In der Mathematik gründet das Lemma von Fatou eine Ungleichheit, die das Integral (im Sinne Lebesgue) von der Grenze verbindet, die einer Folge von Funktionen zur von Integralen dieser Funktionen untergeordneten Grenze untergeordnet ist. Das Lemma wird nach Pierre Fatou genannt.

Das Lemma von Fatou kann verwendet werden, um den Fatou-Lebesgue Lehrsatz und den beherrschten Konvergenz-Lehrsatz von Lebesgue zu beweisen.

Standardbehauptung des Lemmas von Fatou

Lassen Sie f, f, f... seien Sie eine Folge von nichtnegativen messbaren Funktionen auf einem Maß-Raum (S, Σ,μ). Definieren Sie die Funktion f : S  0,  pointwise durch

:

f (s) = \liminf_ {n\to\infty} f_n (s), \qquad s\in S.

</Mathematik>

Dann f  ist messbar und

:

\int_S f \, d\mu \le \liminf_ {n\to\infty} \int_S f_n \, d\mu \.

</Mathematik>

Zeichen: Den Funktionen wird erlaubt, den Wert +  zu erreichen, und die Integrale können auch unendlich sein.

Beweis

Das Lemma von Fatou kann direkt als im ersten Beweis bewiesen werden, der unten präsentiert ist, der eine Weiterentwicklung auf derjenigen ist, die in Royden gefunden werden kann (sieh die Verweisungen). Der zweite Beweis ist kürzer, aber verwendet den Eintönigkeitskonvergenz-Lehrsatz.

Wir werden etwas ein bisschen Schwächeres hier beweisen. Nämlich werden wir f erlauben, μ-almost überall auf einer Teilmenge E S zusammenzulaufen. Wir bemühen uns, dem zu zeigen

:

\int_E f \, d\mu \le \liminf_ {n\to\infty} \int_E f_n \, d\mu \.

</Mathematik>

Lassen Sie

:.

Dann μ (E-K) =0 und

:

So E durch K ersetzend, können wir annehmen, dass f zu f pointwise auf E zusammenlaufen. Dann durch die Definition des Lebesgue Integrals ist es genug, das zu zeigen, wenn φ nichtnegative einfache Funktion weniger ist als oder gleich f, dann

:

\int_ {E }\\varphi \, d\mu\leq \liminf_ {n\rightarrow \infty} \int_ {E} f_n \, d\mu

</Mathematik>

Wir ziehen zuerst den Fall wenn in Betracht.

Lassen Sie der minimale nichtnegative Wert von φ sein (es besteht, da das Integral von φ unendlich ist). Definieren Sie

:

A = \{x\in E | \varphi (x)> a\}\

</Mathematik>

Wir müssen das haben μ (A) ist seitdem unendlich

:

wo M ist (notwendigerweise begrenzt), erreicht der maximale Wert dieses φ.

Dann definieren wir

:

A_n =\{x\in E |f_k (x)> ein ~\forall k\geq n \}.

</Mathematik>

Wir haben das

:

A\subseteq \bigcup_n A_n \Rightarrow \mu (\bigcup_n A_n) = \infty.

</Mathematik>

Aber A ist eine verschachtelte zunehmende Folge von Funktionen und folglich, durch die Kontinuität von unter μ,

:

\lim_ {n\rightarrow \infty} \mu (A_n) = \infty.

</Mathematik>.

Zur gleichen Zeit,

:

\int_E f_n \, d\mu \geq ein \mu (A_n) \Rightarrow \liminf_ {n\to \infty} \int_E f_n \, d\mu = \infty = \int_E \varphi \, d\mu,

</Mathematik>

der Beweis des Anspruchs in diesem Fall.

Der restliche Fall ist wenn

:

A_n =\{x\in E|f_k (x)> (1-\epsilon) \varphi (x) ~ \forall k\geq n\}.

