In der Mathematik ist eine Kubikfunktion eine Funktion der Form

:

wo Nichtnull ist; oder mit anderen Worten, ein Polynom des Grads drei. Die Ableitung einer Kubikfunktion ist eine quadratische Funktion. Das Integral einer Kubikfunktion ist eine Quartic-Funktion.

Das Setzen von (x) ƒ = 0 erzeugt eine kubische Gleichung der Form:

:

Gewöhnlich sind die Koeffizienten a, b, c, d reelle Zahlen. Jedoch ist der grösste Teil der Theorie auch gültig, wenn sie einem Feld der Eigenschaft außer 2 oder 3 gehören.

Eine kubische Gleichung zu lösen, soll die Wurzeln (Nullen) einer Kubikfunktion finden.

Es gibt verschiedene Weisen, eine kubische Gleichung zu lösen. Die Wurzeln eines kubischen, wie diejenigen eines quadratischen oder quartic (der vierte Grad) Funktion, aber keine höhere Grad-Funktion, können immer algebraisch (als eine Formel gefunden werden, die einfache Funktionen wie die Quadratwurzel und Würfel-Wurzelfunktionen einschließt). Die Wurzeln können auch trigonometrisch gefunden werden. Wechselweise kann man eine numerische Annäherung der Wurzeln im Feld der reellen Zahlen oder komplexen Zahlen finden. Das kann durch jeden wurzelfindenden Algorithmus wie die Methode von Newton erhalten werden.

Das Lösen von kubischen Gleichungen ist ein notwendiger Teil, die allgemeine quartic Gleichung zu lösen, seit dem Lösen der Letzteren verlangt das Lösen seiner wiederlösenden kubischen Gleichung.

Geschichte

Kubische Gleichungen waren dem alten griechischen Mathematiker Diophantus bekannt; noch früher zu alten Babyloniern, die im Stande gewesen sind, bestimmte kubische Gleichungen zu lösen; und auch zu den alten Ägyptern. Verdoppelung des Würfels ist die einfachste und älteste studierte kubische Gleichung und diejenige, die die alten Ägypter gedacht haben, um unmöglich zu sein. Hippocrates hat dieses Problem auf diese der Entdeckung von zwei bösartigen proportionals zwischen einer Linie und einer anderen zweimal seiner Länge reduziert, aber konnte das mit einem Kompass und Haarlineal-Aufbau, eine Aufgabe nicht lösen, die, wie man jetzt bekannt, unmöglich ist. Wie man glaubt, sind Hippocrates, Menaechmus und Archimedes in der Nähe vom Beheben des Problems gekommen, das Würfel-Verwenden zu verdoppeln, das konische Abteilungen durchschneidet, obwohl Historiker wie Reviel Netz streiten, ob die Griechen an kubische Gleichungen oder gerade Probleme dachten, die zu kubischen Gleichungen führen können. Einige andere mögen T. L. Moor, wer Arbeiten ganzen Archimedes übersetzt hat, stimmt nicht überein, Beweise vorbringend, dass Archimedes wirklich kubische Gleichungen mit Kreuzungen von zwei Kegeln gelöst hat, sondern auch die Bedingungen besprochen hat, wo die Wurzeln 0, 1 oder 2 sind.

Im 7. Jahrhundert hat der Astronom-Mathematiker von Tang-Dynastie Wang Xiaotong in seiner mathematischen Abhandlung Jigu Suanjing systematisch gegründet betitelt und hat 25 kubische Gleichungen der Form, 23 von ihnen mit, und zwei von ihnen damit gelöst.

Im 11. Jahrhundert hat der persische Dichter-Mathematiker, Omar Khayyám (1048-1131), bedeutende Fortschritte in der Theorie von kubischen Gleichungen gemacht. In einer frühen Zeitung hat er bezüglich kubischer Gleichungen geschrieben, er hat entdeckt, dass eine kubische Gleichung mehr als eine Lösung haben kann und festgestellt hat, dass es mit dem Kompass und den Haarlineal-Aufbauten nicht gelöst werden kann. Er hat auch eine geometrische Lösung gefunden. In seiner späteren Arbeit, der Abhandlung auf der Demonstration von Problemen der Algebra, hat er eine ganze Klassifikation von kubischen Gleichungen mit allgemeinen geometrischen mittels des Schneidens konischer Abteilungen gefundenen Lösungen geschrieben.

