Der Lagrangian, L, eines dynamischen Systems ist eine Funktion, die die Dynamik des Systems zusammenfasst. Es wird nach Joseph Louis Lagrange genannt. Das Konzept von Lagrangian wurde in einer neuen Darlegung der klassischen Mechanik vom irischen als Mechanik von Lagrangian bekannten Mathematiker William Rowan Hamilton ursprünglich eingeführt.

Definition

In der klassischen Mechanik wird Lagrangian als die kinetische Energie, T, vom System minus seine potenzielle Energie, V definiert. In Symbolen,

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Wenn Lagrangian eines Systems bekannt ist, dann können die Gleichungen der Bewegung des Systems durch einen direkten Ersatz des Ausdrucks für Lagrangian in die Euler-Lagrange Gleichung erhalten werden.

Die Lagrangian Formulierung

Einfaches Beispiel

Die Schussbahn eines geworfenen Balls wird durch die Summe der Werte von Lagrangian charakterisiert jedes Mal ein Minimum zu sein.

Der Lagrangian L kann in mehreren Momenten der Zeit t berechnet werden, und ein Graph von L gegen t kann gezogen werden. Das Gebiet unter der Kurve ist die Handlung. Jeder verschiedene Pfad zwischen den anfänglichen und endgültigen Positionen führt zu einer größeren Handlung als das, das durch die Natur gewählt ist. Natur wählt die kleinste Handlung - das ist der Grundsatz von Kleinster Handlung.

Mit nur den Grundsatz von Kleinster Handlung und Lagrangian können wir die richtige Schussbahn, durch die Probe und den Fehler oder die Rechnung von Schwankungen ableiten.

Wichtigkeit

Die Lagrangian Formulierung der Mechanik ist nicht nur für seine breiten Anwendungen, sondern auch für seine Rolle im Vorrücken des tiefen Verstehens der Physik wichtig. Obwohl sich Lagrange nur bemüht hat, klassische Mechanik zu beschreiben, wie man später anerkannte, war der Handlungsgrundsatz, der verwendet wird, um die Gleichung von Lagrange abzuleiten, auf die Quant-Mechanik ebenso anwendbar.

Physische Handlung und mit dem Quant mechanische Phase sind über die Konstante von Planck verbunden, und der Grundsatz der stationären Handlung kann in Bezug auf die konstruktive Einmischung von Welle-Funktionen verstanden werden.

Derselbe Grundsatz und der Formalismus von Lagrangian, werden nah an den Lehrsatz von Noether gebunden, der physische erhaltene Mengen mit dauerndem symmetries eines physischen Systems verbindet.

Mechanik von Lagrangian und der Lehrsatz von Noether geben zusammen einen natürlichen Formalismus für den ersten quantization durch das Umfassen von Umschaltern zwischen bestimmten Begriffen der Gleichungen von Lagrangian der Bewegung für ein physisches System nach.

Vorteile gegenüber anderen Methoden

• Die Formulierung wird an kein Koordinatensystem — eher gebunden, irgendwelche günstigen Variablen können verwendet werden, um das System zu beschreiben; diese Variablen werden "verallgemeinerte Koordinaten" genannt und können irgendwelche quantitativen Attribute des Systems sein (zum Beispiel, Kraft des magnetischen Feldes an einer besonderen Position; Winkel einer Rolle; Position einer Partikel im Raum; oder der Grad der Erregung eines besonderen eigenmode in einem komplizierten System), die Funktionen der unabhängigen Variable (N) sind. Dieser Charakterzug macht es leicht, Einschränkungen in eine Theorie durch das Definieren von Koordinaten zu vereinigen, die nur Staaten des Systems beschreiben, die die Einschränkungen befriedigen.
• Wenn Lagrangian invariant unter einer Symmetrie ist, dann sind die resultierenden Gleichungen der Bewegung auch invariant unter dieser Symmetrie. Diese Eigenschaft ist in der Vertretung sehr nützlich, dass Theorien entweder mit der speziellen Relativität oder mit allgemeinen Relativität im Einklang stehend sind.