</Mathematik>

Dann ist A eine verschachtelte zunehmende Folge von Sätzen, deren Vereinigung A enthält. So ist A-A eine abnehmende Folge von Sätzen mit der leeren Kreuzung. Da A begrenztes Maß hat (das ist, warum wir die zwei getrennten Fälle in Betracht ziehen mussten),

:

\lim_ {n\rightarrow \infty} \mu (A-A_n) =0.

</Mathematik>

So, dort besteht solcher n dass

:

\mu (A-A_k)

Folglich, für

:

\int_E f_k \, d\mu \geq \int_ {A_k} f_k \, d\mu \geq (1-\epsilon) \int_ {A_k }\\varphi \, d\mu.

</Mathematik>Zur gleichen Zeit,:

\int_E \varphi \, d\mu = \int_A \varphi \, d\mu = \int_ {A_k} \varphi \, d\mu + \int_ {A-A_k} \varphi \, d\mu.

</Mathematik>

Folglich,

:

(1-\epsilon) \int_ {A_k} \varphi \, d\mu \geq (1-\epsilon) \int_E \varphi \, d\mu - \int_ {A-A_k} \varphi \, d\mu.

</Mathematik>

Das Kombinieren dieser Ungleichheit gibt dem

:

\int_ {E} f_k \, d\mu \geq (1-\epsilon) \int_E \varphi \, d\mu - \int_ {A-A_k} \varphi \, d\mu \geq \int_E \varphi \, d\mu - \epsilon\left (\int_ {E} \varphi \, d\mu+M\right).

</Mathematik>

Folglich, ε zu 0 und Einnahme des liminf in n sendend, bekommen wir das

:

\liminf_ {n\rightarrow \infty} \int_ {E} f_n \, d\mu \geq \int_E \varphi \, d\mu,

</Mathematik>

Vollendung des Beweises.

Für jede natürliche Zahl definieren k pointwise die Funktion

:

Dann die Folge g, g... Funktionen nimmt zu, bedeutend, dass g  g für den ganzen k, und pointwise zur Grenze untergeordneter f zusammenläuft.

Für den ganzen k  n haben wir g  f, so dass durch den Monomuskeltonus des integrierten

:

folglich

:

\int_E g_k \, d\mu

\le\inf_ {n\ge k }\\int_E f_n \, d\mu.

</Mathematik>

Das Verwenden des Eintönigkeitskonvergenz-Lehrsatzes für die erste Gleichheit, dann die letzte Ungleichheit von oben, und schließlich die Definition der untergeordneten Grenze, hieraus folgt dass

:

\int_E f \, d\mu

\lim_ {k\to\infty }\\int_E g_k \, d\mu

\le\lim_ {k\to\infty} \inf_ {n\ge k }\\int_E f_n \, d\mu

\liminf_ {n\to\infty} \int_E f_n \, d\mu \.

</Mathematik>

Beispiele für die strenge Ungleichheit

Statten Sie den Raum mit dem Borel &sigma;-algebra und das Maß von Lebesgue aus.

• Beispiel für einen Wahrscheinlichkeitsraum: Lassen Sie zeigen den Einheitszwischenraum an. Weil jede natürliche Zahl definiert

::

f_n (x) = \begin {Fälle} n& \text {für} x\in (0,1/n), \\

0& \text {otherwise. }\

\end {Fälle} </Mathematik>

• Beispiel mit der gleichförmigen Konvergenz: Lassen Sie zeigen den Satz aller reellen Zahlen an. Definieren Sie

::

f_n (x) = \begin {Fälle }\\frac1n& \text {für} x\in [0, n], \\

0& \text {otherwise. }\\end {Fälle} </Mathematik>

Diese Folgen laufen auf pointwise (beziehungsweise gleichförmig) zur Nullfunktion zusammen (mit dem Nullintegral), aber jeder hat integrierten.

