Eine Ziffer ist ein Symbol (ein Ziffer-Symbol solcher als "3" oder "7") verwendet in Kombinationen (solcher als "37"), um Zahlen in Stellungsziffer-Systemen zu vertreten. Der Name "Ziffer" kommt aus der Tatsache, dass die 10 Ziffern (alter lateinischer digita Bedeutung von Fingern) der Hände den 10 Symbolen der allgemeinen Basis 10 Zahl-System, d. h. die Dezimalzahl (alter lateinischer adjektivischer Dez entsprechen, der zehn bedeutet) Ziffern.

In einem gegebenen Zahl-System, wenn die Basis eine ganze Zahl ist, ist die Zahl von erforderlichen Ziffern immer dem absoluten Wert der Basis gleich.

Übersicht

In einem grundlegenden Digitalsystem ist eine Ziffer eine Folge von Ziffern, die von der willkürlichen Länge sein können. Jede Position in der Folge hat einen Platz-Wert, und jede Ziffer hat einen Wert. Der Wert der Ziffer wird durch das Multiplizieren jeder Ziffer in der Folge durch seinen Platz-Wert und das Summieren der Ergebnisse geschätzt.

Digitalwerte

Jede Ziffer in einem Zahl-System vertritt eine ganze Zahl. Zum Beispiel in der Dezimalzahl vertritt die Ziffer "1" die ganze Zahl ein, und im hexadecimal System, der Brief "A" vertritt die Nummer zehn. Ein Stellungszahl-System muss eine Ziffer haben, die die ganzen Zahlen von der Null bis zu, aber nicht einschließlich, die Basis des Zahl-Systems vertritt.

Berechnung von Platz-Werten

Das System der Hinduistischen Arabischen Ziffer (oder das hinduistische Ziffer-System) verwenden eine Trennung von Dezimalstellen, allgemein eine Periode im Vereinigten Königreich und den Vereinigten Staaten oder einem Komma in Europa, um den "-Platz" anzuzeigen, der Platz-Wertdenjenigen hat. Jeder aufeinander folgende Platz links davon hat einen Platz-Wert, der dem Platz-Wert die vorherigen Ziffer-Male der Basis gleich ist. Ähnlich hat jeder aufeinander folgende Platz rechts vom Separator einen Platz-Wert, der dem Platz-Wert der vorherigen durch die Basis geteilten Ziffer gleich ist. Zum Beispiel, in der Ziffer 10.34 (geschrieben in der Basis zehn),

:the 0 ist sofort links vom Separator, so ist es in denjenigen Platz, und wird die Einheitsziffer genannt;

:the 1 links von denjenigen ist Platz im Zehnen-Platz, und wird die Zehnen-Ziffer genannt;

:the 3 ist rechts von denjenigen Platz, so ist es im Zehntel-Platz, und wird die Zehntel-Ziffer genannt;

:the 4 rechts vom Zehntel-Platz ist im Hundertstel-Platz, und wird die Hundertstel-Ziffer genannt.

Der Gesamtwert der Zahl ist 1 zehn, 0, 3 Zehntel und 4 Hundertstel. Bemerken Sie, dass die Null, die keinen Wert zur Zahl beiträgt, anzeigt, dass 1 im Zehnen-Platz ist aber nicht diejenigen legen.

Der Platz-Wert jeder gegebenen Ziffer in einer Ziffer kann durch eine einfache Berechnung gegeben werden, die an sich ein Kompliment zur Logik hinter Ziffer-Systemen ist. Die Berechnung ist mit der Multiplikation der gegebenen Ziffer durch die Basis verbunden, die durch die Hochzahl n-1 erhoben ist, wo 'n' die Position der Ziffer vom Separator vertritt; der Wert von n ist (+) positiv, aber das ist nur, wenn die Ziffer links vom Separator ist. Und nach rechts wird die Ziffer mit der Basis multipliziert, die durch eine Verneinung (-) n erhoben ist. Zum Beispiel, in der Nummer 10.34 (geschrieben in der Basis zehn),

