Die Geometrization-Vermutung von Thurston stellt fest, dass kompakte 3 Sammelleitungen kanonisch in Subsammelleitungen zersetzt werden können, die geometrische Strukturen haben. Die Geometrization-Vermutung ist eine Entsprechung für 3 Sammelleitungen des uniformization Lehrsatzes für Oberflächen. Es wurde dadurch vorgeschlagen, und bezieht mehrere andere Vermutungen, wie die Vermutung von Poincaré und die Elliptization-Vermutung von Thurston ein.

Der hyperbolization Lehrsatz von Thurston deutet an, dass Sammelleitungen von Haken die Geometrization-Vermutung befriedigen. Thurston hat einen Beweis in den 1980er Jahren bekannt gegeben, und seitdem sind mehrere ganze Beweise im Druck erschienen.

Grigori Perelman hat einen Beweis der vollen Geometrization-Vermutung 2003 mit dem Fluss von Ricci mit der Chirurgie skizziert.

Es gibt jetzt vier verschiedene Manuskripte (sieh unten) mit Details des Beweises. Die Poincaré-Vermutung und die kugelförmige Raumform-Vermutung sind Folgeerscheinungen der Geometrization-Vermutung, obwohl es kürzere Beweise vom ersteren gibt, die zur Geometrization-Vermutung nicht führen.

Die Vermutung

Ein 3-Sammelleitungen-wird geschlossen genannt, wenn es kompakt ist und keine Grenze hat.

Jeder geschlossene 3-Sammelleitungen-hat eine Hauptzergliederung: Das bedeutet, dass es die verbundene Summe von ersten drei Sammelleitungen ist (diese Zergliederung ist abgesehen von einem kleinen Problem im Fall von Non-Orientable-Sammelleitungen im Wesentlichen einzigartig). Das reduziert viel von der Studie von 3 Sammelleitungen zum Fall von ersten 3 Sammelleitungen: Diejenigen, die als eine nichttriviale verbundene Summe nicht geschrieben werden können.

Hier ist eine Behauptung der Vermutung von Thurston:

:Every hat erst orientiert hat 3-Sammelleitungen-geschlossen kann entlang Ringen geschnitten werden, so dass das Interieur von jeder der resultierenden Sammelleitungen eine geometrische Struktur mit dem begrenzten Volumen hat.

Es gibt 8 mögliche geometrische Strukturen in 3 Dimensionen, die in der folgenden Abteilung beschrieben sind.

Es gibt eine einzigartige minimale Weise zu schneiden ein nicht zu vereinfachender hat 3-Sammelleitungen-entlang Ringen in Stücke orientiert, die Sammelleitungen von Seifert sind oder atoroidal die JSJ Zergliederung genannt hat, die nicht ganz dasselbe als die Zergliederung in der Geometrization-Vermutung ist, weil einige der Stücke in der JSJ Zergliederung begrenztes Volumen geometrische Strukturen nicht haben könnten. (Zum Beispiel hat der kartografisch darstellende Ring einer Karte von Anosov eines Rings eine begrenzte Volumen-Sol-Struktur, aber seine JSJ Zergliederung schneidet ihn offen entlang einem Ring, um ein Produkt eines Rings und eines Einheitszwischenraums zu erzeugen, und das Interieur davon hat kein begrenztes Volumen geometrische Struktur.)

Für nichtorientierte Sammelleitungen soll die leichteste Weise, eine Geometrization-Vermutung festzusetzen, zuerst den orientierten doppelten Deckel nehmen. Es ist auch möglich, direkt mit Non-Orientable-Sammelleitungen zu arbeiten, aber das gibt einige Extrakomplikationen: Es kann notwendig sein, entlang projektiven Flugzeugen und Flaschen von Klein sowie Bereichen und Ringen zu schneiden, und Sammelleitungen mit einem projektiven Flugzeug-Grenzbestandteil haben gewöhnlich keine geometrische Struktur, so gibt das eine geringe Extrakomplikation.

