Ein umgekehrtes Problem ist ein allgemeines Fachwerk, das verwendet wird, um beobachtete Maße in die Information über einen physischen Gegenstand oder System umzuwandeln, für das wir uns interessieren. Zum Beispiel, wenn wir Maße des Ernst-Feldes der Erde haben, dann könnten wir die Frage stellen: "In Anbetracht der Daten, die wir verfügbar haben, was können wir über den Dichte-Vertrieb der Erde in diesem Gebiet sagen?" Die Lösung dieses Problems (d. h. der Dichte-Vertrieb dass beste Matchs die Daten) ist nützlich, weil es uns allgemein etwas über einen physischen Parameter sagt, dass wir nicht direkt beobachten können. So sind umgekehrte Probleme eines der wichtigsten und gut studierten mathematischen Probleme in der Wissenschaft und Mathematik. Umgekehrte Probleme entstehen in vielen Zweigen der Wissenschaft und Mathematik, einschließlich Computervision, des Maschinenlernens, der Statistik, der statistischen Schlussfolgerung, der Geophysik, medizinische Bildaufbereitung (wie geschätzte axiale Tomographie und EEG/ERP), entfernte Abfragung, akustische Ozeantomographie, nichtzerstörende Prüfung, Astronomie, Physik und viele andere Felder.

Geschichte

Das Feld von umgekehrten Problemen wurde zuerst entdeckt und vom sowjetisch-armenischen Physiker, Viktor Ambartsumian eingeführt.

Während noch ein Student, Ambartsumian gründlich die Theorie des Atombaus, die Bildung von Energieniveaus, und die Gleichung von Schrödinger und seine Eigenschaften studiert hat, und als er die Theorie von eigenvalues von Differenzialgleichungen gemeistert hat, hat er auf die offenbare Analogie zwischen getrennten Energieniveaus und dem eigenvalues von Differenzialgleichungen hingewiesen. Er hat dann gefragt: In Anbetracht einer Familie von eigenvalues ist es möglich, die Form der Gleichungen zu finden, deren eigenvalues sie sind? Im Wesentlichen untersuchte Ambartsumian das Sturm-Liouville umgekehrte Problem, das sich mit Bestimmung der Gleichungen einer vibrierenden Schnur befasst hat. Dieses Papier wurde 1929 in der deutschen Physik-Zeitschrift Zeitschrift für Physik veröffentlicht und ist in der Vergessenheit seit einer ziemlich langen Zeit geblieben. Diese Situation nach vielen Jahrzehnten beschreibend, hat Ambartsumian gesagt, "Wenn ein Astronom einen Artikel mit einem mathematischen Inhalt in einer Physik-Zeitschrift veröffentlicht, dann ist das wahrscheinlichste Ding, das damit geschehen wird, Vergessenheit."

Dennoch, zum Ende des Zweiten Weltkriegs, wurde dieser Artikel, der von 20-jährigem Ambartsumian geschrieben ist, von schwedischen Mathematikern gefunden und hat den Startpunkt für ein ganzes Gebiet der Forschung über umgekehrte Probleme gebildet, das Fundament einer kompletten Disziplin werdend.

Das Begriffsverstehen

Das umgekehrte Problem kann wie folgt begrifflich formuliert werden:

:Data  Musterrahmen

Das umgekehrte Problem wird als das "Gegenteil" zum Vorwärtsproblem betrachtet, das die Musterrahmen mit den Daten verbindet, die wir beobachten:

:Model-Rahmen  Daten

Die Transformation von Daten bis Musterrahmen (oder umgekehrt) ist ein Ergebnis der Wechselwirkung eines physischen Systems mit dem Gegenstand, über den wir Eigenschaften ableiten möchten. Mit anderen Worten ist die Transformation die Physik, die die physische Menge (d. h. die Musterrahmen) zu den beobachteten Daten verbindet.

Der Tisch zeigt unten einige Beispiele von physischen Systemen, der Regierungsphysik, die physische Menge, dass wir uns interessieren, und was wir wirklich beobachten.

Geradlinige Algebra ist im Verstehen des physischen und mathematischen Aufbaus von umgekehrten Problemen wegen der Anwesenheit der Transformation nützlich oder von Daten zu den Musterrahmen "kartografisch darzustellen".

