Ein Ziffer-System (oder System des Zählens) sind ein Schreiben-System, um Zahlen auszudrücken, der eine mathematische Notation ist, um Zahlen eines gegebenen Satzes, mit Graphemen oder Symbolen auf eine konsequente Weise zu vertreten.

Es kann als der Zusammenhang gesehen werden, der den Symbolen "11" erlaubt, als das binäre Symbol für drei, das dezimale Symbol für elf oder ein Symbol für andere Zahlen in verschiedenen Basen interpretiert zu werden.

Ideal wird ein Ziffer-System:

• Vertreten Sie einen nützlichen Satz von Zahlen (z.B alle ganzen Zahlen oder rationale Zahlen)
• Geben Sie jede Zahl hat eine einzigartige Darstellung (oder mindestens eine Standarddarstellung) vertreten
• Widerspiegeln Sie die algebraische und arithmetische Struktur der Zahlen.

Zum Beispiel gibt die übliche Dezimaldarstellung von ganzen Zahlen jeder ganzen Zahl eine einzigartige Darstellung als eine begrenzte Folge von Ziffern. Jedoch, wenn Dezimaldarstellung für die rationalen Zahlen oder reellen Zahlen verwendet wird, haben solche Zahlen im Allgemeinen eine unendliche Zahl von Darstellungen, zum Beispiel 2.31 kann auch als 2.310, 2.3100000, 2.309999999 … usw. geschrieben werden, von denen alle dieselbe Bedeutung abgesehen von einigen wissenschaftliche und andere Zusammenhänge haben, wo größere Präzision durch eine größere Zahl von gezeigten Zahlen einbezogen wird.

Ziffer-Systeme werden manchmal Zahl-Systeme genannt, aber dieser Name ist zweideutig, weil er sich auf verschiedene Systeme von Zahlen, wie das System von reellen Zahlen, das System von komplexen Zahlen, das System von p-adic Zahlen usw. beziehen konnte. Solche Systeme sind nicht das Thema dieses Artikels.

Typen von Ziffer-Systemen

Das meistens verwendete System von Ziffern ist als Arabische Ziffern oder Hinduistische Arabische Ziffern bekannt. Zwei Indianermathematikern wird das Entwickeln von ihnen zugeschrieben. Aryabhata von Kusumapura hat die Notation des Platz-Werts im 5. Jahrhundert entwickelt, und ein Jahrhundert später hat Brahmagupta das Symbol für die Null eingeführt.

Das Ziffer-System und das Nullkonzept, das von den Hindus in Indien langsam entwickelt ist, breiten sich zu anderen Umgebungsländern wegen ihrer kommerziellen und militärischen Tätigkeiten mit Indien aus. Die Araber haben es angenommen und haben sie modifiziert. Sogar heute haben die Araber die Ziffern genannt sie verwenden 'Rakam Al-Hind' oder das hinduistische Ziffer-System. Die Araber haben hinduistische Texte auf der Zahlenmystik übersetzt und haben sie zur Westwelt wegen ihrer Handelsverbindungen mit ihnen ausgebreitet. Die Westwelt hat sie modifiziert und hat sie die Arabischen Ziffern genannt, wie sie aus ihnen erfahren haben. Folglich ist das aktuelle Westziffer-System die modifizierte Version des hinduistischen in Indien entwickelten Ziffer-Systems. Es stellt auch eine große Ähnlichkeit zur sanskritischen-Devanagari Notation aus, die noch in Indien verwendet wird.

Das einfachste Ziffer-System ist das unäre Ziffer-System, in dem jede natürliche Zahl durch eine entsprechende Zahl von Symbolen vertreten wird. Wenn das Symbol zum Beispiel gewählt wird, dann würde die Nummer sieben dadurch vertreten. Aufzeichnungszeichen vertreten ein solches System noch in der üblichen Anwendung. Das unäre System ist nur für kleine Zahlen nützlich, obwohl es eine wichtige Rolle in der theoretischen Informatik spielt. Das Gammacodieren von Elias, das in der Datenkompression allgemein verwendet wird, drückt willkürlich-große Zahlen durch das Verwenden unär aus, um die Länge einer binären Ziffer anzuzeigen.