In 2 Dimensionen sagt die analoge Behauptung, dass jede Oberfläche (ohne Grenze) eine geometrische Struktur hat, die aus einem metrischen mit der unveränderlichen Krümmung besteht; es ist nicht notwendig, die Sammelleitung zuerst zu schneiden.

Die acht Geometrie von Thurston

Eine Mustergeometrie ist eine einfach verbundene glatte Sammelleitung X zusammen mit einer transitiven Handlung einer Lüge-Gruppe G auf X mit Kompaktausgleichern.

Eine Mustergeometrie wird maximal wenn genannt

G ist unter Gruppen maximal, die glatt und transitiv auf X mit Kompaktausgleichern handeln. Manchmal wird diese Bedingung in die Definition einer Mustergeometrie eingeschlossen.

Eine geometrische Struktur auf einer mannigfaltigen M ist ein diffeomorphism von der M bis X/Γ für etwas Mustergeometrie X, wo Γ eine getrennte Untergruppe von G ist, der frei auf X handelt. Wenn eine gegebene Sammelleitung eine geometrische Struktur zulässt, dann lässt sie denjenigen zu, dessen Modell maximal ist.

Eine 3-dimensionale Mustergeometrie X ist für die Geometrization-Vermutung wichtig, wenn es maximal ist, und wenn es mindestens eine Kompaktsammelleitung mit einer geometrischen auf X. Thurston modellierten Struktur gibt, hat die 8 Mustergeometrie klassifiziert, die diese Bedingungen befriedigt; sie werden unten verzeichnet und werden manchmal Geometrie von Thurston genannt. (Es gibt auch unzählbar viele Mustergeometrie ohne Kompaktquotienten.)

Es gibt etwas Verbindung mit den Gruppen von Bianchi: die 3-dimensionalen Lüge-Gruppen. Der grösste Teil der Thurston Geometrie kann als ein linker invariant metrischer auf einer Gruppe von Bianchi begriffen werden. Jedoch S×R kann nicht sein, Euklidischer Raum entspricht zwei verschiedenen Gruppen von Bianchi, und es gibt eine unzählbare Zahl von lösbaren non-unimodular Gruppen von Bianchi, von denen die meisten Mustergeometrie ohne Kompaktvertreter geben.

Sphärische Geometrie S

Der Punkt-Ausgleicher ist O(R), und die Gruppe G ist die 6-dimensionale Lüge-Gruppe O(R) mit 2 Bestandteilen. Die entsprechenden Sammelleitungen sind genau die geschlossenen 3 Sammelleitungen mit der begrenzten grundsätzlichen Gruppe. Beispiele schließen den 3-Bereiche-, den Homologie-Bereich von Poincaré, die Linse-Räume ein.

Diese Geometrie kann als ein linker invariant metrischer auf der Gruppe von Bianchi des Typs IX modelliert werden.

Sammelleitungen mit dieser Geometrie sind alle, orientable kompakt, und haben die Struktur eines Faser-Raums von Seifert (häufig auf mehrere Weisen). Die ganze Liste solcher Sammelleitungen wird im Artikel über Kugelförmige 3 Sammelleitungen gegeben.

Unter Ricci überfluten Sammelleitungen mit diesem Geometrie-Zusammenbruch zu einem Punkt in der endlichen Zeit.

Euklidische Geometrie E

Der Punkt-Ausgleicher ist O(R), und die Gruppe G ist die 6-dimensionale Lüge-Gruppe R.O(R) mit 2 Bestandteilen. Beispiele sind der 3-Ringe-, und mehr allgemein der

Ring kartografisch darzustellen

einer begrenzten Ordnung automorphism des 2-Ringe-; sieh Ring sich davonmachen. Es gibt genau 10 begrenzte geschlossene 3 Sammelleitungen mit dieser Geometrie, 6 orientable und 4 non-orientable.

Diese Geometrie kann als ein linker invariant metrischer auf den Gruppen von Bianchi des Typs I oder VII modelliert werden.

