In der Physik und Technik sind der Qualitätsfaktor oder Q Faktor ein ohne Dimension Parameter, der beschreibt, wie mit geringer Dämpfung ein Oszillator oder Resonator, oder gleichwertig sind, eine Bandbreite eines Resonators hinsichtlich seiner Zentrum-Frequenz charakterisieren.

Höher zeigt Q eine niedrigere Rate des Energieverlustes hinsichtlich der versorgten Energie des Oszillators an; die Schwingungen sterben langsamer aus. Ein Pendel, das von einem Qualitätslager aufgehoben ist, in Luft schwingend, hat einen hohen Q, während ein in Öl versenktes Pendel ein niedriges hat. Oszillatoren mit hohen Qualitätsfaktoren haben niedrig Dämpfung, so dass sie länger klingeln.

Erklärung

Sinusförmig gesteuerte Resonatore, die höher Q Faktoren haben, schwingen mit größeren Umfängen (an der Resonanzfrequenz) mit, aber haben eine kleinere Reihe von Frequenzen um diese Frequenz, für die sie mitschwingen; die Reihe von Frequenzen, für die der Oszillator mitschwingt, wird die Bandbreite genannt. So hat ein hoher Q gestimmt der Stromkreis in einem Radioempfänger würde schwieriger sein zu stimmen, aber würde mehr Selektivität haben; es würde einen besseren Job tun, Signale von anderen Stationen herauszufiltern, die in der Nähe auf dem Spektrum liegen. Hohe Q Oszillatoren schwingen mit einer kleineren Reihe von Frequenzen und sind stabiler. (Sieh Oszillator-Phase-Geräusch.)

Der Qualitätsfaktor von Oszillatoren ändert sich wesentlich vom System bis System. Systeme, für die Dämpfung wichtig ist (wie Dämpfer, die eine Tür davon abhalten, geschlossen zuzuschlagen), haben. Uhren, Laser und andere mitschwingende Systeme, die entweder starke Klangfülle oder hohe Frequenzstabilität brauchen, brauchen hohe Qualitätsfaktoren. Stimmgabeln haben Qualitätsfaktoren um Q = 1000. Der Qualitätsfaktor von Atomuhren, RF Höhlen superführend, die in Gaspedalen und einigen hohen-Q Lasern verwendet sind, kann nicht weniger als 10 und höher reichen.

Es gibt viele alternative Mengen, die von Physikern und Ingenieuren verwendet sind, um zu beschreiben, wie gedämpft ein Oszillator ist, und die nah mit dem Qualitätsfaktor verbunden sind. Wichtige Beispiele schließen ein: Das Dämpfungsverhältnis, die Verhältnisbandbreite, linewidth und die Bandbreite haben in Oktaven gemessen.

Das Konzept des Q Faktors ist in der elektronischen Technik als ein Maß der 'Qualität' entstanden, die in einem guten abgestimmten Stromkreis oder anderem Resonator gewünscht ist.

Definition des Qualitätsfaktors

Im Zusammenhang von Resonatoren wird Q in Bezug auf das Verhältnis der Energie definiert, die im Resonator zur Energie versorgt ist, die durch einen Generator pro Zyklus geliefert ist, um Signalumfang zu halten, unveränderlich, an einer Frequenz (die Resonanzfrequenz), f, wo die versorgte Energie mit der Zeit unveränderlich ist:

:

Q = 2 \pi \times \frac {\\mbox {Energie Versorgt}} {\\mbox {Energie haben sich pro Zyklus}} = 2 \pi f_r \times \frac {\\mbox {Energie Versorgt}} {\\mbox {Macht-Verlust}} zerstreut. \,

</Mathematik>

Der Faktor 2&pi; macht Q expressible in einfacheren Begriffen, nur die Koeffizienten der Differenzialgleichung der zweiten Ordnung einschließend, die die meisten widerhallenden Systeme, elektrisch oder mechanisch beschreibt. In elektrischen Systemen ist die versorgte Energie die Summe von Energien, die in lossless Induktoren und Kondensatoren versorgt sind; die verlorene Energie ist die Summe der Energien, die in Widerständen pro Zyklus zerstreut sind. In mechanischen Systemen ist die versorgte Energie die maximale mögliche versorgte Energie, oder die Gesamtenergie, d. h. die Summe der potenziellen und kinetischen Energien an einem Punkt rechtzeitig; die verlorene Energie ist die geleistete Arbeit durch eine konservative Außenkraft pro Zyklus, um Umfang aufrechtzuerhalten.