Die unäre Notation kann durch das Einführen verschiedener Symbole für bestimmte neue Werte abgekürzt werden. Sehr allgemein sind diese Werte Mächte 10; also zum Beispiel, wenn / ein,  für zehn und + für 100 eintritt, dann kann die Nummer 304 als und die Nummer 123 als ohne jedes Bedürfnis nach der Null kompakt vertreten werden. Das wird Notation des Zeichen-Werts genannt. Das alte ägyptische Ziffer-System war dieses Typs, und das System der Römischen Ziffer war eine Modifizierung dieser Idee.

Nützlicher sind noch Systeme, die spezielle Abkürzungen für Wiederholungen von Symbolen verwenden; zum Beispiel, mit den ersten neun Buchstaben vom Alphabet für diese Abkürzungen, mit A, der "für ein Ereignis", B "zwei Ereignisse" und so weiter eintritt, konnte man dann C + D/für die Nummer 304 schreiben. Dieses System wird verwendet, wenn man chinesische Ziffern und andere ostasiatische auf Chinesisch gestützte Ziffern schreibt. Das Zahl-System der englischen Sprache ist dieses Typs ("dreihundert [und] vier"), wie diejenigen anderer Sprachen, unabhängig davon sind, welche schriftliche Systeme sie angenommen haben. Jedoch verwenden viele Sprachen Mischungen von Basen, und andere Eigenschaften, zum Beispiel 79 in Französisch ist soixante dix-neuf (60+10+9), und in Walisisch ist pedwar ar bymtheg ein thrigain (4 + (5+10) + (3 × 20)) oder (etwas archaischer) pedwar ugain namyn un (4 × 20  1). In Englisch konnten Sie "vier sagen kerben weniger ein ein", wie in der berühmten Gettysburg-Adresse, die 87 als "vier vertritt, zählen und vor sieben Jahren".

Eleganter ist ein Stellungssystem, auch bekannt als Notation des Platz-Werts. Wieder in der Basis 10 arbeitend, werden zehn verschiedene Ziffern 0..., 9 verwendet, und die Position einer Ziffer wird verwendet, um die Macht zehn zu bedeuten, dass die Ziffer mit, als in 304 = 3×100 + 0×10 + 4×1 multipliziert werden soll. Bemerken Sie, dass Null, die in den anderen Systemen nicht erforderlich ist, von entscheidender Wichtigkeit hier ist, um im Stande zu sein, eine Macht "auszulassen". Das System der Hinduistischen Arabischen Ziffer, das in Indien entstanden ist und jetzt weltweit verwendet wird, ist eine Stellungsbasis 10 System.

Arithmetik ist in Stellungssystemen viel leichter als in den früheren zusätzlichen; außerdem brauchen zusätzliche Systeme eine Vielzahl von verschiedenen Symbolen für die verschiedenen Mächte 10; ein Stellungssystem braucht nur zehn verschiedene Symbole (das Annehmen, dass es Basis 10 verwendet).

Die verwendeten Ziffern, wenn man Zahlen mit Ziffern oder Symbolen schreibt, können in zwei Typen geteilt werden, die die arithmetischen Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 und die geometrischen Ziffern 1,10,100,1000,10000... beziehungsweise genannt werden könnten. Die Systeme des Zeichen-Werts verwenden nur die geometrischen Ziffern, und die Stellungssysteme verwenden nur die arithmetischen Ziffern. Das System des Zeichen-Werts braucht arithmetische Ziffern nicht, weil sie durch die Wiederholung (abgesehen vom Ionischen System) gemacht werden, und das Stellungssystem geometrische Ziffern nicht braucht, weil sie durch die Position gemacht werden. Jedoch verwendet die Sprache sowohl arithmetische als auch geometrische Ziffern.

