Orthogonality kommt aus dem griechischen orthos, "gerade", und gonia vorhabend, "Winkel" vorhabend. Es hat etwas verschiedene Bedeutungen abhängig vom Zusammenhang, aber die meisten schließen die Idee von der Senkrechte, Nichtüberschneidung ein, sich unabhängig, oder unkorreliert ändernd.

In der Mathematik sind zwei Linien oder Kurven orthogonal, wenn sie an ihrem Punkt der Kreuzung rechtwinklig sind. Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn, und nur wenn ihr Punktprodukt Null ist. In der Informatik ist orthogonality mit der Fähigkeit einer Sprache, Methode oder Gegenstands verbunden, sich ohne Nebenwirkungen zu ändern. Wenn sich zwei Statistiken unabhängig von einander ändern, werden sie orthogonal betrachtet.

Mathematik

In der Mathematik sind zwei Vektoren orthogonal, wenn sie rechtwinklig sind, d. h. sie bilden einen richtigen Winkel. Das Wort kommt aus dem Griechen (orthos), "gerade", und (gonia) bedeutend, "Winkel" bedeutend.

Definitionen

• Zwei Vektoren, und, in einem Skalarprodukt-Raum sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt Null ist. Diese Beziehung wird angezeigt.
• Zwei Vektor-Subräume, und, eines Skalarprodukt-Raums werden orthogonale Subräume genannt, wenn jeder Vektor darin zu jedem Vektoren darin orthogonal ist. Der größte Subraum davon ist zu einem gegebenen Subraum orthogonal ist seine orthogonale Ergänzung.
• Eine geradlinige Transformation wird eine orthogonale geradlinige Transformation genannt, wenn sie das Skalarprodukt, und so den Winkel zwischen und die Längen von Vektoren bewahrt. D. h. für alle Paare von Vektoren und im Skalarprodukt-Raum.

Wie man

• sagt, ist ein Begriff-Neuschreiben-System orthogonal, wenn es nach links geradlinig ist und nichtzweideutig ist. Orthogonale Begriff-Neuschreiben-Systeme sind Nebenfluss.
• Kurven oder Funktionen im Flugzeug sind an einer Kreuzung orthogonal, wenn ihre Tangente-Linien an diesem Punkt rechtwinklig sind.

Eine Reihe von Vektoren wird pairwise orthogonal genannt, wenn jede Paarung von ihnen orthogonal ist; solch ein Satz wird einen orthogonalen Satz genannt. Nichtnull pairwise orthogonale Vektoren ist immer linear unabhängig.

In bestimmten Fällen wird das normale Wort verwendet, um orthogonal, besonders im geometrischen Sinn als im normalen zu einer Oberfläche zu bedeuten. Zum Beispiel - ist Achse zur Kurve am Ursprung normal. Jedoch, normal kann sich auch auf den Umfang eines Vektoren beziehen. Insbesondere ein Satz wird orthonormal genannt (orthogonal + normal), wenn es ein orthogonaler Satz von Einheitsvektoren ist. Infolgedessen wird der Gebrauch des Begriffes, der normal ist, um zu bedeuten, "orthogonal" häufig vermieden.

Euklidische Vektorräume

In 2- oder hoch-dimensionaler Euklidischer Raum sind zwei Vektoren orthogonal, wenn ihr Punktprodukt Null ist, d. h. sie einen Winkel von 90 ° oder π/2 radians machen. Folglich ist orthogonality von Vektoren eine Erweiterung des Konzepts rechtwinkliger Vektoren in hoch-dimensionale Räume. In Bezug auf Euklidische Subräume ist die orthogonale Ergänzung einer Linie die Flugzeug-Senkrechte dazu, und umgekehrt. Bemerken Sie jedoch, dass es keine Ähnlichkeit hinsichtlich rechtwinkliger Flugzeuge gibt, weil Vektoren in Subräumen vom Ursprung anfangen.

Im 4-dimensionalen Euklidischen Raum ist die orthogonale Ergänzung einer Linie ein Hyperflugzeug und umgekehrt, und dieses eines Flugzeugs ist ein Flugzeug.

Orthogonale Funktionen

Es ist üblich, das folgende Skalarprodukt für zwei Funktionen f und g zu verwenden:

:

Hier führen wir eine nichtnegative Gewicht-Funktion in der Definition dieses Skalarprodukts ein.