Zyklische Koordinaten und Bewahrungsgesetze

Ein wichtiges Eigentum von Lagrangian besteht darin, dass Bewahrungsgesetze von davon leicht gelesen werden können. Zum Beispiel, wenn der Lagrangian L von q selbst, dann der verallgemeinerte Schwung nicht abhängt:

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ist eine erhaltene Menge wegen der Gleichungen von Lagrange:

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Es ist egal, wenn L von der Zeitableitung dieser verallgemeinerten Koordinate abhängt, da die Unabhängigkeit von Lagrangian der Koordinate immer die obengenannte Null der partiellen Ableitung macht. Das ist ein spezieller Fall des Lehrsatzes von Noether. Solche Koordinaten werden "zyklisch" oder "ignorable" genannt.

Zum Beispiel, die Bewahrung des verallgemeinerten Schwungs,

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sagen Sie, kann direkt gesehen werden, wenn Lagrangian des Systems von der Form ist

:

Außerdem, wenn die Zeit t, in L nicht erscheint, dann wird Hamiltonian erhalten. Das ist die Energiebewahrung, wenn die potenzielle Energie von Geschwindigkeit, als in der Elektrodynamik nicht abhängt.

Erklärung

Der Lagrangian in vielen klassischen Systemen ist eine Funktion von verallgemeinerten Koordinaten q und ihren Geschwindigkeiten dq/dt. Diese Koordinaten (und Geschwindigkeiten), sind in ihrer Umdrehung, parametrischen Funktionen der Zeit. In der klassischen Ansicht ist Zeit eine unabhängige Variable, und q (und dq/dt) sind abhängige Variablen, wie häufig in Phase-Raumerklärungen von Systemen gesehen wird. Dieser Formalismus wurde weiter verallgemeinert, um Feldtheorie zu behandeln. In der Feldtheorie wird die unabhängige Variable durch ein Ereignis in der Raum-Zeit (x, y, z, t), oder noch mehr allgemein durch einen Punkt s auf einer Sammelleitung ersetzt. Und die abhängigen Variablen q werden durch φ der Wert eines Feldes an diesem Punkt in der Raum-Zeit ersetzt, so dass die Gleichungen der Bewegung mittels eines Handlungsgrundsatzes erhalten, als schriftlich werden:

:

wo die Handlung eine funktionelle von den abhängigen Variablen φ (s) mit ihren Ableitungen und s selbst ist

:

und wo s = {s} den Satz von n unabhängigen Variablen des Systems anzeigt, das durch α = 1, 2, 3..., n mit einem Inhaltsverzeichnis versehen ist. Mitteilung L wird im Fall von einer unabhängiger Variable (t) verwendet und wird im Fall von vielfachen unabhängigen Variablen verwendet (gewöhnlich vier: x, y, z, t).

Die Gleichungen der bei dieser funktionellen Ableitung erhaltenen Bewegung sind die Euler-Lagrange Gleichungen dieser Handlung. Zum Beispiel, in der klassischen Mechanik von Partikeln, ist die einzige unabhängige Variable Zeit, t. So sind die Euler-Lagrange Gleichungen

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Dynamische Systeme, deren Gleichungen der Bewegung mittels eines Handlungsgrundsatzes auf angemessen gewähltem Lagrangian erreichbar sind, sind als Lagrangian dynamische Systeme bekannt. Beispiele von Lagrangian dynamische Systeme erstrecken sich von der klassischen Version des Standardmodells, zu den Gleichungen von Newton, zu rein mathematischen Problemen wie geodätische Gleichungen und das Problem des Plateaus.

Ein Beispiel von der klassischen Mechanik

Im rechteckigen Koordinatensystem

Nehmen Sie an, dass wir einen dreidimensionalen Raum und Lagrangian haben

:.

Dann ist die Euler-Lagrange Gleichung:

:

wo ich = 1, 2, 3.

Die Abstammungserträge:

:

:

</Mathematik>

:

Die Euler-Lagrange Gleichungen können deshalb als geschrieben werden:

:

wo die Zeitableitung herkömmlich als ein Punkt über der Menge geschrieben wird, die wird unterscheidet, und  der del Maschinenbediener ist.

Mit diesem Ergebnis kann es leicht gezeigt werden, dass die Annäherung von Lagrangian zur Newtonischen gleichwertig ist.