In bestimmten Gebieten der Informatik, ein modifiziertes Grund-K Stellungssystem wird verwendet, bijektives Zählen, mit Ziffern 1, 2..., k (k  1), und Null genannt, die durch eine leere Schnur wird vertritt. Das gründet eine Bijektion zwischen dem Satz aller dieser Ziffer-Schnuren und dem Satz von natürlichen Zahlen, die durch Hauptnullen verursachte Nichteinzigartigkeit vermeidend. Bijektives Grund-K-Zählen wird auch k-adic Notation genannt, um mit p-adic Zahlen nicht verwirrt zu sein. Bijektive Basis 1 ist dasselbe als unär.

Stellungssysteme im Detail

In einem Stellungsgrund-B-Ziffer-System (mit b eine natürliche Zahl, die größer ist als 1 bekannter als die Basis), b grundlegende Symbole (oder Ziffern) entsprechend den ersten b natürlichen Zahlen einschließlich der Null, werden verwendet. Um den Rest der Ziffern zu erzeugen, wird die Position des Symbols in der Zahl verwendet. Das Symbol in der letzten Position hat seinen eigenen Wert, und weil es sich nach links bewegt, wird sein Wert mit b multipliziert.

Zum Beispiel, im dezimalen System (stützen 10), die Mittel der Ziffer 4327 (4×10) + (3×10) + (2×10) + (7×10), das 10 = 1 bemerkend.

Im Allgemeinen, wenn b die Basis ist, schreiben wir eine Zahl im Ziffer-System der Basis b, indem wir es in der Form ab + ab + ab +... + ab und das Schreiben der aufgezählten Ziffern aaa... in der hinuntersteigenden Ordnung ausdrücken. Die Ziffern sind natürliche Zahlen zwischen 0 und b − 1, einschließlich.

Wenn ein Text (wie dieser) vielfache Basen bespricht, und wenn Zweideutigkeit besteht, wird die Basis (selbst vertreten in der Basis 10) in der Subschrift rechts von der Zahl, wie das hinzugefügt: Zahl. Wenn nicht angegeben, durch den Zusammenhang, wie man betrachtet, sind Zahlen ohne Subschrift dezimal.

Indem

man einen Punkt verwendet, um die Ziffern in zwei Gruppen zu teilen, kann man auch Bruchteile im Stellungssystem schreiben. Zum Beispiel zeigt die Basis 2 Ziffer 10.11 1×2 + 0×2 + 1×2 + 1×2 = 2.75 an.

Im Allgemeinen sind Zahlen in der Basis b System von der Form:

:

(a_na_ {n-1 }\\cdots a_1a_0.c_1 c_2 c_3\cdots) _b =

\sum_ {k=0} ^n a_kb^k + \sum_ {k=1} ^\\infty C_kb^ {-k}.

</Mathematik>

Die Nummern b und b sind die Gewichte der entsprechenden Ziffern. Die Position k ist der Logarithmus des entsprechenden Gewichts w, der ist. Die höchste verwendete Position ist der Größenordnung der Zahl nah.

Die Zahl von Aufzeichnungszeichen, die im unären Ziffer-System erforderlich sind, für das Gewicht zu beschreiben, wäre w gewesen. Im Stellungssystem ist die Zahl von Ziffern, die erforderlich sind, es zu beschreiben, nur, dafür. Z.B, um das Gewicht 1000 dann zu beschreiben, sind vier Ziffern seitdem erforderlich. Die Zahl von Ziffern, die erforderlich sind, die Position zu beschreiben, ist (in Positionen 1, 10, 100... nur für die Einfachheit im dezimalen Beispiel).

Bemerken Sie, dass eine Zahl ein Enden oder das Wiederholen der Vergrößerung hat, wenn, und nur wenn es vernünftig ist; das hängt von der Basis nicht ab. Eine Zahl, die in einer Basis endet, kann sich in einem anderen (so 0.3 = 0.0100110011001...) wiederholen. Eine irrationale Zahl bleibt unperiodisch (unendlicher Betrag von sich unwiederholenden Ziffern) in allen integrierten Basen. So, zum Beispiel in der Basis 2, π = 3.1415926 kann... als die unperiodischen 11.001001000011111 niedergeschrieben werden....

Das Stellen von Überhunderten, oder Punkten, n&#x307; über den allgemeinen Ziffern ist eine Tagung, die verwendet ist, um sich wiederholende vernünftige Vergrößerungen zu vertreten. So:

:14/11 =1.272727272727... = 1. oder 321.3217878787878... =

321.3217&#x307;8&#x307;.