Allgemeine Behauptung des Problems

Das Ziel eines umgekehrten Problems ist, das beste Modell solch dass (mindestens ungefähr) zu finden

:

wo ein Maschinenbediener ist, der die ausführliche Beziehung zwischen den beobachteten Daten, und die Musterrahmen beschreibt. In verschiedenen Zusammenhängen wird der Maschinenbediener Vorwärtsmaschinenbediener, Beobachtungsmaschinenbediener oder Beobachtungsfunktion genannt. Im allgemeinsten Zusammenhang vertritt G die Regierungsgleichungen, die die Musterrahmen mit den beobachteten Daten (d. h. die Regierungsphysik) verbinden.

Geradlinige umgekehrte Probleme

Im Fall von einem getrennten geradlinigen umgekehrten Problem, das ein geradliniges System, (die Musterrahmen) und (das beste Modell) beschreibt, sind Vektoren, und das Problem kann als geschrieben werden

:

wo eine Matrix (ein Maschinenbediener), häufig genannt die Beobachtungsmatrix ist.

Beispiele

Das Schwerefeld der Erde

Nur einige physische Systeme sind in Bezug auf die Musterrahmen wirklich geradlinig. Ein solches System von der Geophysik ist das des Schwerefeldes der Erde. Das Schwerefeld der Erde wird durch den Dichte-Vertrieb der Erde im Untergrund bestimmt. Weil sich der lithology der Erde ganz bedeutsam ändert, sind wir im Stande, Minutenunterschiede im Schwerefeld der Erde auf der Oberfläche der Erde zu beobachten. Von unserem Verstehen des Ernstes (Newtonsches Gesetz der Schwerkraft) wissen wir, dass der mathematische Ausdruck für den Ernst ist:

wo ein Maß der lokalen Gravitationsbeschleunigung ist, die universale Gravitationskonstante ist, die lokale Masse (Dichte) des Felsens im Untergrund ist und die Entfernung von der Masse bis den Beobachtungspunkt ist.

Durch discretizing der obengenannte Ausdruck sind wir im Stande, die getrennten Datenbeobachtungen auf der Oberfläche der Erde zu den getrennten Musterrahmen (Dichte) im Untergrund zu verbinden, über den wir mehr wissen möchten. Ziehen Sie zum Beispiel den Fall in Betracht, wo wir 5 Maße auf der Oberfläche der Erde haben. In diesem Fall ist unser Datenvektor, d ein Spaltenvektor der Dimension (5x1). Wir wissen auch, dass wir nur fünf unbekannte Massen im Untergrund haben (unrealistisch, aber hat gepflegt, das Konzept zu demonstrieren). So können wir das geradlinige System bauen, das die fünf unbekannten Massen mit den fünf Datenpunkten wie folgt verbindet:

::

\begin {bmatrix}

d_1 \\

d_2 \\

d_3 \\

d_4 \\

d_5 \end {bmatrix}, </Mathematik>

:

\begin {bmatrix }\

M_1 \\

M_2 \\

M_3 \\

M_4 \\

M_5

\end {bmatrix}, </Mathematik>

: \begin {bmatrix }\

\frac {K} {r_ {11} ^2} & \frac {K} {r_ {12} ^2} & \frac {K} {r_ {13} ^2} & \frac {K} {r_ {14} ^2} & \frac {K} {r_ {15} ^2} \\

\frac {K} {r_ {21} ^2} & \frac {K} {r_ {22} ^2} & \frac {K} {r_ {23} ^2} & \frac {K} {r_ {24} ^2} & \frac {K} {r_ {25} ^2} \\

\frac {K} {r_ {31} ^2} & \frac {K} {r_ {32} ^2} & \frac {K} {r_ {33} ^2} & \frac {K} {r_ {34} ^2} & \frac {K} {r_ {35} ^2} \\

\frac {K} {r_ {41} ^2} & \frac {K} {r_ {42} ^2} & \frac {K} {r_ {43} ^2} & \frac {K} {r_ {44} ^2} & \frac {K} {r_ {45} ^2} \\

\frac {K} {r_ {51} ^2} & \frac {K} {r_ {52} ^2} & \frac {K} {r_ {53} ^2} & \frac {K} {r_ {54} ^2} & \frac {K} {r_ {55} ^2}

\end {bmatrix }\

</Mathematik>

Jetzt können wir sehen, dass das System fünf Gleichungen mit fünf unknowns hat. Um für die Musterrahmen zu lösen, die unsere Daten passen, könnten wir im Stande sein, die Matrix umzukehren, um die Maße in unsere Musterrahmen direkt umzuwandeln. Zum Beispiel:

:

