In der Mathematik, die Lüge-Ableitung , genannt nachdem Liegen Sophus durch Władysław Ślebodziński, bewertet die Änderung eines Vektorfeldes oder mehr allgemein eines Tensor-Feldes entlang dem Fluss eines anderen Vektorfeldes. Diese Änderung ist Koordinate invariant, und deshalb wird die Lüge-Ableitung auf jeder Differentiable-Sammelleitung definiert.

Die Lüge-Ableitung entlang einem Vektorfeld ist die Einschätzung des Vektorfeldes auf Funktionen, und ist eine Abstammung auf der Algebra von Tensor-Feldern über eine mannigfaltige M. Es pendelt auch mit der Zusammenziehung und der Außenableitung auf Differenzialformen. Das bestimmt einzigartig die Lüge-Ableitung, und hieraus folgt dass für Vektorfelder die Lüge-Ableitung der Umschalter ist

:

Es zeigt auch, dass die Lüge-Ableitungen auf der M eine unendlich-dimensionale Lüge-Algebra-Darstellung der Lüge-Algebra von Vektorfeldern mit der Lüge-Klammer sind, die durch den Umschalter, definiert ist

:.

Vektorfelder als unendlich kleine Generatoren von Flüssen (aktiver diffeomorphisms) auf der M betrachtend, sind die Lüge-Ableitungen die unendlich kleine Darstellung der Darstellung der diffeomorphism Gruppe auf Tensor-Feldern, analog, um Algebra-Darstellungen als unendlich kleine Darstellungen Zu liegen, die vereinigt sind, um Darstellung in der Lüge-Gruppentheorie zu gruppieren.

Verallgemeinerungen bestehen für spinor Felder, Faser-Bündel mit der Verbindung und dem Vektoren haben Differenzialformen geschätzt.

Definition

Die Lüge-Ableitung kann auf mehrere gleichwertige Weisen definiert werden. In dieser Abteilung, um Dinge einfach zu halten, beginnen wir, indem wir das Lüge-Ableitungsfolgen Skalarfunktionen und Vektorfeldern definieren. Die Lüge-Ableitung kann auch definiert werden, um allgemeinem Tensor, wie entwickelt, später im Artikel zu folgen.

Die Lüge-Ableitung einer Funktion

Es gibt mehrere gleichwertige Definitionen einer Lüge-Ableitung einer Funktion.

• Die Lüge-Ableitung kann in Bezug auf die Definition von Vektorfeldern als die ersten Ordnungsdifferenzialoperatoren definiert werden. In Anbetracht einer Funktion und eines Vektorfeldes X definiert auf der M ist die Lüge-Ableitung eines Funktions-ƒ entlang einem Vektorfeld einfach die Anwendung des Vektorfeldes. Es kann als die Richtungsableitung von f vorwärts X interpretiert werden. Folglich an einem Punkt haben wir

::.

:By die Definition des Differenzials einer Funktion auf der M die Definition kann auch als geschrieben werden

::.

:Choosing lokale Koordinaten x und das Schreiben: wo, einer lokalen Basis Vektoren für das Tangente-Bündel zu sein, wir lokal haben

::.

:Likewise ist die 1 Form, die lokal dadurch gegeben ist. der einbezieht

::

:recovering die ursprüngliche Definition.

• Wechselweise kann die Lüge-Ableitung als definiert werden

::

:where ist eine Kurve auf der solcher M dass

::

:for das glatte Vektorfeld X auf der M damit. Die Existenz von Lösungen dieser ersten Ordnung, die gewöhnliche Differenzialgleichung durch den Picard-Lindelöf Lehrsatz gegeben wird (mehr allgemein wird die Existenz solcher Kurven durch den Lehrsatz von Frobenius gegeben).

Die Lüge-Ableitung eines Vektorfeldes

Die Lüge-Ableitung kann für Vektorfelder durch das erste Definieren der Lüge-Klammer eines Paares von Vektorfeldern X und Y definiert werden. Es gibt mehrere Annäherungen an das Definieren der Lüge-Klammer, von denen alle gleichwertig sind. Unabhängig von der gewählten Definition definiert man dann die Lüge-Ableitung des Vektorfeldes Y, um der Lüge-Klammer X und Y, d. h. gleich

zu sein:.