Für hohe Werte von Q ist die folgende Definition auch mathematisch genau:

:

wo f die Resonanzfrequenz ist, ist Δf die Bandbreite, ω = 2πf ist die winkelige Resonanzfrequenz, und Δω ist die winkelige Bandbreite.

Mehr allgemein und im Zusammenhang der reaktiven Teilspezifizierung (besonders Induktoren) wird die frequenzabhängige Definition von Q verwendet:

:

Q (\omega) = \omega \times \frac {\\mbox {maximale Energie versorgt}} {\\mbox {Macht-Verlust}}, \,

</Mathematik>

wo &omega; ist die winkelige Frequenz, an der die versorgte Energie und der Macht-Verlust gemessen werden. Diese Definition ist mit seinem Gebrauch im Beschreiben von Stromkreisen mit einem einzelnen reaktiven Element im Einklang stehend (Kondensator oder Induktor), wo, wie man zeigen kann, es dem Verhältnis der reaktiven Macht zur Wirkleistung gleich ist. (Sieh Individuelle reaktive Bestandteile.)

Q Faktor und Dämpfung

Der Q Faktor bestimmt das qualitative Verhalten von einfachen gedämpften Oszillatoren. (Weil mathematische Details über diese Systeme und ihr Verhalten harmonischen Oszillator und System der geradlinigen Zeit invariant (LTI) sehen.)

• Ein System mit dem niedrigen Qualitätsfaktor (Q

Wie man

• sagt, wird ein System mit einem Zwischenqualitätsfaktor (Q = ½) kritisch befeuchtet. Wie ein übergedämpftes System schwingt die Produktion nicht, und schießt über seine Steady-Stateproduktion nicht hinaus (d. h. sie nähert sich einer Steady-Stateasymptote). Wie eine Antwort mit geringer Dämpfung antwortet die Produktion solch eines Systems schnell auf einen Einheitsschritt-Eingang. Kritische Dämpfung läuft auf die schnellste Antwort hinaus (nähern Sie sich dem Endwert) möglich ohne Überschwingen. Echte Pflichtenhefte erlauben gewöhnlich ein Überschwingen für eine schnellere anfängliche Antwort oder verlangen, dass eine langsamere anfängliche Antwort eine Sicherheitsspanne gegen das Überschwingen zur Verfügung stellt.

In negativen Feed-Back-Systemen wird die dominierende Antwort des geschlossenen Regelkreises häufig durch ein System der zweiten Ordnung gut modelliert. Der Phasenrand des Systems der offenen Schleife setzt den Qualitätsfaktor Q des Systems des geschlossenen Regelkreises; als der Phasenrand abnimmt, wird das ungefähre System des geschlossenen Regelkreises der zweiten Ordnung mehr Schwingungs-gemacht (d. h., hat einen höheren Qualitätsfaktor).

Qualitätsfaktoren von allgemeinen Systemen

• Eine Einheitsgewinn-Sallen-Schlüsselfiltertopologie mit gleichwertigen Kondensatoren und gleichwertigen Widerständen wird (d. h.,) kritisch befeuchtet.
• Ein Butterworth Filter (d. h., dauernd-maliger Filter mit der flachsten passband Frequenzantwort) haben einen mit geringer Dämpfung.
• Ein Bessel Filter (d. h., dauernd-maliger Filter mit der flachsten Gruppenlaufzeit) haben einen mit geringer Dämpfung.

Physische Interpretation von Q

Physisch das Sprechen, Q ist Zeiten, die das Verhältnis der Gesamtenergie geteilt durch die Energie versorgt hat, die in einem einzelnen Zyklus oder gleichwertig dem Verhältnis der versorgten Energie zur über einen radian der Schwingung zerstreuten Energie verloren ist.

Es ist ein ohne Dimension Parameter, der die Zeit vergleicht, die für den Zerfall eines Umfangs eines schwingenden physischen Systems zu seiner Schwingungsperiode unveränderlich ist. Gleichwertig vergleicht es die Frequenz, an der ein System zur Rate schwingt, an der es seine Energie zerstreut.

Gleichwertig (für große Werte von Q) ist der Q Faktor ungefähr die Zahl von für eine Energie eines frei schwingenden Systems erforderlichen Schwingungen, zu, oder über 1/535 oder 0.2 % von seiner ursprünglichen Energie zurückzugehen.

Die Breite (Bandbreite) der Klangfülle wird durch gegeben

:

\Delta f = \frac {f_0} {Q} \,

</Mathematik>,

wo die Resonanzfrequenz, und, die Bandbreite ist, ist die Breite der Reihe von Frequenzen, für die die Energie mindestens Hälfte seines Maximalwerts ist.

