In der Mathematik, besonders homological Algebra und andere Anwendungen der abelian Kategorie-Theorie, ist das fünf Lemma ein wichtiges und weit verwendetes Lemma über Ersatzdiagramme.

Das fünf Lemma ist nicht nur für abelian Kategorien gültig sondern auch arbeitet in der Kategorie von Gruppen zum Beispiel.

Vom fünf Lemma kann als eine Kombination von zwei anderen Lehrsätzen, den vier Lemmata gedacht werden, die zu einander Doppel-sind.

Behauptungen

Denken Sie das folgende Ersatzdiagramm in jeder abelian Kategorie (wie die Kategorie von abelian Gruppen oder die Kategorie von Vektorräumen über ein gegebenes Feld) oder in der Kategorie von Gruppen.

Die fünf Lemma-Staaten, dass, wenn die Reihen genau sind, M und p Isomorphismus, l sind, sind ein epimorphism, und q ist ein monomorphism, dann ist n auch ein Isomorphismus.

Der zwei Vier-Lemmata-Staat:

(1) Wenn die Reihen im Ersatzdiagramm

sind

genau und M, und p sind epimorphisms, und q ist ein monomorphism, dann ist n ein epimorphism.

(2) Wenn die Reihen im Ersatzdiagramm

sind

genau und M, und p sind monomorphisms, und l ist ein epimorphism, dann ist n ein monomorphism.

Beweis

Die Methode des Beweises, den wir verwenden werden, wird allgemein das Diagramm-Verfolgen genannt. Obwohl es die Meinung zuerst zurückschrecken kann, sobald man etwas Praxis daran hat, ist es wirklich ziemlich alltäglich. Wir werden das fünf Lemma beweisen, indem wir jeden 2 vier Lemmata individuell beweisen werden.

Um das Diagramm-Verfolgen durchzuführen, nehmen wir an, dass wir in einer Kategorie von Modulen über einen Ring sind, so dass wir von Elementen der Gegenstände im Diagramm sprechen und an den morphisms des Diagramms als Funktionen (tatsächlich, Homomorphismus) denken können, jenen Elementen folgend.

Dann ist ein morphism ein monomorphism, wenn, und nur wenn es injective ist, und es ein epimorphism ist, wenn, und nur wenn es surjective ist.

Ähnlich, um uns mit Genauigkeit zu befassen, können wir an Kerne und Images in einem funktionstheoretischen Sinn denken.

Der Beweis wird noch für jede (kleine) abelian Kategorie wegen des Einbetten-Lehrsatzes von Mitchell gelten, der feststellt, dass jede kleine abelian Kategorie als eine Kategorie von Modulen über einen Ring vertreten werden kann.

Für die Kategorie von Gruppen, drehen Sie gerade die ganze zusätzliche Notation unten in die multiplicative Notation und bemerken Sie, dass commutativity nie verwendet wird.

Also, um sich (1) zu erweisen, nehmen Sie an, dass M und p surjective sind und q injective ist.

• Lassen Sie c′ seien Sie ein Element

C′.

• Da p surjective ist, dort besteht ein Element d in D mit p (d) = t (c′).
• Durch commutativity des Diagramms, u (p (d)) = q (j (d)).
• Seitdem im t = ker u durch die Genauigkeit, 0 = u (t (c′)) = u (p (d)) = q (j (d)).
• Da q injective, j (d) = 0 ist, so ist d in ker j = im h.
• Deshalb dort besteht c in C mit h (c) = d.
• Dann t (n (c)) = p (h (c)) = t (c′). Da t ein Homomorphismus, hieraus folgt dass t ist (c′ − n (c)) = 0.
• Durch die Genauigkeit, c′ − n ist (c) im Image von s, also dort besteht b′ in B′ mit s (b′) = c′ − n (c).
• Da M surjective ist, können wir b in B solch dass b&prime finden; = M (b).
• Durch commutativity, n (g (b)) = s (M (b)) = c' − n (c).
• Da n ein Homomorphismus, n ist (g (b) + c) = n (g (b)) + n (c) = c′ − n (c) + n (c) =

c′.

• Deshalb ist n surjective.

Dann, um sich (2) zu erweisen, nehmen Sie an, dass M und p injective sind und l surjective ist.

• Lassen Sie c in C dass n (c) = 0 solch sein.
• t (n (c)) ist dann 0.
• Durch commutativity, p (h (c)) = 0.
• Da p injective, h (c) = 0 ist.
• Durch die Genauigkeit gibt es ein Element b von solchem B dass g (b) = c.
• Durch commutativity, s (M (b)) = n (g (b)) = n (c) = 0.
• Durch die Genauigkeit gibt es dann ein Element a′ A′ solch dass r (a′) = M (b).
• Da l surjective ist, gibt es in Einem solchem dass l (a) =

a′.

• Durch commutativity, M (f (a)) = r (l (a)) = M (b).
• Da M injective, f (a) = b ist.
• So c = g (f (a)).
• Da die Zusammensetzung von g und f, c = 0 trivial ist.
• Deshalb ist n injective.

Das Kombinieren 2 vier Lemmata beweist jetzt das komplette fünf Lemma.

Anwendungen

Das fünf Lemma wird häufig auf lange genaue Folgen angewandt: Wenn Rechenhomologie oder cohomology eines gegebenen Gegenstands, man normalerweise einen einfacheren Subgegenstand verwendet, dessen homology/cohomology bekannt ist, und eine lange genaue Folge erreicht, die die unbekannten Homologie-Gruppen des ursprünglichen Gegenstands einschließt. Das allein ist häufig nicht genügend, um die unbekannten Homologie-Gruppen zu bestimmen, aber wenn man den ursprünglichen Gegenstand vergleichen kann und U-Boot gegen gut verstandene über morphisms protestieren, dann wird ein morphism zwischen den jeweiligen langen genauen Folgen veranlasst, und das fünf Lemma kann dann verwendet werden, um die unbekannten Homologie-Gruppen zu bestimmen.

Siehe auch

• Kurzes fünf Lemma, ein spezieller Fall des fünf Lemmas für kurze genaue Folgen
• Schlange-Lemma, ein anderes Lemma, das durch das Diagramm bewiesen ist, das nachjagt
• Neun Lemma

Referenzen

• W. R. Scott: Gruppentheorie, Prentice Hall, 1964.