Andere gleichwertige Definitionen sind (hier, ist die Fluss-Transformation und d der Tangente-Karte-Ableitungsmaschinenbediener):

:

:

Die Lüge-Ableitung von Differenzialformen

Die Lüge-Ableitung kann auch auf Differenzialformen definiert werden. In diesem Zusammenhang ist es nah mit der Außenableitung verbunden. Sowohl die Lüge-Ableitung als auch die Außenableitung versuchen, die Idee von einer Ableitung unterschiedlich zu gewinnen. Diese Unterschiede können durch das Einführen der Idee von einer Antiabstammung oder gleichwertig einem Innenprodukt überbrückt werden, nach dem die Beziehungen als eine Reihe der Identität ausfallen.

Lassen Sie M eine Sammelleitung und X ein Vektorfeld auf der M sein. Lassen Sie, k+1-form zu sein. Das Innenprodukt X und ω ist

:

Bemerken Sie das

:

und das ist ein-antiderivation. D. h. ist R-linear und

:

(i_X \omega) \wedge \eta + (-1) ^k \omega \wedge (i_X \eta) </Mathematik>

für und η eine andere Differenzialform. Außerdem für eine Funktion, die eine echte oder Komplex-geschätzte Funktion auf der M ist, hat man

:

Die Beziehung zwischen Außenableitungen und Liegt Ableitungen können dann wie folgt zusammengefasst werden. Für eine gewöhnliche Funktion f ist die Lüge-Ableitung gerade die Zusammenziehung der Außenableitung mit dem Vektorfeld X:

:

Für eine allgemeine Differenzialform ist die Lüge-Ableitung ebenfalls eine Zusammenziehung, die Schwankung in X in Betracht ziehend:

:.

Diese Identität ist verschiedenartig als die "Formel von Cartan" oder "die magische Formel von Cartan," bekannt und zeigt insbesondere dass:

:.

Die Ableitung von Produkten wird verteilt:

:

f\mathcal {L} _X\omega + df \wedge i_X \omega </Mathematik>

Eigenschaften

Die Lüge-Ableitung hat mehrere Eigenschaften. Lassen Sie, die Algebra von auf der mannigfaltigen M definierten Funktionen zu sein. Dann

:

ist eine Abstammung auf der Algebra. Das, ist

ist R-linear und

:.

Ähnlich ist es eine Abstammung darauf, wo der Satz von Vektorfeldern auf der M ist:

:

der auch in der gleichwertigen Notation geschrieben werden kann

:

(\mathcal {L} _Xf) \otimes Y + f\otimes \mathcal {L} _X Y </Mathematik>

wo das Tensor-Produktsymbol verwendet wird, um die Tatsache zu betonen, dass das Produkt einer Funktion Zeiten ein Vektorfeld die komplette Sammelleitung übernommen wird.

Zusätzliche Eigenschaften sind mit dieser der Lüge-Klammer im Einklang stehend. So, zum Beispiel, betrachtet als eine Abstammung auf einem Vektorfeld,

:

man findet, dass das obengenannte gerade die Identität von Jacobi ist. So hat man das wichtige Ergebnis, dass der Raum von Vektorfeldern über die M, ausgestattet mit der Lüge-Klammer, eine Lüge-Algebra bildet.

Die Lüge-Ableitung hat auch wichtige Eigenschaften, wenn sie Differenzialformen folgt. Lassen Sie α und β zwei Differenzialformen auf der M sein, und X und Y zwei Vektorfelder sein zu lassen. Dann

\mathcal {L} _X\mathcal {L} _Y\alpha-\mathcal {L} _Y\mathcal {L} _X\alpha =\mathcal {L} _ {[X, Y] }\\Alpha </Mathematik>

• wo ich Innenprodukt anzeige, das oben definiert ist, und es ob [klar ist.] zeigt den Umschalter oder die Lüge-Klammer von Vektorfeldern an.