Die Faktoren Q, Verhältnis ζ, und Verdünnung α befeuchtend, sind solch dass verbunden

:

\zeta = \frac {1} {2 Q} = {\alpha \over \omega_0}.

</Mathematik>

So kann der Qualitätsfaktor als ausgedrückt werden

:

Q = \frac {1} {2 \zeta} = {\omega_0 \over 2 \alpha},

</Mathematik>

und die Exponentialverdünnungsrate kann als ausgedrückt werden

:

\alpha = \zeta \omega_0 = {\omega_0 \over 2 Q}.

</Mathematik>

Für jeden 2. Ordnungsfilter des niedrigen Passes ist die Ansprechfunktion des Filters

:

H (s) = \frac {\omega_0^2} {s^2 + \underbrace {\frac {\omega_0} {Q}} _ {2 \zeta \omega_0 = 2 \alpha} s + \omega_0^2} \,

</Mathematik>

Für dieses System, wenn (d. h., wenn das System mit geringer Dämpfung ist), hat es verbundene Pole von zwei Komplex, deren jeder einen echten Teil hat. D. h. der Verdünnungsparameter vertritt die Rate des Exponentialzerfalls der Schwingungen (z.B, nach einem Impuls) des Systems. Ein höherer Qualitätsfaktor bezieht eine niedrigere Verdünnung ein, und so schwingen hohe Q Systeme seit langen Zeiten. Zum Beispiel haben hohe Qualitätsglocken einen ungefähr reinen sinusförmigen Ton, seit langem durch einen Hammer geschlagen.

Elektrische Systeme

Für ein elektrisch widerhallendes System vertritt der Q Faktor die Wirkung des elektrischen Widerstands und, für elektromechanische Resonatore wie Quarzkristalle, mechanische Reibung.

RLC Stromkreise

In einer idealen Reihe RLC Stromkreis, und in einem abgestimmten Radiofrequenzempfänger (TRF) ist der Q Faktor:

:

Q = \frac {1} {R} \sqrt {\\frac {L} {C}} \,

</Mathematik>,

wo, und der Widerstand, die Induktanz und die Kapazität des abgestimmten Stromkreises beziehungsweise sind. Je größer der Reihe-Widerstand, desto tiefer der Stromkreis Q.

Für einen RLC parallelen Stromkreis ist der Q Faktor das Gegenteil des Reihe-Falls:

:

Q = R \sqrt {\\frac {C} {L}} \,

</Mathematik>,

Denken Sie einen Stromkreis, wo R, L und C alle in der Parallele sind. Je tiefer der Parallelwiderstand, desto mehr Wirkung es in der Dämpfung des Stromkreises und so tiefer der Q haben wird. Das ist im Filterdesign nützlich, um die Bandbreite zu bestimmen.

In einem LC parallelen Stromkreis, wo der Hauptverlust der Widerstand des Induktors, R, der Reihe nach mit der Induktanz, L ist, ist Q als im Reihe-Stromkreis. Das ist ein allgemeiner Umstand für Resonatore, wo das Begrenzen des Widerstands des Induktors, um Q zu verbessern und die Bandbreite einzuengen, das gewünschte Ergebnis ist.

Individuelle reaktive Bestandteile

Der Q eines individuellen reaktiven Bestandteils hängt von der Frequenz ab, an der er bewertet wird, der normalerweise die Resonanzfrequenz des Stromkreises ist, in dem er verwendet wird. Der Q eines Induktors ist:

Wo:

• ist die Frequenz.

• ist die Induktanz.

• ist die induktive Reaktanz.

• ist der Widerstand des Induktors.

Der Q eines Kondensators ist:

Wo: ist die Frequenz.

• ist die Kapazität.

• ist die kapazitive Reaktanz.

• ist der Widerstand des Kondensators.

Offenbare Diskrepanz zwischen grundsätzlichen und reaktiven basierten Definitionen

Die obengenannte Definition für den Q eines Induktors erzeugt einen Q-Wert, der zweimal mehr als das der grundsätzlicheren auf der versorgten Energie gestützten Definition ist. Die grundsätzlichere Definition von Q ist:

Q = \frac {Energy\versorgt} {Power\dissipated/\omega} = \frac {(1/2) LI^2} {RI^2/\omega} = (1/2) \omega L/R

</Mathematik>

.... wo ich der rms Strom bin.