Wenn b = p eine Primzahl ist, kann man Grund-P-Ziffern definieren, deren Vergrößerung nach links nie anhält; diese werden die p-adic Zahlen genannt.

Verallgemeinerte ganze Zahlen der variablen Länge

Allgemeiner verwendet eine Notation (hier geschrieben wenig-endian) wie für usw.

Das wird in punycode verwendet, dessen ein Aspekt die Darstellung einer Folge von natürlichen Zahlen der willkürlichen Größe in der Form einer Folge ohne Begrenzungszeichen, von "Ziffern" von einer Sammlung 36 ist: a-z und 0-9, 0-25 und 26-35 beziehungsweise vertretend. Eine Ziffer tiefer als ein Schwellenwert kennzeichnet das es ist die meiste-positive-Ziffer, folglich das Ende der Zahl. Der Schwellenwert hängt von der Position in der Zahl ab. Zum Beispiel, wenn der Schwellenwert für die erste Ziffer b (d. h. 1) dann ist (d. h. 0) das Ende der Zahl kennzeichnet (es hat gerade eine Ziffer), so in Zahlen von mehr als einer Ziffer ist die Reihe nur b-9 (1-35), deshalb ist das Gewicht b 35 statt 36. Nehmen Sie an, dass die Schwellenwerte für die zweiten und dritten Ziffern c (2) sind, dann hat die dritte Ziffer ein Gewicht 34 &times; 35 = haben 1190 und wir die folgende Folge:

(0), ba (1), ca (2).. 9a (35), bb (36), CB (37).. 9b (70), bca (71).. 99a (1260), bcb (1261), usw.

Verschieden von einem regelmäßigen basierten Ziffer-System gibt es Zahlen wie 9b, wo 9 und b jeder 35 vertritt; noch ist die Darstellung einzigartig, weil ac und aca - ein begrenzt die Zahl nicht erlaubt wird.

Die Flexibilität in der Auswahl von Schwellenwerten erlaubt Optimierung abhängig von der Frequenz des Ereignisses von Zahlen verschiedener Größen.

Der Fall mit der ganzen Schwelle schätzt gleich 1 entspricht bijektivem Zählen, wo die Nullen Separatoren von Zahlen mit Ziffern entsprechen, die Nichtnull sind.

Siehe auch

• Georges Ifrah. Die Universale Geschichte von Zahlen: Von der Vorgeschichte bis die Erfindung des Computers, Wileys, 1999. Internationale Standardbuchnummer 0-471-37568-3.
• D. Knuth. Die Kunst der Computerprogrammierung. Band 2, 3. Ed. Addison-Wesley. Seiten 194-213, "Stellungszahl-Systeme".
• A. L. Kroeber (Alfred Louis Kroeber) (1876-1960), Handbuch der Inder Kaliforniens, Meldung 78 des Büros von der amerikanischen Völkerkunde der Smithsonian Einrichtung (1919)
• J.P. Mallory und D.Q. Adams, Enzyklopädie von indogermanischer Kultur, Fitzroy Dearborn Herausgebern, London und Chicago, 1997.
• Hans J. Nissen, P. Damerow, R. Englund, Archaische Buchhaltung, Universität der Chikagoer Presse, 1993, internationale Standardbuchnummer 0-226-58659-6.
• Denise Schmandt-Besserat, Wie das Schreiben, Universität der Presse von Texas, 1992, internationale Standardbuchnummer 0-292-77704-3 Geschehen ist.
• Claudia Zaslavsky, Afrika Grafe: Zahl und Muster in afrikanischen Kulturen, Büchern von Lawrence Hill, 1999, internationale Standardbuchnummer 1-55652-350-5.

Links

• Numerische Mechanismen und das Konzept von Kindern von Zahlen
• Software, um sich von einem Ziffer-System bis einen anderen umzuwandeln
• Online-Konvertierung von Bruchzahlen zwischen Ziffer-Systemen
• Offener Quellziffer-Systemkonverter
• Offene Quellziffer-Systemrechenmaschine