Im 12. Jahrhundert hat der Indianermathematiker Bhaskara II die Lösung von kubischen Gleichungen ohne allgemeinen Erfolg versucht. Jedoch hat er ein Beispiel einer kubischen Gleichung angeführt:

Im 12. Jahrhundert hat ein anderer persischer Mathematiker, Sharaf al-Dīn al-Tūsī (1135-1213), dem Al-Mu'adalat geschrieben (Abhandlung auf Gleichungen), der sich mit acht Typen von kubischen Gleichungen mit positiven Lösungen und fünf Typen von kubischen Gleichungen befasst hat, die positive Lösungen nicht haben können. Er hat verwendet, was, wie man später bekannt, als die "Methode von Ruffini-Horner" der Wurzel einer kubischen Gleichung numerisch näher kam. Er hat auch die Konzepte einer abgeleiteten Funktion und der Maxima und Minima von Kurven entwickelt, um kubische Gleichungen zu lösen, die positive Lösungen nicht haben können. Er hat die Wichtigkeit vom discriminant der kubischen Gleichung verstanden, um algebraische Lösungen bestimmter Typen von kubischen Gleichungen zu finden.

Leonardo de Pisa, auch bekannt als Fibonacci (1170-1250), sind im Stande gewesen, die positive Lösung der kubischen Gleichung x+2x+10x = 20, mit den babylonischen Ziffern zu finden. Er hat das Ergebnis als 1,22,7,42,33,4,40 gegeben, der gleichwertig ist zu: 1+22/60+7/60+42/60+33/60+4/60+40/60.

Am Anfang des 16. Jahrhunderts hat der italienische Mathematiker Scipione del Ferro (1465-1526) eine Methode gefunden, für eine Klasse von kubischen Gleichungen, nämlich diejenigen der Form x + mx = n zu lösen. Tatsächlich können alle kubischen Gleichungen auf diese Form reduziert werden, wenn wir M und n erlauben, negativ zu sein, aber negative Zahlen waren ihm damals nicht bekannt. Del Ferro hat sein Leistungsgeheimnis bis kurz bevor seinem Tod behalten, als er seinem Studenten Antonio Fiore darüber erzählt hat.

1530 hat Niccolò Tartaglia (1500-1557) zwei Probleme in kubischen Gleichungen von Zuanne da Coi erhalten und hat bekannt gegeben, dass er sie lösen konnte. Er wurde bald von Fiore herausgefordert, der zu einem berühmten Streit zwischen den zwei geführt hat. Jeder Wettbewerber musste einen bestimmten Betrag des Geldes aufstellen und mehrere Probleme für seinen Rivalen vorzuschlagen, zu lösen. Wer auch immer mehr Probleme innerhalb von 30 Tagen behoben hat, würde das ganze Geld bekommen. Tartaglia hat Fragen in der Form x + mx = n erhalten, für den er eine allgemeine Methode ausgearbeitet hatte. Fiore hat Fragen in der Form x + mx = n erhalten, der sich erwiesen hat, für ihn zu schwierig zu sein, um zu lösen, und Tartaglia den Streit gewonnen hat.

Später wurde Tartaglia von Gerolamo Cardano (1501-1576) überzeugt, um sein Geheimnis zu offenbaren, um kubische Gleichungen zu lösen. 1539 hat Tartaglia so nur getan unter der Bedingung, dass Cardano es und dass nie offenbaren würde, wenn er wirklich ein Buch über cubics offenbaren würde, dass er Zeit von Tartaglia geben würde, um zu veröffentlichen. Einige Jahre später hat Cardano über die vorherige Arbeit von Ferro erfahren und hat die Methode von Ferro in seinem Buch Ars Magna 1545 veröffentlicht, meinend, dass Cardano Tartaglia 6 Jahre gegeben hat, um seine Ergebnisse (mit dem Kredit zu veröffentlichen, der Tartaglia für eine unabhängige Lösung gegeben ist). Die Versprechung von Cardano mit Tartaglia hat festgestellt, dass er nicht die Arbeit von Tartaglia veröffentlicht, und Cardano gefunden hat, dass er del Ferro veröffentlichte, um um die Versprechung herumzukommen. Dennoch hat das zu einer Herausforderung an Cardano durch Tartaglia geführt, den Cardano bestritten hat. Die Herausforderung wurde schließlich vom Studenten von Cardano Lodovico Ferrari (1522-1565) akzeptiert. Ferrari hat besser getan als Tartaglia in der Konkurrenz und Tartaglia verloren sowohl sein Prestige als auch Einkommen.