Wir sagen, dass jene Funktionen orthogonal sind, wenn dieses Skalarprodukt Null ist:

:

Wir schreiben die Normen in Bezug auf dieses Skalarprodukt und die Gewicht-Funktion als

:

Die Mitglieder von einer Reihe von Funktionen {f: ich = 1, 2, 3...} sind:

• orthogonal auf dem Zwischenraum [a, b] wenn

:

• orthonormal auf dem Zwischenraum [a, b] wenn

:

wo

:

ist das Delta von Kronecker. Mit anderen Worten sind irgendwelche zwei von ihnen orthogonal, und die Norm von jedem ist 1 im Fall von der orthonormalen Folge. Sieh in besonderen orthogonalen Polynomen.

Beispiele

• Die Vektoren (1, 3, 2), (3, −1, 0), (1/3, 1, −5/3) sind zu einander, seitdem (1) (3) + (3) (−1) + (2) (0) = 0, (3) (1/3) + (−1) (1) + (0) (−5/3) = 0, und (1) (1/3) + (3) (1) + (2) (−5/3) = 0 orthogonal.
• Die Vektoren (1, 0, 1, 0...) und (0, 1, 0, 1...) sind zu einander orthogonal. Das Punktprodukt dieser Vektoren ist 0. Wir können dann die Generalisation machen, um die Vektoren in Z zu denken:

::

:for eine positive ganze Zahl a, und für 1  k  − 1 sind diese Vektoren, zum Beispiel (1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1) orthogonal, (0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0) sind orthogonal.

• Nehmen Sie zwei quadratische Funktionen 2t + 3 und 5t + t − 17/9. Diese Funktionen sind in Bezug auf eine Einheitsgewicht-Funktion auf dem Zwischenraum von −1 bis 1 orthogonal. Das Produkt dieser zwei Funktionen ist 10t + 17t − 7/9 t − 17/3, und jetzt,

::

\begin {richten }\aus

& {} \qquad \int_ {-1} ^1 \left (10t^3+17t^2-{7\over 9} t-{17\over 3 }\\Recht) \, dt \\[6pt]

& = \left [{5\over 2} t^4 + {17\over 3} t^3-{7\over 18} t^2-{17\over 3} t \right] _ {-1} ^1 \\[6pt]

& = \left ({5\over 2} (1) ^4 + {17\over 3} (1) ^3-{7\over 18} (1) ^2-{17\over 3} (1) \right)-\left ({5\over 2} (-1) ^4 + {17\over 3} (-1) ^3-{7\over 18} (-1) ^2-{17\over 3} (-1) \right) \\[6pt]

& = {19\over 9} - {19\over 9} = 0.

\end {richten }\aus

</Mathematik>

• Die Funktionen 1, Sünde (nx), weil (nx): n = 1, 2, 3, sind... in Bezug auf das Maß von Lebesgue auf dem Zwischenraum von 0 bis 2π orthogonal. Diese Tatsache ist zur Theorie der Reihe von Fourier zentral.

Orthogonale Polynome

• Verschiedene polynomische für Mathematiker genannte Folgen sind Folgen von orthogonalen Polynomen. Insbesondere:
• Die Hermite Polynome sind in Bezug auf die Normalverteilung mit dem erwarteten Wert 0 orthogonal.
• Die Legendre Polynome sind in Bezug auf die Rechteckverteilung auf dem Zwischenraum von &minus;1 bis 1 orthogonal.
• Die Polynome von Laguerre sind in Bezug auf den Exponentialvertrieb orthogonal. Etwas mehr Polynom-Folgen von General Laguerre sind in Bezug auf den Gammavertrieb orthogonal.
• Die Polynome von Tschebyscheff der ersten Art sind in Bezug auf das Maß orthogonal
• Die Polynome von Tschebyscheff der zweiten Art sind in Bezug auf den Halbkreis-Vertrieb von Wigner orthogonal.

Orthogonale Staaten in der Quant-Mechanik

• In der Quant-Mechanik sind zwei eigenstates eines Maschinenbedieners von Hermitian, und, orthogonal, wenn sie verschiedenem eigenvalues entsprechen. Das, bedeutet in der Notation von Dirac, das, wenn und demselben eigenvalue nicht entsprechen. Das folgt aus der Tatsache, dass die Gleichung von Schrödinger eine Sturm-Liouville Gleichung (in der Formulierung von Schrödinger) ist, oder dass observables von hermitian Maschinenbedienern (in der Formulierung von Heisenberg) gegeben werden.