Um die reaktive Definition zu bringen und versorgte Energie Definition für den Q in die Abmachung gestützt hat, muss der Q des Induktors als der Q eines RLC Stromkreises definiert werden (bewertet auf der Klangfülle), wessen Verlust durch den Verlust des Induktors bestimmt wird. Wenn der Induktor ein Teil einer Reihe RLC Stromkreis ist, dann an der Klangfülle in einem rms Sinn gehört die Hälfte der versorgten Energie dem Induktor, und Hälfte gehört dem Kondensator. Folglich ist die versorgte Gesamtenergie in der Reihe RLC Stromkreis 2 (1/2) LI^2 = LI^2. Und, die Verschwendung im RLC Stromkreis

in der Reihe ist RLC Stromkreis wegen des Induktors RI^2. Folglich ist der Q des Induktors (aus der grundsätzlicheren Definition) als ein Teil der Reihe RLC Stromkreis:

Q = \omega*\frac {energy\stored\in\the\RLC\Stromkreis} {power\dissipated\in\the\Induktor} = \omega L/R

</Mathematik>

Mit dieser richtigen Interpretation dafür, wie Q für einen Induktor definiert wird, ist die grundsätzlichere Definition für Q jetzt mit der oben erwähnten reaktiven Definition im Einklang stehend. Bemerken Sie dass ohne diese Erläuterung, die reaktive Definition für den Q eines Induktors als ein Teil eines LR Stromkreises: Q = ist ωL/R irrtümlicherweise. Tatsächlich ist der Q eines Induktors als ein Teil solch eines LR Stromkreises (1/2) ωL/R, wie richtig gegeben, durch die gestützte Definition der grundsätzlicheren versorgten Energie. Dieses dasselbe Argument gilt für das Verstehen des Unterschieds zwischen dem grundsätzlichen (Energie hat Definition gestützt), und die reaktiven Definitionen für den Q eines Kondensators.

Verwarnung, wenn man Q Definition anwendet, auf der Reaktanz gestützt

Es ist verführerisch, den Q eines elektrischen Stromkreises durch die blinde Computerwissenschaft des Verhältnisses seines reaktiven zum echten Teil zu schätzen.

Wenn wir das für den Fall einer Reihe LRC an der Klangfülle bewerteter Stromkreis tun, bekommen wir Q = Im (Z) / echt (Z) = 0. Klar ist das irrtümlicherweise.

Andererseits, wenn wir zur gestützten Definition der grundsätzlicheren Energie zurückgehen, bekommen wir den richtigen Wert für Q = E_stored / (Macht dissipated/w) = SQRT (L/C)/R.

Das Ergebnis ist, dass man immer zur grundsätzlicheren Definition zurückgehen, wenn man Q rechnet, oder riskieren sollte, einen sinnlosen, falschen Wert zu erreichen.

Mechanische Systeme

Für ein einzelnes gedämpftes Massenfrühlingssystem vertritt der Q Faktor die Wirkung der vereinfachten klebrigen Dämpfung oder Schinderei, wo die Dämpfungskraft oder Schinderei-Kraft zur Geschwindigkeit proportional sind. Die Formel für den Q Faktor ist:

:

Q = \frac {\\sqrt {M k}} {D}, \,

</Mathematik>

wo M die Masse ist, ist k die Frühlingskonstante, und D ist der Dämpfungskoeffizient, der durch die Gleichung definiert ist, wo die Geschwindigkeit ist.

Optische Systeme

In der Optik wird der Q Faktor einer widerhallenden Höhle durch gegeben

:

Q = \frac {2\pi f_o \,\mathcal {E}} {P}, \,

</Mathematik>

wo die Resonanzfrequenz ist, die versorgte Energie in der Höhle ist, und die zerstreute Macht ist. Der optische Q ist dem Verhältnis der Resonanzfrequenz zur Bandbreite der Höhle-Klangfülle gleich. Die durchschnittliche Lebenszeit eines widerhallenden Fotons in der Höhle ist zum Q der Höhle proportional. Wenn der Q Faktor einer Höhle eines Lasers von einem niedrigen Wert bis einen hohen plötzlich geändert wird, wird der Laser einen Puls des Lichtes ausstrahlen, das viel intensiver ist als die normale dauernde Produktion des Lasers. Diese Technik ist als Q-Schaltung bekannt.

Siehe auch

• Dämpfung des Verhältnisses
• Verdünnung
• Phasenrand
• Bandbreite
• Q Meter
• Verschwendungsfaktor

Weiterführende Literatur

Außenverbindungen

• Das Rechnen der Abkürzungsfrequenzen, wenn Zentrum-Frequenz und Q Faktor gegeben werden
• Erklärung des Q Faktors im Radio, das Stromkreise abstimmt