In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik bilden Hauptmomente einen Satz von Werten, durch die die Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsvertriebs nützlich charakterisiert werden können. Hauptmomente werden in der Bevorzugung vor gewöhnlichen Momenten verwendet, weil dann sich die höherwertigen Mengen der Werte nur auf die Ausbreitung und Gestalt des Vertriebs, aber nicht zu seiner Position beziehen.

Sätze von Hauptmomenten können sowohl für univariate als auch für multivariate Vertrieb definiert werden.

Momente von Univariate

Der k Moment über das bösartige (oder k Hauptmoment) einer reellwertigen zufälligen Variable X sind die Menge μ: = E [(X − E [X])], wo E der Erwartungsmaschinenbediener ist. Für einen dauernden univariate Wahrscheinlichkeitsvertrieb mit der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion f (x) ist der Moment über den Mittel-μ

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Für zufällige Variablen, die nicht bösartig wie der Vertrieb von Cauchy haben, werden Hauptmomente nicht definiert.

Die ersten paar Hauptmomente haben intuitive Interpretationen:

• Der "zeroth" Hauptmoment μ ist derjenige.
• Der erste Hauptmoment μ ist Null (um mit dem ersten Moment selbst, dem erwarteten Wert oder bösartig nicht verwirrt zu sein).
• Der zweite Hauptmoment μ wird die Abweichung genannt, und wird gewöhnlich σ angezeigt, wo σ die Standardabweichung vertritt.
• Die dritten und vierten Hauptmomente werden verwendet, um die standardisierten Momente zu definieren, die verwendet werden, um Schiefe und kurtosis beziehungsweise zu definieren.

Eigenschaften

Der n-te Hauptmoment ist Übersetzung-invariant, d. h. für jede zufällige Variable X und jeden unveränderlichen c, wir haben

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Für den ganzen n ist der n-te Hauptmoment vom Grad n homogen:

:

Nur für n  3 tun wir haben ein Additivitätseigentum für zufällige Variablen X und Y, die unabhängig sind:

:

Ein zusammenhängender funktioneller, der die Übersetzung-invariance und Gleichartigkeitseigenschaften mit dem n-ten Hauptmoment teilt, aber fortsetzt, dieses Additivitätseigentum zu haben, selbst wenn n  4 der n-te cumulant κ (X) ist. Für n = 1 ist der n-te cumulant gerade der erwartete Wert; für n = entweder 2 oder 3 ist der n-te cumulant gerade der n-te Hauptmoment; für n  4 ist der n-te cumulant ein n-ter Grad monic Polynom in den ersten n Momenten (über die Null), und ist auch ein (einfacheres) Polynom des n-ten Grads in den ersten n Hauptmomenten.

Beziehung zu Momenten über den Ursprung

Manchmal ist es günstig, Momente über den Ursprung zu Momenten über das bösartige umzuwandeln. Die allgemeine Gleichung, für den N-Ordnungsmoment über den Ursprung zum Moment über das bösartige umzuwandeln, ist

:

\mu_n = \sum_ {j=0} ^n {n \choose j} (-1) ^ {n-j} \mu' _j \mu^ {n-j},

</Mathematik>

wo μ der bösartige vom Vertrieb ist, und der Moment über den Ursprung durch gegeben wird

:

\mu' _j = \int_ {-\infty} ^ {+ \infty} x^j f (x) \, dx.

</Mathematik>

Für die Fälle n = 2, 3, 4 — die vom grössten Teil des Interesses wegen der Beziehungen zur Abweichung, Schiefe und kurtosis beziehungsweise sind — wird diese Formel (Anmerkung davon):

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Momente von Multivariate

Für einen dauernden bivariate Wahrscheinlichkeitsvertrieb mit der Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion f (x, y) (j, k) ist der Moment über den Mittel-μ = (μ, μ)

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Siehe auch

• Bildmoment