Begrenzte Volumen-Sammelleitungen mit dieser Geometrie sind alle kompakt, und haben die Struktur eines Faser-Raums von Seifert (manchmal auf zwei Weisen). Die ganze Liste solcher Sammelleitungen wird im Artikel über Faser-Räume von Seifert gegeben.

Unter Ricci-Fluss-Sammelleitungen mit der Euklidischen Geometrie bleiben invariant.

Hyperbelgeometrie H

Der Punkt-Ausgleicher ist O(R), und die Gruppe G ist die 6-dimensionale Lüge-Gruppe O(R) mit 2 Bestandteilen. Es gibt riesige Mengen von Beispielen von diesen, und ihre Klassifikation wird nicht völlig verstanden. Das Beispiel mit dem kleinsten Volumen ist die Woche-Sammelleitung. Andere Beispiele werden durch den Raum von Seifert-Weber angeführt, oder "hat genug" Chirurgien von Dehn auf Verbindungen oder die meisten Sammelleitungen von Haken kompliziert. Die Geometrization-Vermutung deutet an, dass ein geschlossener 3-Sammelleitungen-hyperbolisch ist, wenn, und nur wenn es, atoroidal nicht zu vereinfachend ist, und unendliche grundsätzliche Gruppe hat.

Diese Geometrie kann als ein linker invariant metrischer auf der Gruppe von Bianchi des Typs V modelliert werden.

Unter Ricci-Fluss-Sammelleitungen mit der Hyperbelgeometrie breiten sich aus.

Die Geometrie S×R

Der Punkt-Ausgleicher ist O(R) ×Z/2Z, und die Gruppe G ist O(R) ×R.Z/2Z mit 4 Bestandteilen. Die vier begrenzten Volumen-Sammelleitungen mit dieser Geometrie sind: S×S, der kartografisch darstellende Ring der Antipode-Karte von S, der verbundenen Summe von zwei Kopien von 3 dimensionalem projektivem Raum und dem Produkt von S mit dem zweidimensionalen projektiven Raum. Die ersten zwei stellen Ringe der Identitätskarte und Antipode-Karte des 2-Bereiche-kartografisch dar, und sind die einzigen Beispiele von 3 Sammelleitungen, die erst, aber nicht nicht zu vereinfachend sind. Das dritte ist das einzige Beispiel einer nichttrivialen verbundenen Summe mit einer geometrischen Struktur. Das ist die einzige Mustergeometrie, die als ein linker invariant metrischer auf einer 3-dimensionalen Lüge-Gruppe nicht begriffen werden kann.

Begrenzte Volumen-Sammelleitungen mit dieser Geometrie sind alle kompakt und haben die Struktur eines Faser-Raums von Seifert (häufig auf mehrere Weisen). Unter normalisierten Fluss-Sammelleitungen von Ricci mit dieser Geometrie laufen zu einer 1-dimensionalen Sammelleitung zusammen.

Die Geometrie H×R

Der Punkt-Ausgleicher ist O(R) × Z/2Z und die Gruppe G sind O(R) × R.Z/2Z, mit 4 Bestandteilen. Beispiele schließen das Produkt einer Hyperbeloberfläche mit einem Kreis, oder mehr allgemein den kartografisch darstellenden Ring einer Isometrie einer Hyperbeloberfläche ein. Begrenzte Volumen-Sammelleitungen mit dieser Geometrie haben die Struktur eines Faser-Raums von Seifert, wenn sie orientable sind. (Wenn sie nicht orientable sind, ist der natürliche fibration durch Kreise nicht notwendigerweise Seifert fibration: Das Problem besteht darin, dass einige Fasern Orientierung "umkehren können"; mit anderen Worten sieht ihre Nachbarschaft wie fibered feste Flaschen von Klein aber nicht feste Ringe aus.) Die Klassifikation solcher (orientierten) Sammelleitungen wird im Artikel über Faser-Räume von Seifert gegeben.

Diese Geometrie kann als ein linker invariant metrischer auf der Gruppe von Bianchi des Typs III modelliert werden.