:the 1 ist links vom Separator zweit, der so auf der Berechnung gestützt ist, sein Wert, ist

:n - 1 = 2 - 1 = 1

:1 × 10 = 10

:the 4 ist rechts vom Separator zweit, der so auf der Berechnung gestützt ist, die sein Wert, ist

:n =-2

:4 × 10 =

Geschichte

betrachtet, ist das erste wahre schriftliche Stellungsziffer-System das System der Hinduistischen Arabischen Ziffer. Dieses System wurde durch das 7. Jahrhundert gegründet, aber war noch nicht in seiner modernen Form, weil der Gebrauch der Ziffer-Null noch nicht weit akzeptiert worden war. Statt einer Null wurde ein Raum in der Ziffer als ein Platzhalter verlassen. Der erste weit anerkannte Gebrauch der Null war in 876. Obwohl das ursprüngliche hinduistisch-arabische System dem modernen sogar unten zum glyphs sehr ähnlich war, der verwendet ist, um Ziffern zu vertreten, wurde die Richtung von Plätzen umgekehrt, so dass Platz-Werte nach rechts aber nicht nach links zugenommen haben.

Vor dem 13. Jahrhundert wurden Hinduistische Arabische Ziffern in europäischen mathematischen Kreisen akzeptiert (Fibonacci hat sie in seinem Liber Abaci verwendet). Sie haben begonnen, in übliche Anwendung im 15. Jahrhundert einzugehen. Am Ende des 20. Jahrhunderts eigentlich wurden alle nichtcomputerisierten Berechnungen in der Welt mit Arabischen Ziffern getan, die heimische Ziffer-Systeme in den meisten Kulturen ersetzt haben.

Andere historische Ziffer-Systeme mit Ziffern

Das genaue Alter der Mayaziffern ist unklar, aber es ist möglich, dass es älter ist als das hinduistisch-arabische System. Das System war vigesimal (stützen Sie zwanzig), so hat es zwanzig Ziffern. Die Maya haben ein Schale-Symbol verwendet, um Null zu vertreten. Ziffern wurden vertikal, mit denjenigen Platz am Boden geschrieben. Die Maya hatten keine Entsprechung von der modernen Trennung von Dezimalstellen, so konnte ihr System nicht Bruchteile vertreten.

Das thailändische Ziffer-System ist zum System der Hinduistischen Arabischen Ziffer abgesehen von den Symbolen identisch, die verwendet sind, um Ziffern zu vertreten. Der Gebrauch dieser Ziffern ist in Thailand weniger üblich, als es einmal war, aber sie werden noch neben Hinduistischen Arabischen Ziffern verwendet.

Die Stange-Ziffern, die schriftlichen Formen des Zählens von von chinesischen und japanischen Mathematikern einmal verwendeten Stangen, sind ein dezimales Stellungssystem, das fähig ist, nicht nur Null-sondern auch negative Zahlen zu vertreten. Das Aufzählen von Stangen selbst datiert System der Hinduistischen Arabischen Ziffer zurück. Die Ziffern von Suzhou sind Varianten von Stange-Ziffern.

Moderne Digitalsysteme

In der Informatik

Die Dualzahl (stützen 2), Oktal-(Basis 8), und hexadecimal (stützen 16), Systeme, die umfassend in der Informatik verwendet sind, folgen alle der Vereinbarung des Systems der Hinduistischen Arabischen Ziffer. Das binäre System verwendet nur die Ziffern "0" und "1", während das Oktalsystem die Ziffern von "0" bis "7" verwendet. Das hexadecimal System verwendet alle Ziffern vom dezimalen System, plus die Briefe "A" durch "F", die die Nummern 10 bis 15 beziehungsweise vertreten.