Lügen Sie Ableitung von Tensor-Feldern

Mehr allgemein, wenn wir einen differentiable Tensor Feld T der Reihe und eines differentiable Vektorfeldes Y haben (d. h. eine differentiable Abteilung der Tangente TM stopfen), dann können wir die Lüge-Ableitung von T entlang Y definieren. Lassen Sie :M&times;RM die Ein-Parameter-Halbgruppe von lokalem diffeomorphisms der M veranlasst durch den Vektor-Fluss von Y sein und φ (p) anzeigen: = φ (p, t). Für jeden genug kleinen t ist φ ein diffeomorphism von einer Nachbarschaft in der M zu einer anderen Nachbarschaft in der M, und φ ist die Identität diffeomorphism. Die Lüge-Ableitung von T wird an einem Punkt p durch definiert

:.

wo der pushforward entlang dem diffeomorphism ist und das Hemmnis entlang dem diffeomorphism ist. Intuitiv, wenn Sie ein Tensor-Feld und ein Vektorfeld Y haben, dann ist die unendlich kleine Änderung, die Sie sehen würden, wenn Sie das Verwenden des Vektorfeldes-Y überfluten, der dasselbe Ding wie die unendlich kleine Änderung ist, die Sie darin sehen würden, wenn Sie selbst entlang dem Vektorfeld Y. flössen

Wir geben jetzt eine algebraische Definition. Die algebraische Definition für die Lüge-Ableitung eines Tensor-Feldes folgt aus den folgenden vier Axiomen:

:Axiom 1. Die Lüge-Ableitung einer Funktion ist die Richtungsableitung der Funktion. So, wenn f eine echte geschätzte Funktion auf der M, dann ist

::

:Axiom 2. Die Lüge-Ableitung folgt der Regierung von Leibniz. Für irgendwelche Tensor-Felder S und T haben wir

::

:Axiom 3. Die Lüge-Ableitung folgt der Regierung von Leibniz in Bezug auf die Zusammenziehung

::

:Axiom 4. Die Lüge-Ableitung pendelt mit der Außenableitung auf Funktionen

::

Einnahme der Lüge-Ableitung der Beziehung zeigt dann leicht dem

dass die Lüge-Ableitung eines Vektorfeldes die Lüge-Klammer ist. So, wenn X ein Vektorfeld ist, hat man

::

Die Lüge-Ableitung einer Differenzialform ist der Antiumschalter des Innenproduktes mit der Außenableitung. So, wenn α eine Differenzialform, ist

::

Das folgt leicht durch die Überprüfung, dass der Ausdruck mit der Außenableitung pendelt, eine Abstammung ist (ein Antiumschalter von abgestuften Abstammungen seiend), und die richtige Sache auf Funktionen macht.

Lassen Sie ausführlich T ein Tensor-Feld des Typs (p, q) sein. Denken Sie, dass T, um eine differentiable mehrgeradlinige Karte von glatten Abteilungen α, α..., α des Kotangens zu sein, T*M und Abschnitte X, X stopfen... X der Tangente stopfen TM, schriftlichen T (α, α..., X, X...) in R. Definieren Sie die Lüge-Ableitung von T entlang Y durch die Formel

:

::

- T (\alpha_1, \mathcal {L} _Y\alpha_2, \ldots, X_1, X_2, \ldots)-\ldots </Mathematik>

::

- T (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, X_1, \mathcal {L} _YX_2, \ldots) - \ldots

</Mathematik>Wie man

beweisen kann, sind die analytischen und algebraischen Definitionen das gleichwertige Verwenden der Eigenschaften des pushforward und der Regierung von Leibniz für die Unterscheidung. Bemerken Sie auch, dass die Lüge-Ableitung mit der Zusammenziehung pendelt.

Koordinatenausdrücke

In der lokalen Koordinatennotation, für einen Typ (r, s) Tensor-Feld, ist die Lüge-Ableitung vorwärts

:::</Mathematik>

hier bedeutet die Notation, die partielle Ableitung in Bezug auf die Koordinate zu nehmen. Wechselweise, wenn wir eine Verbindung ohne Verdrehungen verwenden (z.B die Verbindung von Levi Civita), dann kann die partielle Ableitung durch die kovariante Ableitung ersetzt werden.