Unter normalisierten Fluss-Sammelleitungen von Ricci mit dieser Geometrie laufen zu einer 2-dimensionalen Sammelleitung zusammen.

Die Geometrie des universalen Deckels von SL(R)

ist der universale Deckel von SL(R), der zu Ende Fasern. Der Punkt-Ausgleicher ist O(R). Die Gruppe G hat 2 Bestandteile. Sein Identitätsbestandteil hat die Struktur. Beispiele dieser Sammelleitungen schließen ein: die Sammelleitung von Einheitsvektoren des Tangente-Bündels einer Hyperbeloberfläche, und mehr allgemein die Homologie-Bereiche von Brieskorn (ausgenommen des 3-Bereiche- und des Raums von Poincare dodecahedral). Diese Geometrie kann als ein linker invariant metrischer auf der Gruppe von Bianchi des Typs VIII modelliert werden. Begrenzte Volumen-Sammelleitungen mit dieser Geometrie sind orientable und haben die Struktur eines Faser-Raums von Seifert. Die Klassifikation solcher Sammelleitungen wird im Artikel über Faser-Räume von Seifert gegeben. Unter normalisierten Fluss-Sammelleitungen von Ricci mit dieser Geometrie laufen zu einer 2-dimensionalen Sammelleitung zusammen.

Null-Geometrie

Das Fasern über E, und ist die Geometrie der Gruppe von Heisenberg. Der Punkt-Ausgleicher ist O(R). Die Gruppe G hat 2 Bestandteile, und ist ein halbdirektes Produkt der 3-dimensionalen Gruppe von Heisenberg durch die Gruppe O(R) von Isometrien eines Kreises. Kompaktsammelleitungen mit dieser Geometrie schließen den kartografisch darstellenden Ring einer Drehung von Dehn eines 2-Ringe-, oder der Quotient der Gruppe von Heisenberg durch die "integrierte Gruppe von Heisenberg" ein.

Diese Geometrie kann als ein linker invariant metrischer auf der Gruppe von Bianchi des Typs II modelliert werden.

Begrenzte Volumen-Sammelleitungen mit dieser Geometrie sind kompakt und orientable und haben die Struktur eines Faser-Raums von Seifert. Die Klassifikation solcher Sammelleitungen wird im Artikel über Faser-Räume von Seifert gegeben.

Unter Kompaktsammelleitungen des Flusses von normalisiertem Ricci mit dieser Geometrie laufen zu R mit der metrischen Wohnung zusammen.

Sol-Geometrie

Diese Geometrie Fasern über die Linie mit der Faser das Flugzeug, und ist die Geometrie des Identitätsbestandteils der Gruppe G. Der Punkt-Ausgleicher ist die zweiflächige Gruppe des Auftrags 8. Die Gruppe G hat 8 Bestandteile, und ist die Gruppe von Karten vom 2-dimensionalen Raum von Minkowski bis sich, die entweder Isometrien sind oder das metrische mit −1 multiplizieren. Der Identitätsbestandteil hat eine normale Untergruppe R mit dem Quotienten R, wo R R mit 2 (echten) eigenspaces, mit verschiedenem echtem eigenvalues des Produktes 1 folgt. Das ist die Gruppe von Bianchi des Typs VI, und die Geometrie kann als ein linker invariant metrischer auf dieser Gruppe modelliert werden. Alle begrenzten Volumen-Sammelleitungen mit der Sol-Geometrie sind kompakt. Die Kompaktsammelleitungen mit der Sol-Geometrie sind irgendein der kartografisch darstellende Ring einer Karte von Anosov des 2-Ringe-(ein automorphism des 2-Ringe-, der durch einen invertible 2 durch 2 Matrix gegeben ist, deren eigenvalues echt und, solcher als verschieden

sind

2 & 1 \\

1 & 1 \\

\end {Reihe}} \right) </Mathematik>), oder Quotienten von diesen durch Gruppen der Ordnung höchstens 8. Die eigenvalues des automorphism des Rings erzeugen eine Ordnung eines echten quadratischen Feldes, und die Sol-Sammelleitungen konnten im Prinzip in Bezug auf die Einheiten und idealen Klassen dieser Ordnung klassifiziert werden, obwohl die Details nicht scheinen, überall niedergeschrieben zu werden.

