In der Zahlentheorie ist das Kriterium von Euler eine Formel, um zu bestimmen, ob eine ganze Zahl ein quadratischer Rückstand modulo eine Blüte ist. Genau,

Lassen Sie p eine sonderbare Blüte und eine ganze Zahl coprime zu p sein. Dann

:

a^ {\\tfrac {p-1} {2}} \equiv

\begin {Fälle }\

\; \; \, 1\pmod {p} & \text {wenn es eine ganze Zahl} x \text {solch dass} a\equiv X^2 \pmod {p }\\\gibt

- 1\pmod {p} & \text {wenn es keinen solchen integer. }\gibt

\end {Fälle }\

</Mathematik>

Das Kriterium von Euler kann mit dem Symbol von Legendre kurz wiederformuliert werden:

:

\left (\frac {p }\\Recht) \equiv a^ {(p-1)/2} \pmod p.

</Mathematik>

Das Kriterium ist zuerst in einem 1748-Vortrag von Euler erschienen.

Beweis

Der Beweis verwendet Tatsache, dass die Rückstand-Klassen modulo eine Primzahl ein Feld sind. Sieh den Artikel Hauptfeld für mehr Details. Die Tatsache, dass es (p  1)/2 quadratische Rückstände und dieselbe Zahl von Nichtrückständen gibt (mod p) wird im Artikel quadratischer Rückstand bewiesen.

Der kleine Lehrsatz von Fermat sagt das

:

a^ {p-1 }\\equiv 1 \pmod p.

</Mathematik>

Das kann als geschrieben werden

:

(a^ {\\tfrac {p-1} {2}}-1) (a^ {\\tfrac {p-1} {2}} +1) \equiv 0 \pmod p.

</Mathematik>

Seit den ganzen Zahlen mod bilden p

ein Feld, ein oder die anderen dieser Faktoren muss zur Null kongruent sein.

Jetzt, wenn eines quadratischen Rückstands, &equiv zu sein; x,

:

a^ {\\tfrac {p-1} {2} }\\equiv {X^2} ^ {\\tfrac {p-1} {2} }\\equiv x^ {p-1 }\\equiv1\pmod p.

</Mathematik>

So macht jeder quadratische Rückstand (mod p) die erste Faktor-Null.

Der Lehrsatz von Lagrange sagt, dass es nicht mehr als (p  1)/2 Werte geben kann, die die erste Faktor-Null machen. Aber es ist bekannt, dass es (p  1)/2 verschiedene quadratische Rückstände (mod p) gibt. Deshalb sind sie genau die Rückstand-Klassen, die die erste Faktor-Null machen. Der andere (p  1)/2 Rückstand-Klassen, die Nichtrückstände, muss diejenigen sein, die zweite Faktor-Null machend. Das ist das Kriterium von Euler.

Beispiele

Beispiel 1: Entdeckung der Blüte für der eines Rückstands zu sein

Lassen Sie = 17. Für welche Blüte p 17 ein quadratischer Rückstand ist?

Wir können ersten p's manuell gegeben die Formel oben prüfen.

In einem Fall, p = 3 prüfend, haben wir 17 = 17  2  1 (mod 3), deshalb 17 ist nicht ein quadratischer Rückstand modulo 3.

In einem anderen Fall, p = 13 prüfend, haben wir 17 = 17  1 (mod 13), deshalb 17 ist ein quadratischer Rückstand modulo 13. Als Bestätigung, bemerken Sie dass 17  4 (mod 13), und 2 = 4.

Wir können diese Berechnungen schneller tun, indem wir verschiedene Modularithmetik und Symbol-Eigenschaften von Legendre verwenden.

Wenn wir fortsetzen, die Werte zu berechnen, finden wir:

: (17/p) = +1 für p = {13, 19...} (17 ist ein quadratischer Rückstand modulo diese Werte)

: (17/p) = 1 für p = {3, 5, 7, 11, 23...} (17 ist nicht ein quadratischer Rückstand modulo diese Werte).

Beispiel 2: Entdeckung von Rückständen gegeben ein Hauptmodul p

Welche Zahlen sind Quadrate modulo 17 (quadratische Rückstände modulo 17)?

Wir können manuell rechnen:

: 1 = 1

: 2 = 4

: 3 = 9

: 4 = 16

: 5 = 25  8 (mod 17)

: 6 = 36  2 (mod 17)

: 7 = 49  15 (mod 17)

: 8 = 64  13 (mod 17).

So ist der Satz der quadratischen Rückstände modulo 17 {1,2,4,8,9,13,15,16}. Bemerken Sie, dass wir Quadrate für die Werte 9 bis 16 nicht zu berechnen brauchten, weil sie alle Negative der vorher karierten Werte sind (z.B 9  8 (mod 17), so 9  (8) = 64  13 (mod 17)).

Wir können quadratische Rückstände finden oder sie nachprüfen, die obengenannte Formel verwendend. Um zu prüfen, wenn 2 ein quadratischer Rückstand modulo 17 ist, rechnen wir 2 = 2  1 (mod 17), so ist es ein quadratischer Rückstand. Um zu prüfen, wenn 3 ein quadratischer Rückstand modulo 17 ist, rechnen wir 3 = 3  16  1 (mod 17), so ist es nicht ein quadratischer Rückstand.

Das Kriterium von Euler ist mit dem Gesetz der quadratischen Reziprozität verbunden und wird in einer Definition der Euler-Jacobi Pseudoblüte verwendet.

Siehe auch

Referenzen

Der Disquisitiones Arithmeticae ist aus dem Ciceronian Latein von Gauss ins Englisch und Deutsch übersetzt worden. Die deutsche Ausgabe schließt alle seine Papiere auf der Zahlentheorie ein: alle Beweise der quadratischen Reziprozität, der Entschluss vom Zeichen der Summe von Gauss, der Untersuchungen der biquadratic Reziprozität und unveröffentlichten Zeichen.

Links

• Das Euler-Archiv