Die Lüge-Ableitung eines Tensor ist ein anderer Tensor desselben Typs, d. h. wenn auch die individuellen Begriffe im Ausdruck von der Wahl des Koordinatensystems abhängen, läuft der Ausdruck als Ganzes auf einen Tensor hinaus

::

der jedes Koordinatensystems unabhängig ist.

Die Definition kann weiter zu Tensor-Dichten des Gewichts w für jeden echten w erweitert werden. Wenn T solch eine Tensor-Dichte ist, dann ist seine Lüge-Ableitung eine Tensor-Dichte desselben Typs und Gewichts.

:::</Mathematik>

Bemerken Sie den neuen Begriff am Ende des Ausdrucks.

Generalisationen

Verschiedene Generalisationen der Lüge-Ableitung spielen eine wichtige Rolle in der Differenzialgeometrie.

Die Lüge-Ableitung eines spinor Feldes

Eine Definition für Lüge-Ableitungen von spinors entlang

allgemeine Raum-Zeit-Vektorfelder, nicht notwendigerweise auf einer allgemeinen (pseudo)-Sammelleitung von Riemannian Tötend, waren

bereits vorgeschlagen 1972 von Yvette Kosmann. Später wurde es zur Verfügung gestellt

ein geometrisches Fachwerk, das ihre Ad-Hoc-Vorschrift innerhalb des allgemeinen Fachwerks von rechtfertigt

Lügen Sie Ableitungen auf Faser-Bündeln im ausführlichen Zusammenhang des Maßes natürliche Bündel

die sich erweisen, die passendste Arena für (mit dem Maß kovariante) Feldtheorien zu sein.

In einer gegebenen Drehungssammelleitung, die in einer Sammelleitung von Riemannian das Zulassen ist

eine Drehungsstruktur, die Lüge-Ableitung eines spinor Feldes kann definiert werden

durch das erste Definieren davon in Bezug auf

unendlich kleine Isometrien (Vektorfelder tötend), über den lokalen 1963 gegebenen Ausdruck von André Lichnerowicz:

:

- \frac14\nabla_ {ein} X_ {b }\

\gamma^ {ein }\\, \gamma^ {b }\\psi \, </Mathematik>

wo,

wie angenommen wird, ein Tötungsvektorfeld und zu sein

sind Dirac matrices.

Es ist dann möglich, die Definition von Lichnerowicz zu allen Vektorfeldern (allgemeine unendlich kleine Transformationen) zu erweitern

durch das Behalten des lokalen Ausdrucks von Lichnerowicz für ein allgemeines Vektorfeld, aber ausführlich die Einnahme

der antisymmetrische Teil nur.

Ausführlicher ist der lokale 1972 gegebene Ausdruck von Kosmann:

:

- \frac18\nabla_ {[} X_ {b] }\

[\gamma^, \gamma^ {b}] \psi \, = \nabla_X \psi - \frac14 (d X^\\Wohnung) \cdot \psi \, </Mathematik>

wo der Umschalter ist, Außenableitung ist, die 1 Doppelform entsprechend unter dem metrischen (d. h. mit gesenkten Indizes) ist und Multiplikation von Clifford ist.

Es lohnt sich zu bemerken, dass die spinor Liegen, ist Ableitung des metrischen, und folglich die Verbindung unabhängig. Das ist von der Rechte des lokalen Ausdrucks von Kosmann nicht offensichtlich, weil die Rechte scheint, vom metrischen durch die Drehungsverbindung (kovariante Ableitung), der dualisation von Vektorfeldern (das Senken der Indizes) und die Multiplikation von Clifford auf dem Spinor-Bündel abzuhängen. Solcher ist nicht der Fall: Die Mengen auf der rechten Seite der lokalen Ausdruck-Vereinigung von Kosmann, um alle metrisch und Verbindungsabhängiger-Begriffe zu machen, annullieren.