Cardano hat bemerkt, dass die Methode von Tartaglia manchmal verlangt hat, dass er die Quadratwurzel einer negativen Zahl herausgezogen hat. Er hat sogar eine Berechnung mit diesen komplexen Zahlen in Ars Magna eingeschlossen, aber er hat es nicht wirklich verstanden. Rafael Bombelli hat dieses Problem im Detail studiert und wird deshalb häufig als der Entdecker von komplexen Zahlen betrachtet.

François Viète (1540-1603) hat unabhängig die trigonometrische Lösung für das kubische mit drei echten Wurzeln abgeleitet, und René Descartes (1596-1650) hat die Arbeit von Viète erweitert.

Ableitung

Durch die quadratische Formel die Wurzeln der Ableitung f ′ (x) = 3ax + 2bx + werden c durch gegeben

:

und stellen Sie die kritischen Punkte zur Verfügung, wo der Hang der Kubikfunktion Null ist. Wenn b − 3ac > 0 dann hat die Kubikfunktion ein lokales Maximum und ein lokales Minimum. Wenn b − 3ac = 0 dann ist der Beugungspunkt des cubic der einzige kritische Punkt. Wenn b − 3ac < 0 dann gibt es keine kritischen Punkte. In den Fällen wo b − 3ac  0 ist die Kubikfunktion ausschließlich monotonisch.

Wurzeln einer Kubikfunktion

Die allgemeine kubische Gleichung hat die Form

:

mit

Diese Abteilung beschreibt, wie die Wurzeln solch einer Gleichung geschätzt werden können. Wie man allgemein annimmt, sind die Koeffizienten a, b, c, d reelle Zahlen, aber die meisten Ergebnisse gelten, wenn sie jedem Feld der Eigenschaft nicht 2 oder 3 gehören.

Die Natur der Wurzeln

Jede kubische Gleichung (1) mit echten Koeffizienten hat mindestens eine Lösung x unter den reellen Zahlen; das ist eine Folge des Zwischenwertlehrsatzes. Wir können mehrere mögliche Fälle mit dem discriminant, unterscheiden

::

Die folgenden Fälle müssen in Betracht gezogen werden:

• Wenn Δ> 0, dann hat die Gleichung drei verschiedene echte Wurzeln.
• Wenn Δ = 0, dann hat die Gleichung eine vielfache Wurzel und alle seine Wurzeln, echt sind.
• Wenn Δ, wo der oben erwähnte discriminant ist.

:

x_1 =

&-\frac {b} {3 ein }\\\

&-\frac {1} {3} \sqrt [3] {\\tfrac12\left [2 b^3-9 ein b c+27 a^2 d +\sqrt {\\ist (2 b^3-9 ein b c+27 A^2 d\right) ^2-4 \left (b^2-3 ein c\right) ^3 }\\Recht] }\\\abgereist

&-\frac {1} {3} \sqrt [3] {\\tfrac12\left [2 b^3-9 ein b c+27 A^2 d-\sqrt {\\ist (2 b^3-9 ein b c+27 A^2 d\right) ^2-4 \left (b^2-3 ein c\right) ^3 }\\Recht] }\\\abgereist

x_2 =

&-\frac {b} {3 ein }\\\

&+ \frac {1+i \sqrt {3}} {6} \sqrt [3] {\\tfrac12\left [2 b^3-9 ist ein b c+27 a^2 d +\sqrt {\\(2 b^3-9 ein b c+27 A^2 d\right) ^2-4 \left (b^2-3 ein c\right) ^3 }\\Recht] }\\\abgereist

&+ \frac {1-i \sqrt {3}} {6} \sqrt [3] {\\tfrac12\left [2 b^3-9 ein b c+27 A^2 d-\sqrt ist {\\(2 b^3-9 ein b c+27 A^2 d\right) ^2-4 \left (b^2-3 ein c\right) ^3 }\\Recht] }\\\abgereist

x_3 =

&-\frac {b} {3 ein }\\\

&+ \frac {1-i \sqrt {3}} {6} \sqrt [3] {\\tfrac12\left [2 b^3-9 ist ein b c+27 a^2 d +\sqrt {\\(2 b^3-9 ein b c+27 A^2 d\right) ^2-4 \left (b^2-3 ein c\right) ^3 }\\Recht] }\\\abgereist

&+ \frac {1+i \sqrt {3}} {6} \sqrt [3] {\\tfrac12\left [2 b^3-9 ein b c+27 A^2 d-\sqrt ist {\\(2 b^3-9 ein b c+27 A^2 d\right) ^2-4 \left (b^2-3 ein c\right) ^3 }\\Recht] }\abgereist

