In der Graph-Theorie, einem Gebiet der Mathematik, ist ein Zyklus-Raum ein von einem ungeleiteten Graphen definierter Vektorraum; Elemente des Zyklus-Raums vertreten formelle Kombinationen von Zyklen im Graphen.

Zyklus-Räume erlauben, die Werkzeuge der geradlinigen Algebra zu verwenden, um Graphen zu studieren. Eine Zyklus-Basis ist eine Reihe von Zyklen, der den Zyklus-Raum erzeugt.

Der binäre Zyklus-Raum

Lassen Sie G ein begrenzter einfacher ungeleiteter Graph mit Rand-Satz-E sein. Der Macht-Satz von E wird ein Z-Vektorraum, wenn wir den symmetrischen Unterschied als Hinzufügung, Identitätsfunktion als Ablehnung und leerer Satz als Null nehmen. Die Ein-Element-Sätze bilden eine Basis, so ist seine Dimension der Zahl von Rändern von G gleich. Weil jedes Element dieses Vektorraums eine Teilmenge von E ist, kann es als eine Anzeigefunktion des Typs betrachtet werden, dann fällt dieser Vektorraum mit dem freien Z-Modul mit der Basis E zusammen. Das ist der (binäre) Rand-Raum von G.

Ein wichtiger Subraum des Rand-Raums ist der (binäre) Zyklus-Raum. Es ist definitionsgemäß der Subraum, der durch (die Rand-Sätze) alle einfachen Zyklen des Graphen erzeugt ist. Die Hinzufügung von zwei

Zyklen (gezeigt geschleudert) werden in der Zahl illustriert.

Bemerken Sie, dass das Ergebnis hier (auch gezeigt geschleudert) nicht ein einfacher Zyklus, aber eine mit dem Rand zusammenhanglose Vereinigung von zwei einfachen Zyklen ist.

Es gibt mehrere grundlegende Ergebnisse bezüglich des Zyklus-Raums. Der symmetrische Unterschied von zwei einfachen Zyklen ist entweder ein einfacher Zyklus oder eine Vereinigung von mit dem Rand zusammenhanglosen einfachen Zyklen. Mit dieser Beobachtung kann man zeigen, dass ein Rand-Satz im Zyklus-Raum ist, wenn, und nur wenn es eine zusammenhanglose Vereinigung von einfachen Zyklen ist. Ausgedrückt ein anderer Weg: Der Satz F Ränder ist im Zyklus-Raum, wenn, und nur wenn jeder Scheitelpunkt im durch F abgemessenen Subgraphen sogar Grad hat.

Es ist nicht notwendig, alle Zyklen zu verwenden, um den Zyklus-Raum zu erzeugen: Wenn G verbunden wird und jeder Überspannen-Baum T G gegeben wird, dann bilden die grundsätzlichen Zyklen von T eine Basis des Zyklus-Raums, der als eine Zyklus-Basis bekannt ist. Die Dimension des Zyklus-Raums eines verbundenen Graphen ist so mit der Zahl von Scheitelpunkten und den Rändern des Graphen verbunden. Wenn der Graph n Scheitelpunkte und M Ränder dann hat, ist die Dimension M − n + 1. In einem planaren Graphen schafft der Satz von Innengesichtern eines Einbettens des Graphen auch eine Zyklus-Grundlage.

Eine wichtige Anwendung des Zyklus-Raums ist das planarity Kriterium von Whitney und das planarity Kriterium der Mac Lane, die eine algebraische Charakterisierung der planaren Graphen geben.

Der integrierte Zyklus-Raum

Die vorhergehende Entwicklung kann über die ganzen Zahlen, Z ausgeführt werden. Der integrierte Rand-Raum ist die abelian Gruppe Z Funktionen vom Rand-Satz-E bis die ganzen Zahlen. Es ist (für die Notation) notwendig, eine willkürliche Orientierung des Graphen zu wählen, um den Zyklus-Raum zu definieren, aber die Definition hängt von dieser Wahl nicht ab. Ein integrierter Zyklus ist eine solche Funktion, dass die Summe von Werten an Rändern, die in einen Scheitelpunkt x orientiert sind, der Summe von Werten an Rändern gleichkommt, die aus x, für jeden Scheitelpunkt x orientiert sind. Der Satz von integrierten Zyklen ist eine Untergruppe des integrierten Rand-Raums. Ein Zyklus, der nie die Wertnull nimmt, wird nirgends Null genannt.

Das Umkehren der Orientierung eines Randes verneint den Wert eines Zyklus an diesem Rand. Es ist in diesem Sinn, dass die Theorie der willkürlichen Orientierung unabhängig ist. In Anbetracht irgendwelchen Zyklus kann die Orientierung gewählt werden, so dass Zyklus nur nichtnegative Werte nimmt.

Ein integrierter Zyklus, dessen maximaler absoluter Wert an jedem Rand weniger ist als k, eine positive ganze Zahl, wird manchmal genannt ein K-Fluss auf G. W.T. Tutte hat eine umfassende Theorie von nirgends NullK-Flüssen entwickelt, die in mancher Hinsicht zu diesem des Graph-Färbens Doppel-ist.

Der Zyklus-Raum über einen Feld- oder Ersatzring

Der Aufbau des integrierten Zyklus-Raums kann für jedes Feld, abelian Gruppe, oder (am meisten allgemein) Ersatzring (mit der Einheit) R das Ersetzen der ganzen Zahlen ausgeführt werden. Wenn R ein Feld ist, ist der Zyklus-Raum ein Vektorraum über R mit der Dimension M - n + c, wo c die Zahl von verbundenen Bestandteilen von G ist. Wenn R ein Ersatzring ist, ist der Zyklus-Raum ein freies R-Modul mit der Reihe M - n + c.

Wenn R eine abelian Gruppe ist, kann solch ein Zyklus auch einen R-Fluss auf G genannt werden. Nirgends NullR-Flüsse für eine begrenzte abelian Gruppe R k Elemente sind mit integrierten nirgends NullK-Flüssen in der Theorie von Tutte verbunden. Die Zahl von nirgends NullR-Zyklen ist eine Einschätzung des Polynoms von Tutte, das zur Zahl von richtigem colorings des Graphen (Tutte, 1984, Abschnitt IX.4) Doppel-ist.

• R. Diestel, Graph-Theorie (2. Ausgabe), Springer-Verlag, Berlin, 2000.
• W.T. Tutte, Graph-Theorie, Addison-Wesley, das Lesen, Massachusetts, 1984. Sieh Kapitel VIII.