In der Mathematik ist eine teilweise Funktion von X bis Y ein Funktions-ƒ: X'  Y, wo X' eine Teilmenge X ist. Es verallgemeinert das Konzept einer Funktion, indem es f nicht gezwungen wird, jedes Element X zu einem Element von Y (nur eine Teilmenge X X) kartografisch darzustellen. Wenn X' = X, dann wird ƒ eine Gesamtfunktion genannt und ist zu einer Funktion gleichwertig. Teilweise Funktionen werden häufig verwendet, wenn das genaue Gebiet, X', (z.B viele Funktionen in der Berechenbarkeitstheorie) nicht bekannt ist.

Spezifisch werden wir dass für jeden x  X, auch sagen:

• (X) ƒ = y  Y (wird es als ein einzelnes Element in Y definiert), oder
• (X) ƒ sind unbestimmt.

Zum Beispiel können wir die Quadratwurzel-Funktion als eingeschränkt auf die ganzen Zahlen betrachten

So g wird (n) nur für n definiert, die vollkommene Quadrate (d. h. 0, 1, 4, 9, 16...) sind. Also, g (25) = 5, aber g (26) ist unbestimmt.

Gebiet einer teilweisen Funktion

Es gibt zwei verschiedene Bedeutungen im aktuellen mathematischen Gebrauch für den Begriff des Gebiets einer teilweisen Funktion. Die meisten Mathematiker, einschließlich recursion Theoretiker, gebrauchen den Begriff "Gebiet von f" für den Satz aller Werte x solch, dass f (x) (X' oben) definiert wird. Aber einige, besonders Kategorie-Theoretiker, denken, dass das Gebiet einer teilweisen Funktion f:X' Y X ist, und X' als das Gebiet der Definition kennzeichnet.

Gelegentlich wird eine teilweise Funktion mit dem Gebiet X und codomain Y als f geschrieben: X  Y, mit einem Pfeil mit dem vertikalen Schlag.

sagt, ist eine teilweise Funktion injective oder surjective, wenn die Gesamtfunktion, die durch die Beschränkung der teilweisen Funktion zu seinem Gebiet der Definition gegeben ist, ist. Eine teilweise Funktion kann sowohl injective als auch surjective sein, aber der Begriff Bijektion gilt allgemein nur für Gesamtfunktionen.

Eine injective teilweise Funktion kann zu einer injective teilweisen Funktion umgekehrt werden, und eine teilweise Funktion, die sowohl injective als auch surjective ist, hat eine Injective-Funktion als Gegenteil.

Gesamtfunktion

Gesamtfunktion ist ein Synonym für die Funktion. Der Gebrauch des "ganzen" Präfixes soll darauf hinweisen, dass es ein spezieller Fall einer teilweisen Funktion ist. Zum Beispiel, wenn sie die Operation der morphism Zusammensetzung in Konkreten Kategorien denkt, ist die Zusammensetzungsoperation eine Gesamtfunktion, wenn, und nur wenn ein Element hat. Der Grund dafür besteht darin, dass zwei morphisms und nur zusammengesetzt werden können, als ob, d. h. der codomain dessen dem Gebiet dessen gleichkommen muss.

Diskussion und Beispiele

Das erste Diagramm vertritt oben eine teilweise Funktion, die nicht eine Gesamtfunktion ist, da das Element 1 im linken Satz mit nichts im rechten Satz vereinigt wird.

Natürlicher Logarithmus

Denken Sie die natürliche Logarithmus-Funktion, die die reellen Zahlen zu sich kartografisch darstellt. Der Logarithmus eines nichtpositiven echten ist nicht eine reelle Zahl, so vereinigt die natürliche Logarithmus-Funktion keine reelle Zahl im codomain mit jeder nichtpositiven reellen Zahl im Gebiet. Deshalb ist die natürliche Logarithmus-Funktion nicht eine Gesamtfunktion, wenn angesehen, als eine Funktion vom reals bis sich, aber es ist eine teilweise Funktion. Wenn das Gebiet eingeschränkt wird, um nur den positiven reals einzuschließen (d. h. wenn die natürliche Logarithmus-Funktion als eine Funktion vom positiven reals bis den reals angesehen wird), dann ist der natürliche Logarithmus eine Gesamtfunktion.

Subtraktion von natürlichen Zahlen

Die Subtraktion von natürlichen Zahlen (natürliche Zahlen) kann als eine teilweise Funktion angesehen werden:

Es wird nur wenn definiert.

Typ Bottom

In einigen automatisierten Lehrsatz-Beweis-Systemen wird eine teilweise Funktion als das Zurückbringen des untersten Typs betrachtet, wenn es unbestimmt ist. Die Ähnlichkeit des Currys-Howard verwendet das, um Beweise und Computerprogramme zu einander kartografisch darzustellen.

In der Informatik entspricht eine teilweise Funktion einem Unterprogramm, das eine Ausnahme oder Schleifen für immer erhebt. Der IEEE, der Punkt-Standard schwimmen lässt, definiert einen Nicht-Zahl-Wert, der zurückgegeben wird, wenn eine Schwimmpunkt-Operation unbestimmt ist und Ausnahmen z.B unterdrückt werden, wenn die Quadratwurzel einer negativen Zahl gebeten wird.

Auf einer Programmiersprache, wo Funktionsrahmen statisch getippt werden, kann eine Funktion als eine teilweise Funktion definiert werden, weil das Typ-System der Sprache das genaue Gebiet der Funktion nicht ausdrücken kann, so gibt der Programmierer ihm stattdessen das kleinste Gebiet, das expressible als ein Typ ist und das wahre Gebiet enthält.

Siehe auch

• Bijektion
• Injective fungieren
• Surjective fungieren
• Mehrgeschätzte Funktion
• Symmetrische umgekehrte Halbgruppe
• Dicht definierter Maschinenbediener
• Martin Davis (1958), Berechenbarkeit und Unlösbarkeit, McGraw-Hill Book Company, Inc, New York. Neu veröffentlicht durch Dover 1982. Internationale Standardbuchnummer 0-486-61471-9.
• Stephen Kleene (1952), Einführung in die Meta-Mathematik, North-Holland Publishing Company, Amsterdam, die Niederlande, hat der 10. Druck mit Korrekturen 7. Druck (1974) hinzugefügt. Internationale Standardbuchnummer 0-7204-2103-9.
• Harold S. Stein (1972), Einführung in die Computerorganisation und Datenstrukturen, McGraw-Hill Book Company, New York.