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Jedoch ist diese Formel ohne weitere Erklärung nur anwendbar, wenn der operand der Quadratwurzel nichtnegativ ist und a, b, c, d echte Koeffizienten sind. Wenn dieser operand echt und nichtnegativ ist, bezieht sich die Quadratwurzel auf die hauptsächliche (positive) Quadratwurzel, und die Würfel-Wurzeln in der Formel sollen als die echten interpretiert werden. Sonst gibt es keine echte Quadratwurzel, und man kann eine der imaginären Quadratwurzeln (dasselbe ein in beiden Teilen der Lösung für jeden x) willkürlich wählen. Für die komplizierten Würfel-Wurzeln des resultierenden komplizierten Ausdrucks herauszuziehen, müssen wir auch unter drei Würfel-Wurzeln in jedem Teil jeder Lösung wählen, das Geben neun möglicher Kombinationen von einem von drei Würfel wühlt nach dem ersten Teil des Ausdrucks und einem drei für das zweite. Die richtige Kombination ist solch, dass die zwei Würfel-Wurzeln, die für die zwei Begriffe in einem gegebenen Lösungsausdruck gewählt sind, kompliziert sind, paart sich von einander (wodurch die zwei imaginären Begriffe in jeder Lösung annullieren).

Eine andere Weise, die Lösung zu schreiben, kann durch die Anmerkung erhalten werden, dass der Beweis der obengenannten Formel zeigt, dass das Produkt der zwei Würfel-Wurzeln vernünftig ist. Das gibt die folgende Formel, in der oder für jede Wahl des Quadrats oder der Würfel-Wurzel, wenn eintritt

:

Q = &\\sqrt {(2 b^3-9 ein b c+27 a^2 d) ^2-4 (b^2-3 ein c) ^3 }\\\

C = &\\sqrt [3] {\\tfrac12 (Q + 2 b^3-9 ein b c+27 a^2 d) }\\\

x_1 = &-\frac {b} {3}-\frac {C} {3}-\frac {b^2-3 ein c} {3 ein C }\\\

x_2 = &-\frac {b} {3} + \frac {C (1+i \sqrt {3})} {6} + \frac {(1-i \sqrt {3}) (b^2-3 ein c)} {6 ein C }\\\

x_3 = &-\frac {b} {3} + \frac {C (1-i \sqrt {3})} {6} + \frac {(1+i \sqrt {3}) (b^2-3 ein c)} {6 ein C }\

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Wenn und das Zeichen dessen gewählt werden muss, um zu haben.

Wenn und die drei Wurzeln gleich sind:

:

Wenn und der obengenannte Ausdruck für die Wurzeln richtig, aber irreführend ist, die Tatsache verbergend, dass kein Radikaler erforderlich ist, um die Wurzeln zu vertreten. Tatsächlich, in diesem Fall, gibt es eine doppelte Wurzel,

:

und eine einfache Wurzel

:

Die folgenden Abteilungen beschreiben, wie diese Formeln erhalten werden können.

Die Verminderung zu einem monic Trinom

Wenn wir

Gleichung (1) dadurch teilen und durch (die Transformation von Tschirnhaus) vertreten, bekommen wir die Gleichung

:wo:

p=& \frac {3ac-b^2} {3a^2 }\\\

q=& \frac {2b^3-9abc+27a^2d} {27a^3}.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Jede Formel für die Wurzeln der Gleichung (2) kann in eine Formel für die Wurzeln der Gleichung (1) durch das Ersetzen der obengenannten Werte für und und das Verwenden der Beziehung umgestaltet werden.

Deshalb wird nur Gleichung (2) im folgenden betrachtet.

Die Methode von Cardano

Die Lösungen können mit der folgenden Methode wegen Scipione del Ferros und Tartaglias gefunden werden, der von Gerolamo Cardano 1545 veröffentlicht ist.

Wir wenden zuerst die vorhergehende Verminderung an, den so genannten niedergedrückten kubischen gebend

:

Wir führen zwei Variablen u und v ein, der durch die Bedingung verbunden ist

:

und setzen Sie das im niedergedrückten kubischen (2) ein, gebend

:.

An diesem Punkt hat Cardano eine zweite Bedingung für die Variablen u und v auferlegt:

:.

Da die erste Parenthese in (3) verschwindet, kommen wir und. So und sind die zwei Wurzeln der Gleichung

:

An diesem Punkt hat Cardano, der komplexe Zahlen nicht gewusst hat, angenommen, dass die Wurzeln dieser Gleichung echt waren, der das ist

Diese Gleichung und das Verwenden der Tatsache lösend, dass und ausgetauscht werden kann, finden wir

: und.