Wenn die Kraft in Bezug auf das Potenzial geschrieben wird; die resultierende Gleichung ist, der genau dieselbe Gleichung wie in einer Newtonischen Annäherung für einen unveränderlichen Massengegenstand ist.

Ein sehr ähnlicher Abzug gibt uns den Ausdruck, der das Zweite Gesetz des Newtons in seiner allgemeinen Form ist.

Im kugelförmigen Koordinatensystem

Nehmen Sie an, dass wir einen dreidimensionalen Raum mit kugelförmigen Koordinaten (r, θ, ϕ) mit Lagrangian haben

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Dann sind die Euler-Lagrange Gleichungen:

:::

Hier ist der Satz von Rahmen s gerade die Zeit t, und die dynamischen Variablen ϕ (s) sind die Schussbahnen der Partikel.

Trotz des Gebrauches von Standardvariablen wie x erlaubt Lagrangian den Gebrauch irgendwelcher Koordinaten, die nicht orthogonal zu sein brauchen. Diese werden Koordinaten "verallgemeinert".

Lagrangian einer Testpartikel

Eine Testpartikel ist eine Partikel, deren, wie man annimmt, Masse und Anklage so klein sind, dass seine Wirkung auf das Außensystem unbedeutend ist. Es ist häufig eine hypothetische vereinfachte Punkt-Partikel ohne Eigenschaften außer der Masse und Anklage. Echte Partikeln wie Elektronen und sind Quarke komplizierter und haben zusätzliche Begriffe in ihrem Lagrangians.

Klassische Testpartikel mit dem Newtonischen Ernst

Nehmen Sie an, dass uns eine Partikel mit der MassenM Kilogramme und Positionsmeter in einem Newtonischen Schwerkraft-Feld mit dem Potenzial ζ in J gegeben wird · Kg. Die Weltlinie der Partikel wird durch die Zeit t Sekunden parametrisiert. Die kinetische Energie der Partikel ist:

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und die potenzielle Gravitationsenergie der Partikel ist:

:

Dann ist sein Lagrangian L Joule wo

:

Sich im Integral (gleichwertig zur Euler-Lagrange Differenzialgleichung) ändernd, bekommen wir

::

Integrieren Sie den ersten Begriff durch Teile und verwerfen Sie das Gesamtintegral. Dann teilen Sie die Schwankung aus, um zu bekommen

:

und so

ist die Gleichung der Bewegung - zwei verschiedene Ausdrücke für die Kraft.

Spezielle relativistische Testpartikel mit dem Elektromagnetismus

In der speziellen Relativität muss die Form des Begriffes, der die Ableitung des Schwungs verursacht, geändert werden; es ist nicht mehr die kinetische Energie. Es wird:

::

(In der speziellen Relativität ist die Energie einer freien Testpartikel)

wo c die Vakuumgeschwindigkeit des Lichtes in der M ist · s, ist die richtige Zeit in Sekunden (d. h. Zeit, die durch eine Uhr gemessen ist, die sich mit der Partikel bewegt), und Der zweite Begriff in der Reihe ist gerade die klassische kinetische Energie. Nehmen Sie an, dass die Partikel elektrische Anklage q Ampere-Sekunden hat und in einem elektromagnetischen Feld mit dem Skalarpotenzial ϕ Volt ist (ein Volt ist ein Joule pro Ampere-Sekunde), und Vektor-Potenzial V · s · M Der Lagrangian einer speziellen relativistischen Testpartikel in einem elektromagnetischen Feld ist:

:

Das in Bezug auf ändernd, bekommen wir

:

- q \dot {\\vec {x}} [t] \cdot \nabla\vec [\vec {x} [t], t]

+ q \nabla {\\vec} [\vec {x} [t], t] \cdot \dot {\\vec {x}} [t]

</Mathematik>

der ist

:

+ q \dot {\\vec {x}} [t] \times \vec {B} [\vec {x} [t], t] </Mathematik>

der die Gleichung für die Kraft von Lorentz, wo ist:

::

sind die Felder und Potenziale.