Ungewöhnliche Systeme

Die dreifältigen und erwogenen dreifältigen Systeme sind manchmal verwendet worden. Sie sind beide drei Grundsysteme.

Erwogen dreifältig ist ungewöhnlich, indem er die Ziffer-Werte 1, 0 und-1 hat. Erwogene dreifältige Umdrehungen, um einige nützliche Eigenschaften und das System zu haben, sind in den experimentellen russischen Setun Computern verwendet worden.

Mehrere Autoren in den letzten 300 Jahren haben eine Möglichkeit der Stellungsnotation bemerkt, die sich auf eine modifizierte Dezimaldarstellung beläuft.

Einige Vorteile werden für den Gebrauch von numerischen Ziffern zitiert, die negative Werte vertreten. 1840 hat Augustin-Louis Cauchy Gebrauch der unterzeichneten stelligen Darstellung von Zahlen verteidigt, und 1928 hat Florian Cajori seine Sammlung von Verweisungen für negative Ziffern präsentiert. Das Konzept der unterzeichneten stelligen Darstellung ist auch im Computerdesign aufgenommen worden.

Ziffern in der Mathematik

Trotz der wesentlichen Rolle von Ziffern im Beschreiben von Zahlen sind sie zur modernen Mathematik relativ unwichtig. Dennoch gibt es einige wichtige mathematische Konzepte, die von der Darstellung einer Zahl als eine Folge von Ziffern Gebrauch machen.

Digitalwurzeln

Die Digitalwurzel ist die einzeln-stellige erhaltene Zahl durch das Summieren der Ziffern einer gegebenen Zahl, dann das Summieren der Ziffern des Ergebnisses und so weiter, bis eine einzeln-stellige Zahl erhalten wird.

Vertreibender nines

Vertreibender nines ist ein Verfahren, um Arithmetik getan mit der Hand zu überprüfen. Um es zu beschreiben, lassen Sie vertreten die Digitalwurzel, wie beschrieben, oben. Vertreibender nines macht von der Tatsache das wenn, dann Gebrauch. Im Prozess, nines zu vertreiben, werden beide Seiten der letzten Gleichung geschätzt, und wenn sie nicht sind, sind gleich die ursprüngliche Hinzufügung muss fehlerhaft gewesen sein.

Repunits und repdigits

Repunits sind ganze Zahlen, die mit nur der Ziffer 1 vertreten werden. Zum Beispiel, 1111 (eintausend, hundertelf) ist ein repunit. Repdigits sind eine Generalisation von repunits; sie sind durch wiederholte Beispiele derselben Ziffer vertretene ganze Zahlen. Zum Beispiel, 333 ist ein repdigit. Der Primat von repunits ist von Interesse Mathematikern.

Zahlen von Palindromic und Zahlen von Lychrel

Zahlen von Palindromic sind Zahlen, die dasselbe lesen, wenn ihre Ziffern umgekehrt werden. Eine Lychrel Zahl ist eine positive ganze Zahl, die nie eine palindromic Zahl, wenn unterworfen, dem wiederholenden Prozess nachgibt, zu sich mit umgekehrten Ziffern hinzugefügt zu werden. Die Frage dessen, ob es irgendwelche Zahlen von Lychrel in der Basis 10 gibt, ist ein offenes Problem in der Erholungsmathematik; der kleinste Kandidat ist 196 Jahre alt.

Geschichte von alten Zahlen

Das Aufzählen der Hilfe, besonders der Gebrauch von Körperteilen (auf Fingern zählend), wurde sicher in der Vorgeschichte als heute verwendet. Es gibt viele Schwankungen. Außer dem Zählen von 10 Fingern haben einige Kulturen Fingergelenke, den Raum zwischen Fingern, und Zehen sowie Fingern aufgezählt. Die Oksapmin Kultur des Neuen Guineas verwendet ein System von 27 oberen Körperpositionen, um Zahlen zu vertreten.