Da diese Ausdrücke echt sind, werden ihre Würfel-Wurzeln gut definiert und wie Cardano, wir bekommen

:

Die zwei komplizierten Wurzeln werden durch das Betrachten der komplizierten Kubikwurzeln erhalten; die Tatsache ist echt deutet an, dass sie durch das Multiplizieren von einer der obengenannten Kubikwurzeln durch und anderen dadurch erhalten werden.

Wenn nicht notwendigerweise positiv ist, müssen wir eine Würfel-Wurzel dessen wählen. Da es keine direkte Weise gibt, die entsprechende Würfel-Wurzel dessen zu wählen, muss man die Beziehung verwenden, die gibt

:

und

:

Bemerken Sie, dass das Zeichen der Quadratwurzel das resultierende nicht betrifft, weil sich das Ändern davon auf das Austauschen beläuft und. Wir haben minus das Zeichen gewählt zu haben, wenn und, um eine Abteilung durch die Null zu vermeiden. Mit dieser Wahl arbeitet der obengenannte Ausdruck dafür immer, außer, wenn, wo der zweite Begriff 0/0 wird. In diesem Fall gibt es eine dreifache Wurzel.

Bemerken Sie auch, dass in mehreren Fällen die Lösungen mit weniger Quadrat ausgedrückt werden oder Würfel einwurzeln lässt

:If dann haben wir die dreifache echte Wurzel

::

:If und dann

::

:and die drei Wurzeln sind die drei Würfel-Wurzeln dessen.

:If und dann::

:in, die die drei Wurzeln umgeben, sind

::

:where

::

:Finally, wenn es eine doppelte Wurzel und eine einfache Wurzel gibt, die vernünftig im Begriff dessen ausgedrückt werden kann, aber dieser Ausdruck darf aus dem allgemeinen Ausdruck der Wurzeln nicht sofort abgeleitet werden:

::

Um von diesen Wurzeln in der Gleichung (2) zu den allgemeinen Formeln für Wurzeln in der Gleichung (1) zu gehen, ziehen Sie ab und ersetzen Sie und durch ihre Ausdrücke in Bezug darauf.

Die Methode von Lagrange

In seiner Zeitung Réflexions sur la résolution algébrique des équations ("Gedanken auf dem algebraischen Lösen von Gleichungen") hat Joseph Louis Lagrange eine neue Methode eingeführt, Gleichungen des niedrigen Grads zu lösen.

Diese Methode-Arbeiten gut für kubische und quartic Gleichungen, aber Lagrange haben nicht geschafft, es auf eine quintic Gleichung anzuwenden, weil es das Lösen eines wiederlösenden Polynoms des Grads mindestens sechs verlangt. Das wird durch den Lehrsatz von Abel-Ruffini erklärt, der beweist, dass solche Polynome von Radikalen nicht gelöst werden können. Dennoch basieren die modernen Methoden, um lösbare quintic Gleichungen zu lösen, hauptsächlich auf der Methode von Lagrange.

Im Fall von kubischen Gleichungen gibt die Methode von Lagrange dieselbe Lösung wie Cardano, aber vermeidet seinen anscheinend magischen Aspekt (Warum wählte Cardano diese Hilfsvariablen?). Außerdem kann es auch direkt auf die allgemeine kubische Gleichung (1) angewandt werden, ohne die Verminderung an der Trinom-Gleichung (2) zu verwenden. Dennoch ist die Berechnung mit dieser reduzierten Gleichung viel leichter.

Nehmen Sie an, dass x, x und x die Wurzeln der Gleichung (1) oder (2) sind, und, so dass &zeta definieren; ist eine primitive dritte Wurzel der Einheit, die die Beziehung befriedigt. Wir setzen jetzt

:::

Das ist der getrennte Fourier verwandeln sich von den Wurzeln: Bemerken Sie, dass, während die Koeffizienten des Polynoms in den Wurzeln in dieser Formel symmetrisch sind, eine Ordnung auf den Wurzeln gewählt worden ist, so sind diese in den Wurzeln nicht symmetrisch.

Die Wurzeln können dann von den drei s durch das Umkehren der obengenannten geradlinigen Transformation über den umgekehrten getrennten Fourier wieder erlangt werden verwandeln sich, gebend

:::

Das Polynom ist ein elementares symmetrisches Polynom und ist so im Falle der Gleichung (1) und der Null im Falle der Gleichung (2) gleich, so müssen wir nur Werte für die anderen zwei suchen.