Jedoch ist nicht das ganze Quadrat matrices invertible (ist fast nie invertible). Das ist, weil, wie man versichert, wir genug Information nicht haben, um die Lösung der gegebenen Gleichungen einzigartig zu bestimmen, wenn wir unabhängige Maße nicht haben (d. h. jedes Maß einzigartige Information zum System hinzufügt). Es ist wichtig zu bemerken, dass in den meisten physischen Systemen wir genug Information nicht jemals haben, um unsere Lösungen einzigartig zu beschränken, weil die Beobachtungsmatrix einzigartige Gleichungen nicht enthält. Von einer geradlinigen Algebra-Perspektive ist die Matrix Reihe unzulänglich (d. h. hat Null eigenvalues), bedeutend, dass das nicht invertible ist. Weiter, wenn wir zusätzliche Beobachtungen zu unserer Matrix hinzufügen (d. h. mehr Gleichungen), dann ist die Matrix nicht mehr quadratisch. Sogar dann, wie man versichert, haben wir volle Reihe in der Beobachtungsmatrix nicht. Deshalb, wie man betrachtet, sind die meisten umgekehrten Probleme underdetermined, bedeutend, dass wir einzigartige Lösungen des umgekehrten Problems nicht haben. Wenn wir ein System der vollen Reihe haben, dann kann unsere Lösung einzigartig sein. Überentschlossene Systeme (mehr Gleichungen als unknowns) haben andere Probleme.

Weil wir die Beobachtungsmatrix nicht direkt umkehren können, verwenden wir Methoden von der Optimierung, um das umgekehrte Problem zu beheben. Um so zu tun, definieren wir eine Absicht, auch bekannt als eine objektive Funktion für das umgekehrte Problem. Die Absicht ist ein funktioneller, der misst, wie nahe die vorausgesagten Daten vom wieder erlangten Modell die beobachteten Daten passen. Im Fall, wo wir vollkommene Daten (d. h. kein Geräusch) und das vollkommene physische Verstehen haben (d. h. wissen wir die Physik), dann sollte das wieder erlangte Modell die beobachteten Daten vollkommen passen. Die objektive Standardfunktion ist gewöhnlich der Form:

:

der die l-2 Norm des Einzelgängers zwischen den beobachteten Daten und den vorausgesagten Daten vom Modell vertritt. Wir verwenden die l-2 Norm hier als ein allgemeines Maß der Entfernung zwischen den vorausgesagten Daten und den beobachteten Daten, aber andere Normen sind für den Gebrauch möglich. Die Absicht der objektiven Funktion ist, den Unterschied zwischen den vorausgesagten und beobachteten Daten zu minimieren.

Um die objektive Funktion zu minimieren (d. h. das umgekehrte Problem zu beheben), schätzen wir den Anstieg der objektiven Funktion mit demselben Grundprinzip, wie wir würden, um eine Funktion von nur einer Variable zu minimieren. Der Anstieg der objektiven Funktion ist:

:

wo G anzeigt, dass die Matrix von G umstellt. Diese Gleichung vereinfacht zu:

:

Nach der Neuordnung wird das:

:

Dieser Ausdruck ist als die Normale Gleichung bekannt und gibt uns eine mögliche Lösung des umgekehrten Problems. Es ist zum Gewöhnlichen Kleinste Quadrate gleichwertig

:

Zusätzlich wissen wir gewöhnlich, dass unsere Daten zufällige Schwankungen durch das zufällige Geräusch, oder schlechter noch zusammenhängendes Geräusch verursachen ließen. Jedenfalls, Fehler in den beobachteten Daten führt Fehler in den wieder erlangten Musterrahmen ein, die wir erhalten, indem wir das umgekehrte Problem beheben. Um diese Fehler zu vermeiden, können wir mögliche Lösungen beschränken wollen, bestimmte mögliche Eigenschaften in unseren Modellen zu betonen. Dieser Typ der Einschränkung ist als regularization bekannt.

Mathematisch

Ein Hauptbeispiel eines geradlinigen umgekehrten Problems wird von Fredholm die erste freundliche Integralgleichung zur Verfügung gestellt.

:

Für den genug glatten ist der Maschinenbediener, der oben definiert ist, auf angemessenen Banachräumen wie L-Räume kompakt. Selbst wenn kartografisch darzustellen, injective ist, wird sein Gegenteil nicht dauernd sein. (Jedoch, durch den begrenzten umgekehrten Lehrsatz, wenn kartografisch darzustellen, bijektiv ist, dann wird das Gegenteil (d. h. dauernd) begrenzt.) So werden kleine Fehler in den Daten in der Lösung außerordentlich verstärkt. In diesem Sinn wird das umgekehrte Problem des Schließens aus dem gemessenen schlecht-aufgestellt.

