In der Mathematik, besonders Funktionsanalyse, ist ein normaler Maschinenbediener auf einem komplizierten Raum von Hilbert (oder gleichwertig in einer C* Algebra) ein dauernder geradliniger Maschinenbediener

das tauscht mit seinem hermitian adjoint N* ein:

Normale Maschinenbediener sind wichtig, weil der geisterhafte Lehrsatz für sie hält. Heute wird die Klasse von normalen Maschinenbedienern gut verstanden. Beispiele von normalen Maschinenbedienern sind

• einheitliche Maschinenbediener:
• Maschinenbediener von Hermitian (d. h., selfadjoint Maschinenbediener):; (auch, anti-selfadjoint Maschinenbediener:)
• positive Maschinenbediener:
• orthogonale Vorsprung-Maschinenbediener:
• normaler matrices kann als normale Maschinenbediener gesehen werden, wenn man den Raum von Hilbert nimmt, um zu sein.

Eigenschaften

Normale Maschinenbediener werden durch den geisterhaften Lehrsatz charakterisiert. Ein normaler Kompaktmaschinenbediener (insbesondere ein normaler Maschinenbediener auf einem endlich-dimensionalen geradlinigen Raum) sind diagonalizable.

Lassen Sie T ein begrenzter Maschinenbediener sein. Der folgende ist gleichwertig.

• T ist normal.
• T* ist normal.
• Tx = T*x für den ganzen x (Gebrauch).
• Der selfadjoint und die anti-selfadjoint Teile von T (d. h., mit rsp. pendeln.

Wenn N ein normaler Maschinenbediener ist, dann haben N und N* denselben Kern und Reihe. Folglich ist die Reihe von N dicht, wenn, und nur wenn N injective ist. Gestellt auf eine andere Weise ist der Kern eines normalen Maschinenbedieners die orthogonale Ergänzung seiner Reihe; so fällt der Kern des Maschinenbedieners mit diesem für irgendwelchen zusammen. Jeder verallgemeinerte eigenvalue eines normalen Maschinenbedieners ist so echt. ist ein eigenvalue eines normalen Maschinenbedieners N, wenn, und nur wenn sein verbundener Komplex ein eigenvalue von Eigenvektoren eines normalen Maschinenbedieners entsprechend verschiedenem eigenvalues ist, orthogonal sind, und es orthogonale Ergänzungen zu seinem eigenspaces stabilisiert

. Das bezieht den üblichen geisterhaften Lehrsatz ein: Jeder normale Maschinenbediener auf einem endlich-dimensionalen Raum ist diagonalizable durch einen einheitlichen Maschinenbediener. Es gibt auch eine unendlich-dimensionale Generalisation in Bezug auf Vorsprung-geschätzte Maßnahmen. Das restliche Spektrum eines normalen Maschinenbedieners ist leer.

Das Produkt von normalen Maschinenbedienern, die pendeln, ist wieder normal; das ist nichttrivial und folgt aus dem Lehrsatz von Fuglede, der (in einer Form festsetzt, die von Putnam verallgemeinert ist):

:If und sind normale Maschinenbediener, und wenn A ein begrenzter geradliniger solcher Maschinenbediener dass dann ist.

Die Maschinenbediener-Norm eines normalen Maschinenbedieners kommt seinem numerischen Radius und geisterhaftem Radius gleich.

Ein normaler Maschinenbediener fällt mit seinem Aluthge zusammen verwandeln sich.

Eigenschaften im endlich-dimensionalen Fall

Wenn ein normaler Maschinenbediener auf einem endlich-dimensionalen echten oder komplizierten Raum von Hilbert (Skalarprodukt-Raum) einen Subraum stabilisiert, dann stabilisiert er auch seine orthogonale Ergänzung.

Beweis. Zeigen Sie durch den orthogonalen Vorsprung darauf an.

Dann ist der orthogonale Vorsprung darauf.

Die Tatsache, die sich stabilisiert, kann als ausgedrückt werden

, oder.

Die Absicht ist, das zu zeigen.

Seitdem ist ein Skalarprodukt auf dem Raum von Endomorphismen dessen, es ist genug, das zu zeigen.

Das folgt aus einer direkten Berechnung mit Eigenschaften der Spur und von orthogonalen Vorsprüngen:

- \operatorname {tr} (P_VTP_VT^*P_V) </Mathematik>

- \operatorname {tr} (P_V^2TP_VT^ *) </math>

Das verallgemeinert, um normale Maschinenbediener in unendlichen dimensionalen Räumen von Hilbert zusammenzupressen. Jedoch für begrenzte normale Maschinenbediener kann die orthogonale Ergänzung zu einem stabilen Subraum nicht stabil sein. Hieraus folgt dass solche Subräume durch Eigenvektoren nicht abgemessen werden können.

Normale Elemente

Der Begriff von normalen Maschinenbedienern verallgemeinert zu einer involutive Algebra; nämlich, wie man sagt, ist ein Element x einer involutive Algebra wenn normal. Der wichtigste Fall ist, wenn solch eine Algebra C*-algebra ist. Ein positives Element ist ein Beispiel eines normalen Elements.

Unbegrenzte normale Maschinenbediener

Die Definition von normalen Maschinenbedienern verallgemeinert natürlich zu einer Klasse von unbegrenzten Maschinenbedienern. Ausführlich, wie man sagt, ist ein geschlossener Maschinenbediener N wenn normal

Hier deutet die Existenz des adjoint an, dass das Gebiet dessen dicht ist, und die Gleichheit andeutet, dass das Gebiet dessen dem dessen gleichkommt, der nicht notwendigerweise der Fall im Allgemeinen ist.

Der geisterhafte Lehrsatz hält noch für unbegrenzte normale Maschinenbediener, aber verlangt gewöhnlich einen verschiedenen Beweis.

Generalisation

Der Erfolg der Theorie von normalen Maschinenbedienern hat zu mehreren Versuchen für die Generalisation durch die Schwächung der commutativity Voraussetzung geführt. Klassen von Maschinenbedienern, die normale Maschinenbediener einschließen, sind (in der Größenordnung von der Einschließung)

• Quasinormale Maschinenbediener
• Unterdurchschnittliche Maschinenbediener
• Maschinenbediener von Hyponormal
• Paranormale Maschinenbediener
• Normaloids

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