Die Polynome und sind nicht symmetrische Funktionen der Wurzeln: Ist invariant, während die zwei nichttrivialen zyklischen Versetzungen der Wurzeln an und zu, oder an und zu (abhängig von der Versetzung) senden, während sie umstellen und Schalter und; andere Umstellungen schalten diese Wurzeln und multiplizieren sie mit einer Macht von

So, und werden invariant durch die zyklischen Versetzungen der Wurzeln verlassen, die sie damit multiplizieren. Auch und werden invariant durch die Umstellung verlassen, und der wert ist und. Da die Versetzungsgruppe der Wurzeln durch diese Versetzungen erzeugt wird, hieraus folgt dass und symmetrische Funktionen der Wurzeln sind und so als Polynome in den elementaren symmetrischen Polynomen und so als vernünftige Funktionen der Koeffizienten der Gleichung geschrieben werden kann. Lassen Sie und in diesen Ausdrücken, die unten ausführlich geschätzt werden.

Wir haben das und sind die zwei Wurzeln der quadratischen Gleichung

:

So kann die Entschlossenheit der Gleichung, genau wie beschrieben, für die Methode von Cardano, mit und im Platz beendet werden und.

Berechnung von A und B

Und, die elementaren symmetrischen Polynome untergehend, haben wir, damit:

:

Der Ausdruck dafür ist dasselbe mit und ausgetauscht. So das Verwenden bekommen wir

:

A=s_1^3+s_2^3=2 (x_0^3+x_1^3+x_2^3)-3 (x_0^2x_1+x_1^2x_2+x_2^2x_0+x_0x_1^2+x_1x_2^2+x_2x_0^2) +12x_0x_1x_2 \,

</Mathematik>

und eine aufrichtige Berechnung gibt

:

A=s_1^3+s_2^3=2E_1^3-9E_1E_2+27E_3 \.

</Mathematik>

Ähnlich haben wir

:

B=s_1s_2=x_0^2+x_1^2+x_2^2 + (\zeta +\zeta^2) (x_0x_1+x_1x_2+x_2x_0) =E_1^2-3E_2 \.

</Mathematik>Wenn

wir Gleichung (1) lösen, haben wir

: und

Mit der Gleichung (2) haben wir, und und so:

: und.

Bemerken Sie, dass mit der Gleichung (2) wir haben und, während in der Methode von Cardano wir untergegangen sind und

So haben wir, bis zum Austausch und:

: und.

Mit anderen Worten, in diesem Fall, schätzt die Methode von Cardano und Lagranges genau dieselben Dinge, bis zu einem Faktor drei in den Hilfsvariablen, der Hauptunterschied, der ist, den die Methode von Lagrange erklärt, warum diese Hilfsvariablen im Problem erscheinen.

Trigonometrisch (und hyperbolisch) Methode

Wenn eine kubische Gleichung drei echte Wurzeln hat, schließen die Formeln, die diese Wurzeln in Bezug auf Radikale ausdrücken, komplexe Zahlen ein. Es ist bewiesen worden, dass, wenn keine der drei echten Wurzeln — der casus irreducibilis vernünftig ist — man die Wurzeln in Bezug auf echte Radikale nicht ausdrücken kann. Dennoch können rein echte Ausdrücke der Lösungen mit hypergeometrischen Funktionen, oder elementarer in Bezug auf trigonometrische Funktionen, spezifisch in Bezug auf den Kosinus und die Arccosine-Funktionen erhalten werden.

Die Formeln, die wegen François Viètes folgen, sind im Allgemeinen wahr (außer, wenn p = 0), sind rein echt, wenn die Gleichung drei echte Wurzeln hat, aber schließen Sie komplizierte Kosinus und arccosines ein, wenn es nur eine echte Wurzel gibt.

Das Starten von der Gleichung (2) hat uns untergehen lassen Die Idee ist zu beschließen, Gleichung (2) zu machen, fallen mit der Identität zusammen

:

Tatsächlich wählend und Gleichung (2) durch teilend, bekommen uns

:

Sich mit der obengenannten Identität verbindend, bekommen wir

:

und so sind die Wurzeln

:

Diese Formel schließt nur echte Begriffe wenn ein

Die Bezeichnung durch den obengenannten Wert von t und das Verwenden der Ungleichheit für eine reelle Zahl u solch, dass die drei Wurzeln auch als ausgedrückt werden können

:

Wenn die drei Wurzeln echt sind, haben wir

:

Alle diese Formeln können in Formeln für die Wurzeln der allgemeinen kubischen Gleichung (1), mit dem Rückwartseinsetzen aufrichtig umgestaltet werden, das in der Abteilungsverminderung zu einem monic Trinom beschrieben ist.

