In der Mathematik, spezifisch Modul-Theorie, sind Vernichter ein Konzept, das Verdrehung und orthogonale Ergänzung verallgemeinert.

Definitionen

Lassen Sie R ein Ring sein, und M ein linkes R-Modul sein zu lassen. Wählen Sie eine nichtleere Teilmenge S der M. Der Vernichter, angezeigte Ann (S), S ist der Satz aller Elemente r in solchem R dass für jeden s in S, rs = 0: In der Satz-Notation,

Es ist der Satz aller Elemente von R, die S "vernichten" (die Elemente, für die S Verdrehung ist). Teilmengen von richtigen Modulen können ebenso, nach der Modifizierung "sr =0" in der Definition verwendet werden.

Der Vernichter eines einzelnen Elements x ist gewöhnlich schriftliche Ann (x) statt Anns ({x}). Wenn der Ring R vom Zusammenhang verstanden werden kann, kann die Subschrift R weggelassen werden.

Da S genommen werden kann, um eine Teilmenge von R selbst zu sein, und R sowohl ein Recht als auch ein linkes R Modul ist, muss die Notation ein bisschen modifiziert werden, um den verlassenen oder die richtige Seite anzuzeigen. Gewöhnlich und oder wird ein ähnliches Subschrift-Schema verwendet, um den verlassenen und die richtigen Vernichter nötigenfalls anzuzeigen.

Wenn M ein R Modul und Ann (M) =0 ist, dann wird M ein treues Modul genannt.

Eigenschaften

Wenn S eine Teilmenge eines linken R Moduls M, dann Ann (S) verlassen Ideal von R ist. Der Beweis ist aufrichtig: Wenn a und b beide S, dann für jeden s in S, (+ b) s = als + Bakkalaureus der Naturwissenschaften = 0, und für einen r in R, (ra) s = r (als) = r0 = 0 vernichten. (Ein ähnlicher Beweis folgt für Teilmengen von richtigen Modulen, um zu zeigen, dass der Vernichter ein richtiges Ideal ist.)

Wenn S ein Untermodul der M ist, dann ist Ann (x) sogar ein zweiseitiges Ideal: (Ac) s = (cs) = 0 da ist cs ein anderes Element von S.

Wenn S eine Teilmenge der M ist und N das Untermodul der durch S erzeugten M ist, dann in General Ann ist (N) eine Teilmenge von Ann (S), aber sie sind nicht notwendigerweise gleich. Wenn R auswechselbar ist, dann ist es leicht zu überprüfen, dass Gleichheit hält.

M kann auch als ein R/Ann (M) - Modul mit der Handlung angesehen werden. Beiläufig ist es nicht immer möglich, ein R Modul in ein R/I Modul diesen Weg zu machen, aber wenn das Ideal ich bin eine Teilmenge des Vernichters der M, dann diese Handlung, gut definiert wird. Betrachtet als ein R/Ann (M) - Modul ist M automatisch ein treues Modul.

Kettenbedingungen auf Vernichter-Idealen

Das Gitter von Idealen der Form, wo S eine Teilmenge von R ist, umfasst ein ganzes Gitter, wenn teilweise bestellt, durch die Einschließung. Es ist interessant, Ringe zu studieren, für die dieses Gitter (oder sein richtiger Kollege) die steigende Kettenbedingung oder hinuntersteigende Kettenbedingung befriedigen.

Zeigen Sie das Gitter von linken Vernichter-Idealen von R als und das Gitter von richtigen Vernichter-Idealen von R als an. Es ist bekannt, dass das den A.C.C. befriedigt, wenn, und nur wenn den D.C.C befriedigt. und befriedigt symmetrisch den A.C.C., wenn, und nur wenn den D.C.C befriedigt. Wenn jedes Gitter jede dieser Kettenbedingungen hat, dann hat R keine unendlichen orthogonalen Sätze von idempotents.

Wenn R ein Ring ist, für den den A.C.C. befriedigt und R begrenzte gleichförmige Dimension hat, dann wird R einen linken Ring von Goldie genannt.

Kategorie theoretische Beschreibung für Ersatzringe

Wenn R auswechselbar ist und M ein R-Modul ist, können wir Ann (M) als der Kern des Handlungskarte-REnd (M) bestimmt durch die beigeordnete Karte der Identität MM entlang dem Hom-Tensor adjunction beschreiben.

Mehr allgemein, in Anbetracht einer bilinearen Karte von Modulen, ist der Vernichter einer Teilmenge der Satz aller Elemente darin vernichten Sie:

Umgekehrt, gegeben, kann man einen Vernichter als eine Teilmenge dessen definieren.

Der Vernichter gibt eine Verbindung von Galois zwischen Teilmengen und, und der verbundene Verschluss-Maschinenbediener ist stärker als die Spanne.

Insbesondere:

• Vernichter sind Untermodule

Ein wichtiger spezieller Fall ist in Gegenwart von einer nichtdegenerierten Form auf einem Vektorraum, besonders ein Skalarprodukt: Dann wird der zur Karte vereinigte Vernichter die orthogonale Ergänzung genannt.

Beziehungen zu anderen Eigenschaften von Ringen

• Vernichter werden verwendet, um verlassen Ringe von Rickart und Ringe von Baer zu definieren.
• Der Satz von (linken) Nullteilern D S kann als geschrieben werden

(Hier erlauben wir Null, ein Nullteiler zu sein.)

Besonderer D von:In ist der Satz von (linken) Nullteilern von R, wenn S = R und R sich als ein linkes R-Modul folgt.

• Wenn R auswechselbar ist, ist der Satz D der Vereinigung der minimalen Hauptideale von R genau gleich.

Siehe auch

• Sockel

Zeichen

• Israel Nathan Herstein (1968) Nichtersatzringe, Carus Mathematische Monografien #15, Mathematische Vereinigung Amerikas, Seite 3.
• Richard S. Pierce. Assoziative Algebra. Absolvententexte in der Mathematik, Vol. 88, Springer-Verlag, 1982, internationale Standardbuchnummer 9780387906935