In der Musikeinstimmung sind das Pythagoreische Komma (oder ditonic Komma), genannt nach dem alten Mathematiker und Philosophen Pythagoras, der kleine Zwischenraum (oder Komma) vorhanden im Pythagoreer, der zwischen zwei enharmonically gleichwertigen Zeichen wie C und B , oder D und C stimmt. Es ist dem Frequenzverhältnis 531441:524288, oder etwa 23.46 Cent, grob einem Viertel eines Halbtons (zwischen 75:74 und 74:73) gleich. Das Komma, das Musiktemperamente häufig auf das Mildern verweisen, ist das Pythagoreische Komma.

Das Pythagoreische Komma kann auch als der Unterschied zwischen einem Pythagoreischen apotome und einem Pythagoreischen limma (d. h., zwischen einem chromatischen und einem diatonischen Halbton, wie bestimmt, im Pythagoreer definiert werden, der stimmt), oder der Unterschied zwischen zwölf gerade vollkommenen Fünfteln und sieben Oktaven, oder der Unterschied zwischen drei Pythagoreischen ditones und einer Oktave (das ist der Grund, warum das Pythagoreische Komma auch ditonic Komma genannt wird).

Die verringerte Sekunde, in der Pythagoreischen Einstimmung, wird als der Unterschied zwischen limma und apotome definiert. Es fällt deshalb mit dem Gegenteil eines Pythagoreischen Kommas zusammen, und kann als ein hinuntersteigendes Pythagoreisches Komma (z.B von C bis D), gleich ungefähr −23.46 Cents angesehen werden.

Abstammung

Wie beschrieben, in der Einführung kann das Pythagoreische Komma auf vielfache Weisen abgeleitet werden:

• Unterschied zwischen zwei enharmonically gleichwertigen Zeichen in einer Pythagoreischen Skala, wie C und B , oder D und C (sieh unten).
• Unterschied zwischen Pythagoreischem apotome und Pythagoreischem limma.
• Unterschied zwischen zwölf gerade vollkommenen Fünfteln und sieben Oktaven.
• Unterschied zwischen drei Pythagoreischen ditones (Hauptdrittel) und eine Oktave.

Gerade vollkommen fünft hat ein Frequenzverhältnis von 3/2. Es wird in der Pythagoreischen Einstimmung zusammen mit der Oktave als ein Maßstab verwendet, um, in Bezug auf ein gegebenes anfängliches Zeichen, das Frequenzverhältnis jedes anderen Zeichens zu definieren.

Apotome und limma sind die zwei Arten von in der Pythagoreischen Einstimmung definierten Halbtönen. Nämlich ist der apotome (ungefähr 113.69 Cent, z.B von C bis C) der chromatische Halbton oder vermehrter Einklang (A1), während der limma (ungefähr 90.23 Cent, z.B von C bis D) der diatonische Halbton, oder geringe Sekunde (m2) ist.

Ein ditone (oder Hauptdrittel) ist ein durch zwei Haupttöne gebildeter Zwischenraum. In der Pythagoreischen Einstimmung hat ein Hauptton eine Größe von ungefähr 203.9 Cent (Frequenzverhältnis 9:8), so ist ein Pythagoreischer ditone ungefähr 407.8 Cent.

Größe

Die Größe eines Pythagoreischen Kommas, das in Cents gemessen ist, ist

:

oder mehr genau, in Bezug auf Frequenzverhältnisse:

:

\frac {3^7/2^ {11}} {2^8/3^5 }\

\frac {3^ {12}} {2^ {19} }\

\frac {531441} {524288 }\

1.0136432647705078125

\! </Mathematik>

Kreis von Fünfteln und Enharmonic-Änderung

Vom Pythagoreischen Komma kann auch als die Diskrepanz zwischen zwölf zurecht abgestimmten vollkommenen Fünfteln (Verhältnis 3:2) und sieben Oktaven (Verhältnis 2:1) gedacht werden:

:

\left (\tfrac32\right) ^ {12} \! \! \big/\, 2^ {7 }\

\frac {3^ {12}} {2^ {19} }\

\frac {531441} {524288 }\

1.0136432647705078125

\! </Mathematik>

| valign = "Spitze" |

| }\

Im folgenden Tisch von Musikskalen im Kreis von Fünfteln ist das Pythagoreische Komma als der kleine Zwischenraum zwischen z.B sichtbar. F und G.

Die 6 und die 6 scales* sind nicht identisch - wenn auch sie auf der Klavier-Tastatur sind - aber die Skalen sind ein Pythagoreisches Komma tiefer. Das Ignorieren dieses Unterschieds führt zu Enharmonic-Änderung.

Dieser Zwischenraum hat ernste Implikationen für die verschiedenen stimmenden Schemas der chromatischen Skala, weil in der Westmusik 12 vollkommene Fünftel und sieben Oktaven als derselbe Zwischenraum behandelt werden. Gleiches Temperament, heute das allgemeinste stimmende im Westen verwendete System, hat das durch das Flachdrücken von jedem beigelegt, der durch ein zwölfte von einem Pythagoreischen Komma (etwa 2 Cent), so das Produzieren vollkommener Oktaven fünft ist.

Eine andere Weise, das auszudrücken, besteht darin, dass gerade fünft ein Frequenzverhältnis (im Vergleich zum Stärkungsmittel) von 3:2 oder 1.5 zu 1 hat, wohingegen der siebente Halbton (gestützt auf 12 gleichen logarithmischen Abteilungen einer Oktave) die siebente Macht der zwölften Wurzel zwei oder 1.4983... zu 1 ist, der nicht ganz dasselbe (durch ungefähr 0.1 %) ist. Nehmen Sie gerade fünft zur zwölften Macht, dann ziehen Sie sieben Oktaven ab, und Sie bekommen das Pythagoreische Komma (ungefähr 1.4 % Unterschied).

Geschichte

Chinesische Mathematiker waren des Pythagoreischen Kommas schon in 122 v. Chr. bewusst gewesen (über seine Berechnung wird in Huainanzi ausführlich berichtet), und um 50 v. Chr., Ching Fang hat entdeckt, dass, wenn der Zyklus von vollkommenen Fünfteln darüber hinaus 12 den ganzen Weg zu 53 fortgesetzt wurde, der Unterschied zwischen diesem 53. Wurf und dem Startwurf viel kleiner sein würde als das Pythagoreische Komma. Dieser viel kleinere Zwischenraum wurde später das Komma von Mercator genannt (sieh: Geschichte von 53 gleichem Temperament).

Das erste, um das Verhältnis des Kommas 531441:524288 zu erwähnen, war Euklid, der als eine Basis den ganzen Ton des Pythagoreers nimmt, der mit dem Verhältnis 9:8, die Oktave mit dem Verhältnis 2:1, und eine Zahl A = 262144 stimmt. Er beschließt, dass das Steigern dieser Anzahl durch sechs ganze Töne einen Wert G nachgibt, der größer ist als das, das durch die Aufhebung davon durch eine Oktave (zweimal A) nachgegeben ist. Er gibt G, um 531441 zu sein. Die notwendigen Berechnungen lesen:

Berechnung von G:

::

Berechnung des doppelten von A:

::

Siehe auch

• Komma von Holdrian
• Schisma