Wenn es nur eine echte Wurzel gibt (und p  0), kann es mit Hyperbelfunktionen, als ähnlich vertreten werden

::

Wenn p  0 und die Ungleichheit rechts nicht zufrieden sind, dass die Formeln gültig bleiben, aber komplizierte Mengen einschließen.

Wenn die obengenannten Werte dessen manchmal die Würfel-Wurzel von Tschebyscheff genannt werden. Genauer definieren die Werte, die Kosinus und Cosinus hyperbolicus einschließen, als dieselbe analytische Funktion angezeigt hat, der die richtige Würfel-Wurzel von Tschebyscheff ist. Der Wert, der Sinen hyperbolicus einschließt, wird wenn ähnlich angezeigt.

Factorization

Wenn die kubische Gleichung mit Koeffizienten der ganzen Zahl eine vernünftige echte Wurzel hat, kann es mit dem vernünftigen Wurzeltest gefunden werden: Wenn die Wurzel r = M / n völlig reduziert ist, dann ist M ein Faktor von d, und n ist ein Faktor von a, so können alle möglichen Kombinationen von Werten für die M und n dafür überprüft werden, ob sie die kubische Gleichung befriedigen.

Der vernünftige Wurzeltest kann auch für eine kubische Gleichung mit vernünftigen Koeffizienten verwendet werden: Durch die Multiplikation durch den kleinsten gemeinsamen Nenner) der Koeffizienten bekommt man eine Gleichung mit Koeffizienten der ganzen Zahl, die genau dieselben Wurzeln hat.

Der vernünftige Wurzeltest ist besonders nützlich, wenn es drei echte Wurzeln gibt, weil die algebraische Lösung unnützlich die echten Wurzeln in Bezug auf komplizierte Entitäten ausdrückt. Der vernünftige Wurzeltest ist auch in Gegenwart von einem echtem und zwei komplizierten Wurzeln nützlich, weil er allen Wurzeln erlaubt, ohne den Gebrauch von Würfel-Wurzeln geschrieben zu werden.

Wenn r eine Wurzel des kubischen ist, dann können wir (x-r) das Verwenden polynomischer langer Abteilung ausklammern, um zu erhalten

:

Folglich, wenn wir eine Wurzel wissen, können wir die anderen zwei finden, indem wir die quadratische Formel verwenden, um das quadratische zu lösen, gebend

:

für die anderen zwei Wurzeln.

Wenn es drei echte Wurzeln gibt und keiner von ihnen vernünftig ist, haben wir den so genannten casus irreducibilis, in dem das kubische factored ins Produkt eines geradlinigen Polynoms und eines quadratischen Polynoms jeder mit echten Koeffizienten nicht sein kann.

Geometrische Interpretation der Wurzeln

Drei echte Wurzeln

Der trigonometrische Ausdruck von Viète der Wurzeln im Drei-Echte-Wurzelnfall leiht sich zu einer geometrischen Interpretation in Bezug auf einen Kreis. Wenn das kubische in der niedergedrückten Form als oben geschrieben wird, weil, so gezeigt über der Lösung ausgedrückt werden kann wie

:

Hier ist ein Winkel im Einheitskreis; die Einnahme dieses Winkels entspricht Einnahme einer Würfel-Wurzel einer komplexen Zahl; das Hinzufügen für k = 1, 2 findet die anderen Würfel-Wurzeln; und das Multiplizieren der Kosinus dieser resultierenden Winkel dadurch korrigiert für die Skala.

Für den nichtniedergedrückten Fall (gezeigt im Begleitgraphen) wird der niedergedrückte Fall, wie angezeigt, vorher durch das Definieren t solch dass so erhalten. Grafisch entspricht das einfacher Verschiebung des Graphen horizontal, wenn es sich zwischen den Variablen t und x ändert, ohne die Winkelbeziehungen zu ändern.

Ein echter und zwei komplizierte Wurzeln

Im Kartesianischen Flugzeug

Wenn ein kubischer im Kartesianischen Flugzeug geplant wird, kann die echte Wurzel grafisch als der horizontale Abschnitt der Kurve gesehen werden. Aber weiter, wenn die komplizierten verbundenen Wurzeln als g+hi geschrieben werden, dann ist g die Abszisse (die positive oder negative horizontale Entfernung vom Ursprung) des tangency Punkts einer Linie, die Tangente zur Kubikkurve ist und die horizontale Achse an demselben Platz durchschneidet, wie die Kubikkurve tut; und |h ist die Quadratwurzel der Tangente des Winkels zwischen dieser Linie und der horizontalen Achse.