Um numerische Information zu bewahren, sind Aufzeichnungen, die in Holz, Knochen und Stein geschnitzt sind, seit der Vorgeschichte verwendet worden. Steinzeit-Kulturen, einschließlich alter Indianergruppen, haben Aufzeichnungen für das Spielen, die persönlichen Dienstleistungen und die Handelswaren verwendet.

Eine Methode, numerische Information in Ton zu bewahren, wurde von den Sumerern zwischen 8000 und 3500 BCE erfunden. Das wurde mit kleinen Tonjetons von verschiedenen Gestalten getan, die wie Perlen auf einer Schnur gespannt wurden. Der Anfang von ungefähr 3500 BCE Tonjetons wurde durch Zahl-Zeichen allmählich ersetzt, die mit einem runden Kopierstift in verschiedenen Winkeln in Tonblöcken beeindruckt sind (ursprünglich Behälter für Jetons), die dann gebacken wurden. Ungefähr 3100 BCE wurden schriftliche Zahlen von den Dingen abgesondert, die aufzählen werden, und sind abstrakte Ziffern geworden.

Zwischen 2700 BCE und 2000 BCE in Sumer wurde der runde Kopierstift durch einen Rohr-Kopierstift allmählich ersetzt, der verwendet wurde, um keilförmige keilförmige Zeichen in Ton zu drücken. Diese keilförmigen Zahl-Zeichen haben den Zeichen der runden Zahl geähnelt sie haben ersetzt und haben die zusätzliche Notation des Zeichen-Werts der Zeichen der runden Zahl behalten. Diese Systeme sind allmählich auf einem allgemeinen sexagesimal Zahl-System zusammengelaufen; das war ein System des Platz-Werts, das aus nur zwei beeindruckten Zeichen, dem vertikalen Keil und dem Chevron besteht, der auch Bruchteile vertreten konnte. Dieses sexagesimal Zahl-System wurde am Anfang der Alten Babylonia Periode (1950 v. Chr.) völlig entwickelt und ist normal in Babylonia geworden.

Ziffern von Sexagesimal waren ein Mischbasis-System, das die Wechselbasis 10 und Basis 6 in einer Folge von keilförmigen vertikalen Keilen und Chevrons behalten hat. Vor 1950 BCE war das ein Stellungsnotationssystem. Ziffern von Sexagesimal sind gekommen, um im Handel weit verwendet zu werden, aber wurden auch in astronomischen und anderen Berechnungen verwendet. Dieses System wurde von Babylonia exportiert und überall in Mesopotamia, und von jeder mittelmeerischen Nation verwendet, die babylonische Standardeinheiten des Maßes und Zählens, einschließlich der Griechen, Römer und Ägypter verwendet hat. Babylonisch-artiges sexagesimal Zählen wird noch in modernen Gesellschaften verwendet, um Zeit (Minuten pro Stunde) und Winkel (Grade) zu messen.

Geschichte von modernen Zahlen

In China wurden Armeen und Bestimmungen mit Modulaufzeichnungen von Primzahlen aufgezählt. Einzigartige Zahlen von Truppen und Maßnahmen von Reis erscheinen als einzigartige Kombinationen dieser Aufzeichnungen. Eine große Bequemlichkeit der Modularithmetik besteht darin, dass es leicht ist, obwohl ziemlich schwierig, zu multiplizieren, beizutragen. Das macht von der Modularithmetik für besonders attraktive Bestimmungen Gebrauch. Herkömmliche Aufzeichnungen sind ziemlich schwierig, zu multiplizieren und sich zu teilen. In modernen Zeiten wird Modularithmetik manchmal in der Digitalsignalverarbeitung verwendet.

Das älteste griechische System war das der Attischen Ziffern, aber im 4. Jahrhundert v. Chr. haben sie begonnen, ein quasidezimales alphabetisches System zu verwenden (sieh griechische Ziffern). Juden haben begonnen, ein ähnliches System (die hebräischen Ziffern) mit den ältesten bekannten Beispielen zu verwenden, Münzen von ungefähr 100 v. Chr. seiend.