Um eine numerische Lösung zu erhalten, muss dem Integral mit der Quadratur und den an getrennten Punkten probierten Daten näher gekommen werden. Das resultierende System von geradlinigen Gleichungen wird schlecht-bedingt.

Ein anderes Beispiel ist die Inversion von Radon verwandeln sich. Hier wird eine Funktion (zum Beispiel zwei Variablen) aus seinen Integralen entlang allen möglichen Linien abgeleitet. Das ist genau das Problem, das in der Bildrekonstruktion für die computerisierte Tomographie des Röntgenstrahls behoben ist. Obwohl aus einem theoretischen Gesichtspunkt viele geradlinige umgekehrte Probleme gut verstanden werden, verwandeln sich Probleme, die Radon einschließen, und seine Verallgemeinerungen bieten noch vielen theoretischen Herausforderungen Fragen der Angemessenheit von noch ungelösten Daten. Solche Probleme schließen unvollständige Daten für den Röntgenstrahl ein verwandeln sich in drei Dimensionen, und Probleme, die die Verallgemeinerung des Röntgenstrahls einschließen, verwandeln sich zu Tensor-Feldern.

Ein mit der Hypothese von Riemann verbundenes Endbeispiel wurde von Wu angeführt und Übersprungen, die Idee besteht darin, dass in der Halbklassischen (alten) Quant-Theorie das Gegenteil des Potenzials innerhalb von Hamiltonian zur Halbableitung des eigenvalues (Energien) proportional ist, Funktion n (x) aufzählend

Nichtlineare umgekehrte Probleme

Eine von Natur aus schwierigere Familie von umgekehrten Problemen wird insgesamt nichtlineare umgekehrte Probleme genannt.

Nichtlineare umgekehrte Probleme haben eine kompliziertere Beziehung zwischen Daten und Modell, das durch die Gleichung vertreten ist:

:

Hier ist ein nichtlinearer Maschinenbediener und kann nicht getrennt werden, um zu vertreten, der Musterrahmen geradlinig kartografisch darzustellen, die sich in die Daten formen. In solcher Forschung ist der erste Vorrang, die Struktur des Problems zu verstehen und eine theoretische Antwort auf die drei Fragen von Hadamard zu geben (so dass das Problem aus dem theoretischen Gesichtspunkt behoben wird). Es ist nur später in einer Studie, dass regularization und Interpretation der Lösung (oder Lösungen, abhängig von Bedingungen der Einzigartigkeit) Abhängigkeit auf Rahmen und Daten/Maße (probabilistic oder andere) getan werden können. Folglich gelten die entsprechenden folgenden Abteilungen für diese Probleme nicht wirklich. Wohingegen geradlinige umgekehrte Probleme aus dem theoretischen Gesichtspunkt am Ende des neunzehnten Jahrhunderts völlig behoben wurden, war nur eine Klasse von nichtlinearen umgekehrten Problemen so vor 1970, dieses des Gegenteils geisterhaft und (eine Raumdimension) umgekehrte sich zerstreuende Probleme, nach der Samenarbeit der russischen mathematischen Schule (Krein, Gelfand, Levitan, Marchenko). Eine große Rezension der Ergebnisse ist von Chadan und Sabatier in ihrem Buch "Umgekehrte Probleme der Quant-Zerstreuen-Theorie" (zwei Ausgaben in Englisch, ein in Russisch) gegeben worden.

In dieser Art des Problems sind Daten Eigenschaften des Spektrums eines geradlinigen Maschinenbedieners, die das Zerstreuen beschreiben. Das Spektrum wird aus eigenvalues und eigenfunctions gemacht, zusammen das "getrennte Spektrum" und die Generalisationen, genannt das dauernde Spektrum bildend. Der sehr bemerkenswerte physische Punkt ist, dass sich zerstreuende Experimente Information nur über das dauernde Spektrum geben, und dass das Wissen seines vollen Spektrums sowohl notwendig als auch in der Besserung des sich zerstreuenden Maschinenbedieners genügend ist. Folglich haben wir unsichtbare Rahmen, die viel interessanter sind als der ungültige Raum, der ein ähnliches Eigentum in geradlinigen umgekehrten Problemen hat. Außerdem gibt es physische Bewegungen, in denen das Spektrum solch eines Maschinenbedieners demzufolge solcher Bewegung erhalten wird. Dieses Phänomen wird durch spezielle nichtlineare teilweise Differenzialevolutionsgleichungen, zum Beispiel die Korteweg-de Vries Gleichung geregelt. Wenn das Spektrum des Maschinenbedieners auf einen einzelnen eigenvalue reduziert wird, ist seine entsprechende Bewegung die einer einzelnen Beule, die sich an der unveränderlichen Geschwindigkeit und ohne Deformierung fortpflanzt, hat eine einsame Welle einen "soliton" genannt.