Im komplizierten Flugzeug

Mit einem echtem und zwei komplizierten Wurzeln können die drei Wurzeln als Punkte im komplizierten Flugzeug vertreten werden, wie die zwei Wurzeln der Ableitung des cubic kann. Es gibt eine interessante geometrische Beziehung unter allen diesen Wurzeln.

Die Punkte im komplizierten Flugzeug, das die drei Wurzeln vertritt, dienen als die Scheitelpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks. (Das Dreieck ist gleichschenklig, weil eine Wurzel auf der horizontalen (echten) Achse und den anderen zwei Wurzeln ist, kompliziert zu sein, paart sich, erscheinen Sie symmetrisch oben und unter der echten Achse.) Der Lehrsatz von Marden sagt, dass die Punkte, die die Wurzeln der Ableitung des kubischen vertreten, die Fokusse des Steiners inellipse vom Dreieck — die einzigartige Ellipse sind, die Tangente zum Dreieck an den Mittelpunkten seiner Seiten ist. Wenn der Winkel am Scheitelpunkt auf der echten Achse weniger ist, als dann die Hauptachse der Ellipse auf der echten Achse liegt, wie seine Fokusse und folglich die Wurzeln der Ableitung tun. Wenn dieser Winkel größer ist als, ist die Hauptachse vertikal, und seine Fokusse, die Wurzeln der Ableitung, sind kompliziert. Und wenn dieser Winkel ist, ist das Dreieck gleichseitig, der Steiner inellipse ist einfach der incircle des Dreiecks, seine Fokusse fallen mit einander am incenter zusammen, der auf der echten Achse liegt, und folglich die Ableitung echte Doppelwurzeln hat.

Die Lösung von Omar Khayyám

Wie gezeigt, in diesem Graphen, um die dritten Grades Gleichung zu lösen, hat Omar Khayyám die Parabel ein Kreis mit dem Diameter und einer vertikalen Linie durch einen Kreuzungspunkt gebaut. Die Lösung wird durch die Länge des horizontalen Liniensegmentes vom Ursprung bis die Kreuzung der vertikalen Linie und der X-Achse gegeben.

Siehe auch

• Geradlinige Gleichung
• Quadratische Gleichung
• Gleichung von Quartic
• Gleichung von Quintic
• Polynom
• Die Methode des Newtons
• Fugenbrett (Mathematik)

Referenzen

• Ch. 24.
• Dunnett, R., "Newton-Raphson und das kubische," Mathematical Gazette 78, November 1994, 347-348.
• Dence, T., "Cubics, Verwirrung und die Methode von Newton," Mathematical Gazette 81, November 1997, 403-408.
• Mitchell, D. W., "cubics durch das Lösen von Dreiecken," Mathematical Gazette 91, November 2007, 514-516 lösend.
• Zucker, ich. J., "Die kubische-Gleichung-A neuer Blick auf den nicht zu vereinfachenden Fall," Mathematical Gazette 92, Juli 2008, 264-268.
• Rechtschaffen, E., "Echte Wurzeln von cubics: Ausführliche Formel für Quasilösungen," Mathematical Gazette 92, Juli 2008, 268-276.
• Mitchell, D. W., "Mächte als Wurzeln von cubics," Mathematical Gazette 93, November 2009.

Links

• Das Lösen eines Kubischen mittels Moebius gestaltet um
• Interessante Abstammung der trigonometrischen Kubiklösung mit 3 echten Wurzeln
• Rechenmaschine, für Cubics zu lösen (löst auch Quartics und Quadratics)
• Die Arbeit von Tartaglia (und Dichtung) auf der Lösung der Kubischen Gleichung an der Konvergenz
• Kubische Gleichung Solver.
• Quadratische, kubische und quartic Gleichungen auf dem Archiv von MacTutor.
• Lösungsrechenmaschine von Cardano als Java applet an einer lokalen Seite. Nur nimmt natürliche Koeffizienten.
• Der grafische Forscher für Kubikfunktionen Mit dem interaktiven Zeichentrickfilm, slider kontrolliert für Koeffizienten
• Auf der Lösung von kubischen Gleichungen am holistischen numerischen Methode-Institut
• Dave Auckly, den quartic mit einer amerikanischen Bleistift-Mathematik Monatlich 114:1 (2007) 29 — 39 Lösend
• "Kubische Gleichung" durch Eric W. Weisstein, Das Wolfram-Demonstrationsprojekt, 2007.