Das römische Reich hat Aufzeichnungen verwendet, die über Wachs, Papyrus und Stein geschrieben sind, und ist grob der griechischen Gewohnheit gefolgt, Briefe an verschiedene Zahlen zuzuteilen. Das System der Römischen Ziffern ist in der üblichen Anwendung in Europa geblieben, bis Stellungsnotation in übliche Anwendung im 16. Jahrhundert eingetreten ist.

Der Maya Mittelamerikas hat eine Mischbasis 18 verwendet, und stützen Sie 20 System, das vielleicht von Olmec, einschließlich fortgeschrittener Eigenschaften wie Stellungsnotation und eine Null geerbt ist. Sie haben dieses System verwendet, um fortgeschrittene astronomische Berechnungen, einschließlich hoch genauer Berechnungen der Länge des Sonnenjahres und der Bahn von Venus zu machen.

Das Reich Incan hat eine große Befehl-Wirtschaft mit quipu, Aufzeichnungen geführt, die durch knotting gemacht sind, gefärbt Fasern. Kenntnisse des encodings der Knoten und Farben wurden von den spanischen Konquistadoren im 16. Jahrhundert unterdrückt und haben nicht überlebt, obwohl einfache quipu ähnliche Aufnahme-Geräte noch im Gebiet von Andean verwendet werden.

Einige Behörden glauben, dass Stellungsarithmetik mit dem breiten Gebrauch des Zählens von Stangen in China begonnen hat. Die frühsten schriftlichen Stellungsaufzeichnungen scheinen, Stange-Rechnung zu sein, läuft auf China ungefähr 400 hinaus. Insbesondere Null wurde von chinesischen Mathematikern ungefähr 932 richtig beschrieben.

Das moderne Stellungssystem der Arabischen Ziffer wurde von Mathematikern in Indien entwickelt, und ist Mathematikern Moslem zusammen mit astronomischen Tischen gestorben, die nach Bagdad durch einen Indianerbotschafter ungefähr 773 gebracht sind.

Von Indien hat der blühende Handel zwischen islamischen Sultanen und Afrika das Konzept nach Kairo getragen. Arabische Mathematiker haben das System erweitert, um Dezimalbrüche einzuschließen, und haben eine wichtige Arbeit darüber im 9. Jahrhundert geschrieben. Die modernen Arabischen Ziffern wurden nach Europa mit der Übersetzung dieser Arbeit im 12. Jahrhundert in Spanien und Leonardos von Liber Abaci von Pisa von 1201 eingeführt. In Europa wurde das ganze Indianersystem mit der Null aus den Arabern im 12. Jahrhundert abgeleitet.

Das binäre System (stützen 2), wurde im 17. Jahrhundert von Gottfried Leibniz fortgepflanzt. Leibniz hatte das Konzept früh in seiner Karriere entwickelt, und hatte es wieder besucht, als er eine Kopie von mir ching von China nachgeprüft hat. Binärzahlen sind in übliche Anwendung im 20. Jahrhundert wegen Computeranwendungen eingetreten.

Ziffern in den meisten populären Systemen

Zusätzliche Ziffern

Siehe auch

• Hexadecimal
• Bit
• Positive Ziffer
• Große Anzahl
• Rechenmaschine
• Geschichte der großen Anzahl
• Liste von Ziffer-Systemthemen

Ziffer-Notation in verschiedenen Schriften

• Arabische Ziffern
• Armenische Ziffern
• Babylonische Ziffern
• Birmanische Ziffern
• Chinesische Ziffern
• Griechische Ziffern
• Die hebräischen Ziffern
• Indianerziffern
• Japanische Ziffern
• Koreanische Ziffern
• Mayaziffern
• Quipu
• Stange-Ziffern
• Römische Ziffern
• Ziffern von Suzhou