Allgemeine relativistische Testpartikel

In der allgemeinen Relativität verallgemeinert der erste Begriff (schließt) sowohl die klassische kinetische Energie als auch Wechselwirkung mit dem Newtonischen Gravitationspotenzial (ein). Es wird:

::

Der Lagrangian einer allgemeinen relativistischen Testpartikel in einem elektromagnetischen Feld ist:

:

\frac {d x^ {\\Beta} [t]} {d t}} + q \frac {d x^ {\\Gamma} [t]} {d t} A_ {\\Gamma} [x [t]]. </Mathematik>

Wenn die vier Raum-Zeit-Koordinatenx in willkürlichen Einheiten (d. h. Einheit weniger), dann g in der M gegeben werden · s ist die Reihe 2 symmetrischer metrischer Tensor, der auch das Gravitationspotenzial ist. Außerdem in V · s ist das elektromagnetische 4-Vektoren-Potenzial. Bemerken Sie, dass ein Faktor von c mit der Quadratwurzel vereinigt worden ist, weil es die Entsprechung von ist

:

Bemerken Sie, dass dieser Begriff von der speziellen Relativität direkt verallgemeinert worden ist.

Lagrangians und Dichten von Lagrangian in der Feldtheorie

Die von Lagrangian integrierte Zeit wird die durch S angezeigte Handlung genannt. In der Feldtheorie wird eine Unterscheidung gelegentlich zwischen dem Lagrangian L gemacht, von denen die Handlung die integrierte Zeit ist:

:

und die Dichte von Lagrangian, die über die ganze Raum-Zeit integriert, um die Handlung zu bekommen:

:

Der Lagrangian ist dann das Raumintegral der Dichte von Lagrangian. Jedoch, wird auch oft einfach Lagrangian besonders im modernen Gebrauch genannt; es ist in relativistischen Theorien viel nützlicher, da es ein lokal definiertes, Skalarfeld von Lorentz ist. Beide Definitionen von Lagrangian können als spezielle Fälle der allgemeinen Form je nachdem gesehen werden, ob die Raumvariable in den Index i oder die Rahmen s in φ (s) vereinigt wird. Quant-Feldtheorien in der Partikel-Physik, wie Quant-Elektrodynamik, werden gewöhnlich in Bezug auf beschrieben, und die Begriffe in dieser Form von Lagrangian übersetzen schnell zu den im Auswerten von Diagrammen von Feynman verwendeten Regeln.

Ausgewählte Felder

Um mit der Abteilung auf Testpartikeln oben zu gehen, sind hier die Gleichungen für die Felder, in denen sie sich bewegen. Die Gleichungen gehören unten den Feldern, in denen die Testpartikeln, die über der Bewegung beschrieben sind, und die Berechnung jener Felder erlauben. Die Gleichungen werden Ihnen unten die Gleichungen der Bewegung einer Testpartikel im Feld nicht geben, aber werden Ihnen stattdessen das Potenzial (Feld) geben, das durch Mengen wie Masse veranlasst ist, oder Dichte an jedem Punkt beladen. Zum Beispiel, im Fall vom Newtonischen Ernst, gibt die über die Raum-Zeit integrierte Dichte von Lagrangian Ihnen eine Gleichung, die, wenn gelöst, tragen würde. Das, wenn eingesetzt, zurück in der Gleichung , der Gleichung von Lagrangian für die Testpartikel in einem Newtonischen Schwerefeld, gibt die Auskunft musste die Beschleunigung der Partikel berechnen.

Newtonischer Ernst

Der Lagrangian (Dichte) ist in J · Kg. Der Wechselwirkungsbegriff mζ wird durch einen Begriff ersetzt, der eine dauernde Massendichte μ im Kg einschließt · M. Das ist notwendig, weil das Verwenden einer Punkt-Quelle für ein Feld auf mathematische Schwierigkeiten hinauslaufen würde. Resultierender Lagrangian für das klassische Schwerefeld ist:

:

wo G in der M · Kg · s ist die Gravitationskonstante. Die Schwankung des Integrals in Bezug auf ζ gibt:

:

Integrieren Sie durch Teile und verwerfen Sie das Gesamtintegral. Dann teilen Sie durch δζ aus, um zu kommen:

:und so:

der das Gesetz von Gauss für den Ernst nachgibt.

