In der Mathematik ist Wronskian eine Determinante, die dadurch eingeführt ist und dadurch genannt ist. Es wird in der Studie von Differenzialgleichungen verwendet, wo es manchmal verwendet werden kann, um zu zeigen, dass eine Reihe von Lösungen linear unabhängig ist.

Definition

Der Wronskian von zwei Funktionen f und g ist W (f, g) = fg′–gf

′.

Mehr allgemein, für den n echt - oder Komplex-geschätzte Funktionen f..., f, die n &minus sind; 1mal differentiable auf einem Zwischenraum I, der Wronskian W (f..., f) als eine Funktion auf werde mir durch definiert

:

W (f_1, \ldots, f_n) (x) =

\begin {vmatrix}

f_1 (x) & f_2 (x) & \cdots & f_n (x) \\

f_1' (x) & f_2' (x) & \cdots & f_n' (x) \\

\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

F_1^ {(n-1)} (x) & F_2^ {(n-1)} (x) & \cdots & F_n^ {(n-1)} (x)

\end {vmatrix}, \qquad x\in I.

</Mathematik>

D. h. es ist die Determinante der gebauten Matrix durch das Stellen der Funktionen in die erste Reihe, die erste Ableitung jeder Funktion in der zweiten Reihe, und so weiter durch (n - 1) St.-Ableitung, so eine Quadratmatrix bildend, hat manchmal eine grundsätzliche Matrix genannt.

Wenn die Funktionen f Lösungen einer linearen Differenzialgleichung sind, kann Wronskian ausführlich mit der Identität von Abel gefunden werden, selbst wenn die Funktionen f ausführlich nicht bekannt sind.

Der Wronskian und die geradlinige Unabhängigkeit

Wenn die Funktionen f linear abhängig sind, dann auch sind die Säulen von Wronskian, weil Unterscheidung eine geradlinige Operation ist, so verschwindet Wronskian. So kann Wronskian verwendet werden, um zu zeigen, dass eine Reihe von differentiable fungiert, ist auf einem Zwischenraum durch die Vertretung linear unabhängig, dass er identisch nicht verschwindet.

Ein häufiger Irrtum ist, dass W = 0 überall geradlinige Abhängigkeit einbezieht, aber darauf hingewiesen hat, dass die Funktionen x und der |xx dauernde Ableitungen haben und ihr Wronskian überall verschwindet, noch sind sie in jeder Nachbarschaft 0 nicht linear abhängig. Es gibt mehrere Extrabedingungen, die sicherstellen, dass das Verschwinden von Wronskian in einem Zwischenraum geradlinige Abhängigkeit einbezieht.

beobachtet dass, wenn die Funktionen analytisch sind, dann deutet das Verschwinden von Wronskian in einem Zwischenraum an, dass sie linear abhängig sind. hat mehrere andere Bedingungen für das Verschwinden von Wronskian gegeben, um geradlinige Abhängigkeit einzubeziehen; zum Beispiel, wenn Wronskian von N-Funktionen identisch Null ist und n Wronskians von n-1 von ihnen an keinem Punkt dann alle verschwinden, sind die Funktionen linear abhängig. hat eine allgemeinere Bedingung gegeben, die zusammen mit dem Verschwinden von Wronskian geradlinige Abhängigkeit einbezieht.

Verallgemeinerter Wronskians

Für n Funktionen von mehreren Variablen ist verallgemeinerter Wronskian die Determinante eines n durch die n Matrix mit Einträgen D (f) (mit 0i ist ein unveränderlicher Koeffizient geradliniger teilweiser Differenzialoperator des Auftrags i. Wenn die Funktionen dann linear abhängig sind, haben alle verallgemeinert Wronskians verschwinden. Als im 1 variablen Fall ist das gegenteilige im Allgemeinen nicht wahr: Wenn alle verallgemeinert haben, verschwinden Wronskians das deutet nicht an, dass die Funktionen linear abhängig sind. Jedoch ist das gegenteilige in vielen speziellen Fällen wahr. Zum Beispiel, wenn die Funktionen Polynome sind und alle verallgemeinert haben, verschwinden Wronskians, dann sind die Funktionen linear abhängig. Roth hat dieses Ergebnis über verallgemeinerten Wronskians in seinem Beweis des Lehrsatzes von Roth verwendet. Für allgemeinere Bedingungen, unter denen das gegenteilige gültig ist, sieh.

Siehe auch

• Matrix von Moore, die Wronskian mit der Unterscheidung analog ist, die durch den Endomorphismus von Frobenius über ein begrenztes Feld ersetzt ist.