In der mathematischen Analyse stellt die Ungleichheit von Minkowski fest, dass die L Räume normed Vektorräume sind. Lassen Sie S ein Maß-Raum sein, 1  p   lassen und f lassen, und g, Elemente von L (S). Then f + sein, ist g in L (S), und wir haben die Dreieck-Ungleichheit

:

mit der Gleichheit für 1 g für einen  0. Hier wird durch die Norm gegeben:

wenn p

Die Ungleichheit von Minkowski ist die Dreieck-Ungleichheit in L (S). Tatsächlich ist es ein spezieller Fall der allgemeineren Tatsache

wo es leicht ist zu sehen, dass die Rechte die Dreiecksungleichheit befriedigt.

Wie die Ungleichheit von Hölder kann die Ungleichheit von Minkowski zu Folgen und Vektoren durch das Verwenden des Zählen-Maßes spezialisiert werden:

für alle echt (oder Komplex) Zahlen x..., x, y..., y, und wo n der cardinality von S (die Zahl der Elemente in S) ist.

Beweis

Erstens beweisen wir, dass f+g begrenzte P-Norm hat, wenn f und g beide tun, der durch folgt

Tatsächlich hier verwenden wir die Tatsache, die über (für den größeren konvex ist als ein) und so, wenn a und b beide dann, durch die Ungleichheit von Jensen, positiv

Das bedeutet das

Jetzt können wir darüber legitim sprechen. Wenn es Null ist, dann hält die Ungleichheit von Minkowski. Wir nehmen jetzt an, dass das nicht Null ist. Das Verwenden der Ungleichheit von Hölder

Wir erhalten die Ungleichheit von Minkowski, indem wir beide Seiten mit multiplizieren

Die integrierte Ungleichheit von Minkowski

Nehmen Sie an, dass (S, μ) und (S, μ) zwei Maß-Räume und F sind: S×S  ist R messbar. Dann ist die integrierte Ungleichheit von Minkowski:

mit offensichtlichen Modifizierungen im Fall p = . Wenn p> 1, und beide Seiten begrenzt sind, dann hält Gleichheit nur wenn |F (x, y) | = φ (x) ψ (y) a.e. für einige nichtnegative messbare Funktionen φ und ψ.

Wenn μ das Zählen-Maß auf einem Zwei-Punkte-Satz S = {1,2} ist, dann gibt die integrierte Ungleichheit von Minkowski die übliche Ungleichheit von Minkowski als ein spezieller Fall: Um &fnof zu stellen; (y) = F (ich, y), weil ich = 1,2 die integrierte Ungleichheit gibt

:

\begin {richten }\aus

\|f_1 + f_2 \| _ p &= \left [\int_ {S_2 }\\hat |\int_ {S_1} F (x, y) \, d\mu_1 (x) \right |^pd\mu_2 (y) \right] ^ {1/p} \\verlassen

&\\le\int_ {S_1 }\\ist (\int_ {S_2} |F (x, y) | ^p \, d\mu_2 (y) \right) ^ {1/p} d\mu_1 (x) \\abgereist

&= \| f_1 \| _ p + \|f_2 \| _ p.

\end {richten} </Mathematik> {aus}

Siehe auch

• Die Ungleichheit von Mahler
• Die Ungleichheit von Hölder
• .
• .