigkeit.

Programmiersprachen

Viele Programmiersprachen verwenden Prioritätsniveaus, die sich der in der Mathematik allgemein verwendeten Ordnung anpassen, obwohl einige, wie APL und Plausch, keine Maschinenbediener-Prioritätsregeln haben (in der APL Einschätzung, ist zum linken im Plausch ausschließlich richtig, der ihm zum Recht ausschließlich verlassen wird).

Die logischen bitwise Maschinenbediener in C (und alle Programmiersprachen, die Prioritätsregeln von C, zum Beispiel, C ++, Perl und PHP geliehen haben) haben ein Prioritätsniveau, das der Schöpfer der c Sprache denkt, um unbefriedigend zu sein. Jedoch sind viele Programmierer zu dieser Ordnung gewöhnt geworden. Die Verhältnisprioritätsniveaus von auf vielen C-style Sprachen gefundenen Maschinenbedienern sind wie folgt:

Beispiele:

• 

   Wie man

gefunden hat, ist die Genauigkeit von Softwareentwickler-Kenntnissen über die binäre Maschinenbediener-Priorität ihrer Frequenz des Ereignisses im Quellcode nah gefolgt.

Siehe auch

• Allgemeine Maschinenbediener-Notation (für eine mehr formelle Beschreibung)
• Maschinenbediener associativity
• Associativity
• Commutativity
• Distributivity
• Maschinenbediener, der (programmiert)
• Maschinenbediener, der überlädt
• Maschinenbediener-Priorität in C und C ++
• Kehren Sie polnische Notation um

Links