Ein vollkommenes Signal und seine Generalisationen für die Korteweg-de Vries Gleichung oder anderen integrable nichtlinearen teilweisen Differenzialgleichungen sind von großem Interesse mit vielen möglichen Anwendungen. Dieses Gebiet ist als ein Zweig der mathematischen Physik seit den 1970er Jahren studiert worden. Nichtlineare umgekehrte Probleme werden auch zurzeit in vielen Feldern der angewandten Naturwissenschaft (Akustik, Mechanik, Quant-Mechanik, das elektromagnetische Zerstreuen - im besonderen Radarloten, seismischen Loten und fast allen Bildaufbereitungsmodalitäten) studiert.

Mathematische Rücksichten

Umgekehrte Probleme werden normalerweise schlecht im Vergleich mit den gut aufgestellten typischeren Problemen aufgeworfen, wenn man physische Situationen modelliert, wo die Musterrahmen oder materiellen Eigenschaften bekannt sind. Der drei Bedingungen für ein gut aufgestelltes Problem, das von Jacques Hadamard (Existenz, Einzigartigkeit, Stabilität der Lösung oder Lösungen) angedeutet ist, wird die Bedingung der Stabilität meistenteils verletzt. Im Sinne der Funktionsanalyse wird das umgekehrte Problem dadurch vertreten, zwischen metrischen Räumen kartografisch darzustellen. Während umgekehrte Probleme häufig in unendlichen dimensionalen Räumen formuliert werden, können Beschränkungen zu einer begrenzten Zahl von Maßen und der praktischen Rücksicht, nur eine begrenzte Zahl von unbekannten Rahmen wieder zu erlangen, zu den Problemen führen, die in der getrennten Form umarbeiten werden. In diesem Fall wird das umgekehrte Problem normalerweise schlecht-bedingt. In diesen Fällen kann regularization verwendet werden, um milde Annahmen auf der Lösung einzuführen und zu verhindern, überzupassen. Viele Beispiele von normalisierten umgekehrten Problemen können als spezielle Fälle der Schlussfolgerung von Bayesian interpretiert werden.

Umgekehrte Problem-Gesellschaften

• Umgekehrte Probleme internationale Vereinigung
• Finnische umgekehrte Problem-Gesellschaft

Siehe auch

• Das atmosphärische Loten
• Datenassimilation
• Mathematische Geophysik
• Methode von Backus-Gilbert
• Optimale Bewertung
• Tikhonov regularization

Referenzen

• Chadan, Khosrow & Sabatier, Pierre Célestin (1977). Umgekehrte Probleme in der Quant-Zerstreuen-Theorie. Springer-Verlag. Internationale Standardbuchnummer 0-387-08092-9
• Aster, Richard [u. a.] (2004). Parameter-Bewertung und Umgekehrte Probleme, Elsevier. Internationale Standardbuchnummer 978-0-12-065604-2; internationale Standardbuchnummer 0-12-065604-3

Links

• Umgekehrtes Problem-Netz
• Umgekehrte Problem-Seite an der Universität Alabamas
• Die Website von Albert Tarantola, einschließlich einer freien PDF Version seines Umgekehrten Problem-Theorie-Buches und einiger Online-Artikel über Umgekehrte Probleme
• Die geophysikalische umgekehrte Theorie-Mittel-Seite von Andy Ganse
• Finnisches Zentrum der Vorzüglichkeit in der umgekehrten Problem-Forschung

Akademische Zeitschriften

Es gibt vier akademische Hauptzeitschriften, die umgekehrte Probleme im Allgemeinen bedecken.

• Umgekehrte Probleme
• Zeitschrift von umgekehrten und schlecht-aufgestellten Problemen
• Umgekehrte Probleme in der Wissenschaft und Technik
• Umgekehrte Probleme und darstellend

Außerdem gibt es viele Zeitschriften auf der medizinischen Bildaufbereitung, Geophysik, nichtzerstörende Prüfung usw., die durch umgekehrte Probleme in jenen Gebieten beherrscht werden.