Kunst und Architektur

In der Kunst hat sich die Perspektive vorgestellt, dass Linien, die zum verschwindenden Punkt hinweisen, 'orthogonale Linien' genannt werden.

Der Begriff "orthogonale Linie" hat häufig eine ziemlich verschiedene Bedeutung in der Literatur der modernen Kunstkritik. Viele Arbeiten von Malern wie Piet Mondrian und Burgoyne Diller werden für ihren exklusiven Gebrauch "orthogonaler Linien" — nicht, jedoch, bezüglich der Perspektive, aber ziemlich beziehend auf Linien bemerkt, die gerade und exklusiv horizontal oder vertikal sind, richtige Winkel bildend, wo sie sich schneiden. Zum Beispiel stellt ein Aufsatz an der Website des Thyssen-Bornemisza Museums fest, dass "Mondrian.... seinen kompletten oeuvre der Untersuchung des Gleichgewichtes zwischen orthogonalen Linien und primären Farben gewidmet hat."

http://www.museothyssen.org/thyssen_ing/coleccion/obras_ficha_texto_print497.html

Informatik

Orthogonality ist ein Systemdesigneigentum, das versichert, dass das Ändern der technischen Wirkung, die durch einen Bestandteil eines Systems erzeugt ist, weder schafft noch Nebenwirkungen zu anderen Bestandteilen des Systems fortpflanzt. Normalerweise erreicht durch die Trennung von Sorgen und encapsulation ist es für ausführbare und kompakte Designs von komplizierten Systemen notwendig. Das auftauchende Verhalten eines Systems, das aus Bestandteilen besteht, sollte ausschließlich durch formelle Definitionen seiner Logik und nicht durch Nebenwirkungen kontrolliert werden, die sich aus schlechter Integration, d. h. nichtorthogonalem Design von Modulen und Schnittstellen ergeben. Orthogonality reduziert Prüfung und Entwicklungsdauer, weil es leichter ist, Designs nachzuprüfen, dass weder Nebenwirkungen verursachen Sie noch von ihnen abhängen Sie.

Zum Beispiel hat ein Auto orthogonale Bestandteile, und Steuerungen (z.B das Fahrzeug beschleunigend, beeinflusst nichts anderes außer den Bestandteilen beteiligt exklusiv mit der Beschleunigungsfunktion). Andererseits könnte ein nichtorthogonales Design seinen steuernden Einfluss sein Bremsen (z.B elektronische Stabilitätskontrolle) haben, oder seine Geschwindigkeit zwickt seine Suspendierung. Folglich, wie man sieht, wird dieser Gebrauch aus dem Gebrauch von orthogonalen in der Mathematik abgeleitet: Man kann einen Vektoren auf einen Subraum planen, indem man es auf jedes Mitglied von einer Reihe von Basisvektoren getrennt plant und die Vorsprünge hinzufügt, wenn, und nur wenn die Basisvektoren gegenseitig orthogonal sind.

Wie man

sagt, ist ein Befehlssatz orthogonal, wenn er an Überfülle Mangel hat (d. h. es nur eine einzelne Instruktion gibt, die verwendet werden kann, um eine gegebene Aufgabe zu vollbringen), und solch entworfen wird, dass Instruktionen jedes Register in jeder Wenden-Weise verwenden können. Diese Fachsprache-Ergebnisse vom Betrachten einer Instruktion als ein Vektor, dessen Bestandteile die Instruktionsfelder sind. Ein Feld identifiziert die Register, die darauf zu bedienen sind, und ein anderer gibt die Wenden-Weise an. Ein orthogonaler Befehlssatz verschlüsselt einzigartig alle Kombinationen von Registern und Wenden-Weisen.

Kommunikationen

In Kommunikationen sind Schemas des vielfachen Zugangs orthogonal, wenn ein idealer Empfänger willkürlich starke unerwünschte Signale mit verschiedenen Basisfunktionen vom gewünschten Signal völlig zurückweisen kann. Ein solches Schema ist TDMA, wo die orthogonalen Basisfunktionen auf Rechteckimpulse ("Zeitschlitze") nichtübergreifen.