Unter Kompaktsammelleitungen des Flusses von normalisiertem Ricci mit dieser Geometrie laufen (eher langsam) zu R zusammen.

Einzigartigkeit

Ein geschlossener 3-Sammelleitungen-hat eine geometrische Struktur am grössten Teil von einen der 8 Typen oben, aber begrenztes Volumen nichtkompakte 3 Sammelleitungen kann gelegentlich mehr als einen Typ der geometrischen Struktur haben. (Jedoch kann eine Sammelleitung viele verschiedene geometrische Strukturen desselben Typs haben; zum Beispiel eine Oberfläche der Klasse haben mindestens 2 ein Kontinuum der verschiedenen Hyperbelmetrik.) Genauer, wenn M eine Sammelleitung mit einem begrenzten Volumen geometrische Struktur ist, dann wird der Typ der geometrischen Struktur fast wie folgt, in Bezug auf die grundsätzliche Gruppe π (M) bestimmt:

• Wenn π (M) dann begrenzt ist, ist die geometrische Struktur auf der M kugelförmig, und M ist kompakt.
• Wenn π (M) eigentlich zyklisch, aber dann nicht begrenzt ist, ist die geometrische Struktur auf der M S&times;R, und M ist kompakt.
• Wenn π (M) eigentlich abelian, aber nicht eigentlich zyklisch dann ist, ist die geometrische Struktur auf der M Euklidisch, und M ist kompakt.
• Wenn π (M) eigentlich nilpotent, aber nicht eigentlich abelian dann ist, ist die geometrische Struktur auf der M Null-Geometrie, und M ist kompakt.
• Wenn π (M) eigentlich lösbar ist, aber nicht eigentlich nilpotent dann, ist die geometrische Struktur auf der M Sol-Geometrie, und M ist kompakt.
• Wenn π (M) eine unendliche normale zyklische Untergruppe hat, aber dann nicht eigentlich lösbar ist, ist die geometrische Struktur auf der M entweder H&times;R oder der universale Deckel von SL(R). Die mannigfaltige M kann entweder kompakt oder nichtkompakt sein. Wenn es kompakt ist, dann kann die 2 Geometrie dadurch bemerkenswert sein, ob π (M) eine begrenzte Index-Untergruppe hat, die sich als ein halbdirektes Produkt der normalen zyklischen Untergruppe und etwas anderen aufspaltet. Wenn die Sammelleitung nichtkompakt ist, dann kann die grundsätzliche Gruppe nicht die zwei Geometrie unterscheiden, und es gibt Beispiele (wie die Ergänzung eines Klee-Knotens), wo eine Sammelleitung ein begrenztes Volumen geometrische Struktur jedes Typs haben kann.
• Wenn π (M) keine unendliche normale zyklische Untergruppe hat und dann nicht eigentlich lösbar ist, ist die geometrische Struktur auf der M hyperbolisch, und M kann entweder kompakt oder nichtkompakt sein.

Unendliche Volumen-Sammelleitungen können viele verschiedene Typen der geometrischen Struktur haben: Zum Beispiel kann R 6 der verschiedenen geometrischen Strukturen haben, die oben verzeichnet sind, weil 6 der 8 Mustergeometrie homeomorphic dazu ist. Außerdem, wenn das Volumen nicht begrenzt sein muss, gibt es eine unendliche Zahl von neuen geometrischen Strukturen ohne Kompaktmodelle; zum Beispiel, die Geometrie fast jeder non-unimodular 3-dimensionalen Lüge-Gruppe.