Elektromagnetismus in der speziellen Relativität

Die Wechselwirkung nennt

:

werden durch Begriffe ersetzt, die eine dauernde Anklage-Dichte ρ in A einschließen · s · M und aktuelle Dichte in A · M. Resultierender Lagrangian für das elektromagnetische Feld ist:

:

Das in Bezug auf ϕ ändernd, bekommen wir

:

der das Gesetz von Gauss nachgibt.

Sich stattdessen in Bezug auf ändernd, bekommen wir

:

der das Gesetz von Ampère nachgibt.

Elektromagnetismus in der allgemeinen Relativität

Für Lagrangian des Ernstes in der allgemeinen Relativität, sieh Handlung von Einstein-Hilbert. Der Lagrangian des elektromagnetischen Feldes ist:

:

- {1 \over 4\mu_0} F_ {\\mu \nu} [x] F_ {\\Alpha \beta} [x] g^ {\\mu\alpha} [x] g^ {\\nu\beta} [x] \sqrt {\\frac {-1} {C^2} \mathrm {det} [g [x]]}. </Mathematik>

Wenn die vier Raum-Zeit-Koordinatenx in willkürlichen Einheiten, dann gegeben werden: in J · s ist Lagrangian, eine Skalardichte; in Ampere-Sekunden ist der Strom, eine Vektor-Dichte; und in V · s ist der elektromagnetische Tensor, ein kovarianter antisymmetrischer Tensor der Reihe zwei. Bemerken Sie, dass die Determinante unter dem Quadratwurzel-Zeichen auf die Matrix von Bestandteilen des kovarianten metrischen Tensor g angewandt wird, und g sein Gegenteil ist. Bemerken Sie, dass sich die Einheiten von Lagrangian geändert haben, weil wir darüber integrieren (x, x, x, x), die Einheit weniger aber nicht darüber sind (t, x, y, z), die Einheiten von s haben · M. Der elektromagnetische Feldtensor wird durch anti-symmetrizing die partielle Ableitung des elektromagnetischen Vektor-Potenzials gebildet; so ist es nicht eine unabhängige Variable. Die Quadratwurzel ist erforderlich, um diesen Begriff in eine Skalardichte statt gerade eines Skalars umzuwandeln, und auch die Änderung in den Einheiten der Variablen der Integration zu ersetzen. Der Faktor von (c) innerhalb der Quadratwurzel ist erforderlich, um es zu normalisieren, so dass die Quadratwurzel zu einer in der speziellen Relativität abnehmen wird (da die Determinante (c) in der speziellen Relativität ist).

Elektromagnetismus mit Differenzialformen

Mit Differenzialformen, der elektromagnetischen Handlung im Vakuum auf (pseudo-) kann Sammelleitung von Riemannian als (das Verwenden von natürlichen Einheiten, c = ε = 1) geschrieben werden

:

Hier, Standplätze für die elektromagnetische potenzielle 1 Form, und ist der 3-Formen-Strom. Bemerken Sie, dass Lagrangian genau dasselbe Ding wie im Paragrafen oben nur ist, dass die Behandlung hier koordinatenfrei ist; die Erweiterung des integrand in eine Basis gibt den identischen, langen Ausdruck nach. Die Erweiterung der in eine Basis integrierten Handlung gibt den langen Ausdruck von Lagrangian nach. Die Schwankung des Ausdrucks führt

zu:

Das sind die Gleichungen von Maxwell für das elektromagnetische Potenzial. Das Ersetzen F = dA gibt sofort die Gleichungen für die Felder, nach

::

Lagrangians in der Quant-Feldtheorie

Dirac Lagrangian

Die Lagrangian Dichte für ein Feld von Dirac ist:

:

wo ψ Dirac spinor (Vernichtungsmaschinenbediener) ist, sein Dirac adjoint (Entwicklungsmaschinenbediener) ist und Notation von Feynman dafür ist.

Quant electrodynamic Lagrangian

Die Lagrangian Dichte dafür ist QED:

:

wo der elektromagnetische Tensor ist, ist D das Maß kovariante Ableitung, und ist Notation von Feynman dafür.