Ein anderes Schema ist orthogonale gleichzeitig sendende Frequenzabteilung (OFDM), die sich auf den Gebrauch durch einen einzelnen Sender von gleichzeitig gesandten Signalen der einer Reihe der Frequenz mit der genauen minimalen Frequenz bezieht, musste der Abstand sie orthogonal machen, so dass sie einander nicht stören. Weithin bekannte Beispiele schließen (a, g, und n) Versionen von 802.11 Wi-Fi ein; WiMAX; ITU-T G.hn, DVB-T, hat das Landdigitalfernsehen System übertragen, das im grössten Teil der Welt außerhalb Nordamerikas verwendet ist; und DMT, die Standardform von ADSL.

In OFDM werden die Unterträger-Frequenzen gewählt, so dass die Unterträger zu einander orthogonal sind, bedeutend, dass das Quer-Gespräch zwischen den Unterkanälen beseitigt wird und Zwischentransportunternehmen-Wächter-Bänder nicht erforderlich sind. Das vereinfacht außerordentlich das Design sowohl des Senders als auch des Empfängers; verschieden von herkömmlichem FDM ist ein getrennter Filter für jeden Unterkanal nicht erforderlich.

Statistik, econometrics, und Volkswirtschaft

Wenn

sie statistische Analyse durchführen, wie man sagt, sind unabhängige Variablen, die eine besondere abhängige Variable betreffen, orthogonal, wenn sie unkorreliert sind, da die Kovarianz ein Skalarprodukt bildet. In diesem Fall werden dieselben Ergebnisse für die Wirkung von einigen der unabhängigen Variablen auf die abhängige Variable, unabhängig von ob Modelle die Effekten der Variablen individuell mit dem einfachen rückwärts Gehen oder gleichzeitig mit dem vielfachen rückwärts Gehen erhalten. Wenn Korrelation da ist, sind die Faktoren nicht orthogonale und verschiedene Ergebnisse werden durch die zwei Methoden erhalten. Dieser Gebrauch entsteht aus der Tatsache, dass, wenn in den Mittelpunkt gestellt (durch das Abziehen des erwarteten Werts (das bösartige)) unkorrelierte Variablen im geometrischen Sinn orthogonal sind, der oben, beide als beobachtete Daten (d. h. Vektoren) und als zufällige Variablen (d. h. Dichte-Funktionen) besprochen ist.

Ein econometric Formalismus, der zum maximalen Wahrscheinlichkeitsfachwerk, der Verallgemeinerten Methode von Momenten alternativ ist, verlässt sich auf orthogonality Bedingungen. Insbesondere das Übliche Kleinster Quadratvorkalkulator kann aus einer orthogonality Bedingung zwischen vorausgesagten abhängigen Variablen und Modell residuals leicht abgeleitet werden.

Taxonomie

In der Taxonomie ist eine orthogonale Klassifikation diejenige, in der kein Artikel ein Mitglied von mehr als einer Gruppe ist, d. h. sind die Klassifikationen gegenseitig exklusiv.

Combinatorics

In combinatorics, zwei n&times;n, wie man sagt, sind lateinische Quadrate orthogonal, wenn ihre Überlagerung alle möglichen n Kombinationen von Einträgen nachgibt.

Chemie

In der synthetischen organischen Chemie ist orthogonaler Schutz eine Strategie, die den deprotection von funktionellen Gruppen unabhängig von einander erlaubt.

Systemzuverlässigkeit

Im Feld der Systemzuverlässigkeit ist orthogonale Überfülle, dass die Form der Überfülle, wo die Form des Aushilfsgeräts oder der Methode vom anfälligen bis Fehlergerät oder Methode völlig verschieden ist. Die Misserfolg-Weise eines orthogonal überflüssigen Aushilfsgeräts oder Methode schneidet sich damit nicht und ist von der Misserfolg-Weise des Geräts oder der Methode im Bedürfnis nach der Überfülle völlig verschieden, das Gesamtsystem gegen den katastrophalen Misserfolg zu schützen.

Neuroscience

In neuroscience wird eine Sinneskarte im Gehirn, das das überlappende Stimulus-Codieren hat (z.B Position und Qualität) eine orthogonale Karte genannt.

Siehe auch

• Orthogonalization
• Prozess des Gramms-Schmidt
• Orthogonale Ergänzung
• Orthonormality
• Pan-Orthogonality kommt in coquaternions vor
• Orthonormale Basis
• Orthogonale Polynome
• Orthogonale Matrix
• Orthogonale Gruppe
• Normaler Oberflächen-
• Imaginäre Zahl
• Isogonal
• Schussbahn von Isogonal
• Kapitel 4 - Compactness und Orthogonality in Der Kunst von Unix, der Programmiert