Um ein besseres Verstehen des lange diskutierten Konzepts der Lüge-Ableitung von spinor Feldern, zu gewinnen sieh und der ursprüngliche Artikel, wo die Definition einer Lüge-Ableitung von spinor

Felder werden ins allgemeinere Fachwerk der Theorie von Lüge-Ableitungen gelegt

Abteilungen der Faser macht sich davon und die direkte Annäherung durch Y. Kosmann zum spinor

Fall wird verallgemeinert, um natürliche Bündel in der Form eines neuen geometrischen Konzepts zu messen

genannt das Heben von Kosmann.

Kovariante Lüge-Ableitung

Wenn wir ein Hauptbündel über die mannigfaltige M mit G als die Struktur-Gruppe haben, und wir X aufpicken, um ein kovariantes Vektorfeld als Abteilung des Tangente-Raums des Hauptbündels zu sein (d. h. es horizontale und vertikale Bestandteile hat), dann ist die kovariante Lüge-Ableitung gerade die Lüge-Ableitung in Bezug auf X über das Hauptbündel.

Jetzt, wenn uns ein Vektorfeld Y über die M gegeben wird (aber nicht das Hauptbündel), aber wir haben auch eine Verbindung über das Hauptbündel, können wir ein Vektorfeld X über das solches Hauptbündel definieren, dass sein horizontaler Bestandteil Y vergleicht und sein vertikaler Bestandteil mit der Verbindung übereinstimmt. Das ist die kovariante Lüge-Ableitung.

Sieh Verbindung sich für mehr Details formen.

Nijenhuis-lügen Sie Ableitung

Eine andere Generalisation, wegen Albert Nijenhuis, erlaubt, die Lüge-Ableitung einer Differenzialform entlang jeder Abteilung des Bündels Ω (M, TM) von Differenzialformen mit Werten im Tangente-Bündel zu definieren. Wenn K  Ω (M, TM) und α eine DifferenzialP-Form ist, dann ist es möglich, das Innenprodukt iα von K und α zu definieren. Die Nijenhuis-Lüge-Ableitung ist dann der Antiumschalter des Innenproduktes und der Außenableitung:

:

Geschichte

1931 hat Władysław Ślebodziński einen neuen Differenzialoperatoren eingeführt, der später von David van Dantzig diese der Lüge-Abstammung genannt ist, die auf Skalare, Vektoren, Tensor und affine Verbindungen angewandt werden kann, und die sich erwiesen hat, ein starkes Instrument in der Studie von Gruppen von automorphisms zu sein.

Die Lüge-Ableitungen von allgemeinen geometrischen Gegenständen (d. h., Abteilungsniederfrequenz natürliche Faser-Bündel) wurden durch A studiert.

Nijenhuis, Y. Tashiro und K. Yano.

Seit einer ziemlich langen Zeit hatten Physiker verwendet Liegen Ableitungen, ohne Verweisung

zur Arbeit von Mathematikern. 1940, Léon Rosenfeld — und vor ihm Wolfgang Pauli — hat eingeführt, was er eine 'lokale Schwankung' eines geometrischen Gegenstands veranlasst durch eine unendlich kleine Transformation von durch ein Vektorfeld erzeugten Koordinaten genannt hat. Man kann leicht beweisen, dass sein ist.

Siehe auch

• Kovariante Ableitung
• Verbindung (Mathematik)
• Frölicher-Nijenhuis Klammer
• Geodätischer
• Tötung des Feldes

Referenzen

• Ralph Abraham und Jerrold E. Marsden, Fundamente der Mechanik, (1978) Benjamin-Cummings, Londoner internationale Standardbuchnummer 0 8053 0102 X Sehen Abschnitt 2.2.
• David Bleecker, Maß-Theorie und Abweichende Grundsätze, (1981), Addison-Wesley Publishing, internationale Standardbuchnummer 0-201-10096-7. Sieh Kapitel 0.
• Jurgen Jost, Riemannian Geometrie und Geometrische Analyse, (2002) Springer-Verlag, Berliner internationale Standardbuchnummer 3-540-42627-2 Sehen Abschnitt 1.6.

• Umfassende Diskussion von Lüge-Klammern und die allgemeine Theorie von Lüge-Ableitungen.

• Für Generalisationen zu unendlichen Dimensionen.

Für Generalisationen zu unendlichen Dimensionen.

• Klassische Annäherung mit Koordinaten.