Quant chromodynamic Lagrangian

Die Lagrangian Dichte für das Quant chromodynamics ist http://www.fuw.edu.pl/~dobaczew/maub-42w/node9.html http://smallsystems.isn-oldenburg.de/Docs/THEO3/publications/semiclassical.qcd.prep.pdf

http://www-zeus.physik.uni-bonn.de/~brock/teaching/jets_ws0405/seminar09/sluka_quark_gluon_jets.pdf: :

wo D das QCD-Maß kovariante Ableitung, ist

n = 1, 2... 6 Zählungen die Quark-Typen, und sind der gluon Feldkraft-Tensor.

Mathematischer Formalismus

Nehmen Sie an, dass wir eine N-Dimensional-Sammelleitung, M und eine Zielsammelleitung, T haben. Lassen Sie, der Konfigurationsraum von glatten Funktionen von der M bis T zu sein.

Beispiele

• In der klassischen Mechanik, im Formalismus von Hamiltonian, ist M die eindimensionale Sammelleitung, Zeit vertretend, und der Zielraum ist das Kotangens-Bündel des Raums von verallgemeinerten Positionen.
• In der Feldtheorie ist M die Raum-Zeit-Sammelleitung, und der Zielraum ist der Satz von Werten, die die Felder an jedem gegebenen Punkt nehmen können. Zum Beispiel, wenn es M reellwertige Skalarfelder, ϕ..., ϕ gibt, dann ist die Zielsammelleitung. Wenn das Feld ein echtes Vektorfeld ist, dann ist die Zielsammelleitung dazu isomorph. Es gibt wirklich eine viel elegantere Weise, Tangente-Bündel über die M zu verwenden, aber wir werden gerade bei dieser Version bleiben.

Mathematische Entwicklung

Denken Sie einen funktionellen,

:

genannt die Handlung. Physische Gründe beschließen, dass es ist zu, nicht (Satz von komplexen Zahlen) kartografisch darzustellen.

In der Größenordnung von der Handlung, um lokal zu sein, brauchen wir zusätzliche Beschränkungen der Handlung. Wenn wir annehmen, ist das Integral über die M einer Funktion von ϕ, seine Ableitungen und die Position haben Lagrangian genannt. Mit anderen Worten,

:

Es wird unten außerdem angenommen, der Lagrangian nur vom Feldwert und seiner ersten Ableitung, aber nicht den höheren Ableitungen abhängt.

Gegebene Grenzbedingungen grundsätzlich befriedigt eine Spezifizierung des Werts von ϕ an der Grenze, wenn M kompakt ist oder etwas Grenze auf ϕ als x   (wird das im Tun der Integration durch Teile helfen), dem Subraum, aus Funktionen, ϕ solch zu bestehen, dass alle funktionellen Ableitungen von S an ϕ Null und ϕ sind die gegebenen Grenzbedingungen ist der Subraum auf Schale-Lösungen.

Die Lösung wird durch die Euler-Lagrange Gleichungen (dank der Grenzbedingungen), gegeben

:

\left (\frac {\\partial\mathcal {L}} {\\teilweise (\partial_\mu\varphi) }\\Recht) + \frac {\\partial\mathcal {L}} {\\partial\varphi} =0. </math>

Die linke Seite ist die funktionelle Ableitung der Handlung in Bezug auf ϕ.

Siehe auch

• Rechnung von Schwankungen
• Kovariante klassische Feldtheorie
• Gleichungen von Einstein-Maxwell-Dirac
• Funktionelle Ableitung
• Funktioneller integrierter
• Verallgemeinerte Koordinaten
• Mechanik von Hamiltonian
• Lagrangian und Eulerian koordinieren
• Euler-Lagrange Gleichung
• Mechanik von Lagrangian
• Lagrangian spitzen an
• System von Lagrangian
• Der Lehrsatz von Noether
• Grundsatz von kleinster Handlung
• Skalarfeldtheorie

Referenzen

• Christoph Schiller (2005), Globale Beschreibungen der Bewegung: die Einfachheit der Kompliziertheit, Bewegungsberg
• David Tong Klassische Dynamik (Vortrag-Zeichen von Cambridge)