Es kann mehr als eine Weise geben, einen geschlossenen 3-Sammelleitungen-in Stücke mit geometrischen Strukturen zu zersetzen. Zum Beispiel:

• Einnahme verbundener Summen mit mehreren Kopien von S ändert keine Sammelleitung.
• Die verbundene Summe von zwei projektiven 3 Räumen hat S&times;R Geometrie, und ist auch die verbundene Summe von zwei Stücken mit der S Geometrie.
• Das Produkt einer negativen Oberflächenkrümmung und eines Kreises hat eine geometrische Struktur, aber kann auch entlang Ringen geschnitten werden, um kleinere Stücke zu erzeugen, die auch geometrische Strukturen haben. Es gibt viele ähnliche Beispiele für Faser-Räume von Seifert.

Es ist möglich, eine "kanonische" Zergliederung in Stücke mit der geometrischen Struktur, zum Beispiel durch den ersten Ausschnitt der Sammelleitung in Hauptstücke auf eine minimale Weise zu wählen, dann diese das Verwenden der kleinstmöglichen Zahl von Ringen schneidend. Jedoch ist diese minimale Zergliederung nicht notwendigerweise durch den Fluss von Ricci erzeugte diejenige; wenn Tatsache, der Fluss von Ricci eine Sammelleitung in geometrische Stücke auf viele inequivalent Weisen abhängig von der Wahl der metrischen Initiale schneiden kann.

Geschichte

Dem Feldorden wurde Thurston 1982 teilweise für seinen Beweis der Geometrization-Vermutung für Sammelleitungen von Haken verliehen.

Der Fall von 3 Sammelleitungen, die kugelförmig sein sollten, ist langsamer gewesen, aber hat den für Richard Hamilton erforderlichen Funken zur Verfügung gestellt, um seinen Fluss von Ricci zu entwickeln. 1982 hat Hamilton gezeigt, dass gegeben ein geschlossener 3-Sammelleitungen-mit einer metrischen von der positiven Krümmung von Ricci, der Fluss von Ricci die Sammelleitung zu einem Punkt in der endlichen Zeit zusammenbrechen würde, die die Geometrization-Vermutung für diesen Fall beweist, weil das metrische "fast herum" kurz vor dem Zusammenbruch wird. Er hat später ein Programm entwickelt, um die Geometrization-Vermutung durch den Fluss von Ricci mit der Chirurgie zu beweisen. Die Idee besteht darin, dass der Fluss von Ricci im Allgemeinen Eigenartigkeiten erzeugen wird, aber man kann im Stande sein, den Fluss von Ricci vorbei an der Eigenartigkeit fortzusetzen, indem man Chirurgie verwendet, um die Topologie der Sammelleitung zu ändern. Grob sprechend, zieht der Fluss von Ricci positive Krümmungsgebiete zusammen und breitet negative Krümmungsgebiete aus, so sollte er die Stücke der Sammelleitung mit der "positiven Krümmung" Geometrie S und S&times;R ausrotten, während, was in großen Zeiten verlassen wird, eine dick-dünne Zergliederung in ein "dickes" Stück mit der Hyperbelgeometrie und einer "dünnen" Graph-Sammelleitung haben sollte.

2003 hat Grigori Perelman einen Beweis der Geometrization-Vermutung skizziert, indem er gezeigt hat, dass der Fluss von Ricci tatsächlich vorbei an den Eigenartigkeiten fortgesetzt werden kann, und das Verhalten oben beschreiben ließ. Die Hauptschwierigkeit, den Beweis von Perelman der Vermutung von Geometrization nachzuprüfen, war ein kritischer Gebrauch seines Lehrsatzes 7.4 im Vorabdruck 'Ricci Fluss mit der Chirurgie auf drei Sammelleitungen. Dieser Lehrsatz wurde von Perelman ohne Beweis festgesetzt. Es gibt jetzt mehrere verschiedene Beweise des Lehrsatzes von Perelman 7.4, oder Varianten davon, die genügend sind, um geometrization zu beweisen. Es gibt das Papier von Shioya und Yamaguchi, der den Stabilitätslehrsatz von Perelman und einen fibration Lehrsatz für Räume von Alexandrov verwendet. Diese Methode, mit vollen Details, die zum Beweis von Geometrization führen, kann in der Ausstellung von B. Kleiner und J. Lott in 'Zeichen auf den Papieren von Perelman in der Zeitschrift Geometrie & Topologie gefunden werden.

Ein zweiter Weg zu Geometrization ist die Methode von Bessières u. a., der den hyperbolization Lehrsatz von Thurston für Sammelleitungen von Haken und die Norm von Gromov für 3 Sammelleitungen verwendet. Ein Buch von denselben Autoren mit ganzen Details ihrer Version des Beweises ist von der europäischen Mathematischen Gesellschaft veröffentlicht worden.

Auch Beweise des Lehrsatzes von Perelman 7.4 enthaltend, gibt es eine Zeitung von Morgan und Tian,

ein anderes Papier von Kleiner und Lott, und ein Vortrag von Cao und Ge.

Referenzen

• L. Bessieres, G. Besson, M. Boileau, S. Maillot, J. Porti, 'Geometrisation von 3 Sammelleitungen, EMS Flächen in der Mathematik, Band 13. Europäische Mathematische Gesellschaft, Zürich, 2010.

http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~lbessier/book.pdf

• M. Boileau Geometrization von 3 Sammelleitungen mit symmetries
• Strukturen von F. Bonahon Geometric auf dem 3-Sammelleitungen-Handbuch der Topologie von Geometric (2002) Elsevier.
• Allen Hatcher: Zeichen auf der Grundlegenden 3-Sammelleitungen-Topologie 2000
• J. Isenberg, M. Jackson, Fluss von Ricci der lokal homogenen Geometrie auf einer Sammelleitung von Riemannian, J. Diff. Geom. 35 (1992) Nr. 3 723-741.
• G. Perelman, Die Wärmegewicht-Formel für Ricci fließt und seine geometrischen Anwendungen, 2002
• G. Perelman, Ricci fließen mit der Chirurgie auf drei Sammelleitungen, 2003
• G. Perelman, die Begrenzte Erlöschen-Zeit für die Lösungen von Ricci fließt auf bestimmten drei Sammelleitungen, 2003
• Bruce Kleiner und John Lott, Zeichen auf den Papieren von Perelman (Mai 2006) (füllt die Details des Beweises von Perelman der Geometrization-Vermutung aus).

• Revidierte Version (Dezember 2006): Der Beweis von Hamilton-Perelman der Poincaré-Vermutung und der Geometrization-Vermutung
• John W. Morgan. Der neue Fortschritt auf Poincaré mutmaßt und die Klassifikation von 3 Sammelleitungen. Meldung Amer. Mathematik. Soc. 42 (2005) Nr. 1, 57-78 (erklärt erklärender Artikel die acht Geometrie und Geometrization-Vermutung kurz, und gibt einen Umriss des Beweises von Perelman der Vermutung von Poincaré)
• Scott, Peter Die Geometrie von 3 Sammelleitungen. (Errata) Stier. Londoner Mathematik. Soc. 15 (1983), Nr. 5, 401-487.
• Das gibt die ursprüngliche Behauptung der Vermutung.
• William Thurston. Dreidimensionale Geometrie und Topologie. Vol. 1. Editiert von Silvio Levy. Princeton Mathematische Reihe, 35. Universität von Princeton Presse, Princeton, New Jersey, 1997. internationale X+311-Seiten-Standardbuchnummer 0-691-08304-5 (eingehend Erklärung der acht Geometrie und des Beweises, dass es nur acht gibt)
• William Thurston. Die Geometrie und Topologie von Drei Sammelleitungen, 1980 Vortrag von Princeton bemerkt auf geometrischen Strukturen auf 3 Sammelleitungen.

Links

• Die Geometrie von 3 Sammelleitungen (Video) Ein öffentlicher Vortrag auf Poincaré und Geometrization-Vermutungen, die von C. McMullen an Harvard 2006 gegeben sind.