Ein Gegenbeispiel

Eine passende Annahme bezüglich der negativen Teile der Folge f, f... Funktionen ist für das Lemma von Fatou notwendig, weil sich das folgende Beispiel zeigt. Lassen Sie S die Hälfte der Linie [0,  anzeigen) mit dem Borel σ-algebra und das Maß von Lebesgue. Für jede natürliche Zahl definieren n

:

f_n (x) = \begin {Fälle}-\frac1n&\text {für} x\in [n, 2n], \\

0& \text {otherwise. }\\end {Fälle} </Mathematik>

Diese Folge läuft gleichförmig auf S zur Nullfunktion zusammen (mit dem Nullintegral), und für jeden x  0 haben wir sogar f

Kehren Sie Fatou Lemma um

Lassen Sie f, f... seien Sie eine Folge von verlängerten reellwertigen messbaren Funktionen, die auf einem Maß-Raum (S, Σ,μ) definiert sind. Wenn dort besteht, fungiert ein integrable g auf solchem S dass f  g für den ganzen n, dann

:

\limsup_ {n\to\infty }\\int_S f_n \, d\mu\leq\int_S\limsup_ {n\to\infty} f_n \, d\mu.

</Mathematik>

Zeichen: Hier g bedeutet integrable, dass g messbar ist und dass

Beweis

Wenden Sie das Lemma von Fatou auf die nichtnegative Folge an, die durch g - f gegeben ist.

Erweiterungen und Schwankungen des Lemmas von Fatou

Integrable hat tiefer gebunden

Lassen Sie f, f... seien Sie eine Folge von verlängerten reellwertigen messbaren Funktionen, die auf einem Maß-Raum (S, Σ,μ) definiert sind. Wenn dort besteht, fungiert ein nichtnegativer integrable g auf solchem S dass f  &minus;g für den ganzen n, dann

:

\int_S \liminf_ {n\to\infty} f_n \, d\mu

\le \liminf_ {n\to\infty} \int_S f_n \, d\mu.\

</Mathematik>

Beweis

Wenden Sie das Lemma von Fatou auf die nichtnegative Folge an, die durch f + g gegeben ist.

Konvergenz von Pointwise

Wenn in der vorherigen Einstellung die Folge f, f... läuft pointwise zu einer Funktion f μ-almost überall auf S, dann zusammen

:

Beweis

Bemerken Sie, dass f mit der Grenze übereinstimmen muss, die der Funktionen f fast überall untergeordnet ist, und dass die Werte des integrand auf einer Reihe der Maß-Null keinen Einfluss auf den Wert des Integrals haben.

Konvergenz im Maß

Die letzte Behauptung hält auch, wenn die Folge f, f... läuft im Maß zu einer Funktion f zusammen.

Beweis

Dort besteht eine solche Subfolge dass

:

Da diese Subfolge auch im Maß zu f zusammenläuft, dort besteht eine weitere Subfolge, die pointwise zu f fast überall zusammenläuft, folglich ist die vorherige Schwankung des Lemmas von Fatou auf diesen subsubsequence anwendbar.

Das Lemma von Fatou mit dem Verändern von Maßnahmen

In allen obengenannten Behauptungen des Lemmas von Fatou wurde die Integration in Bezug auf ein einzelnes festes Maß μ ausgeführt. Nehmen Sie an, dass μ eine Folge von Maßnahmen auf dem messbaren Raum (S, Σ) solch dass ist (sieh Konvergenz von Maßnahmen)

:

Dann, mit f nichtnegativen Integrable-Funktionen und f ihre untergeordnete Pointwise-Grenze zu sein, haben wir

::

Das Lemma von Fatou für bedingte Erwartungen

In der Wahrscheinlichkeitstheorie, durch eine Änderung der Notation, sind die obengenannten Versionen des Lemmas von Fatou auf Folgen von zufälligen Variablen X, X anwendbar... definiert auf einem Wahrscheinlichkeitsraum; die Integrale verwandeln sich in Erwartungen. Außerdem gibt es auch eine Version für bedingte Erwartungen.

Standardversion

Lassen Sie X, X... seien Sie eine Folge von nichtnegativen zufälligen Variablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum und lassen Sie

seien Sie ein U-Boot \U 03C3\Algebra. Dann

: fast sicher.

Zeichen: Die Bedingte Erwartung für nichtnegative zufällige Variablen wird immer gut definiert, begrenzte Erwartung ist nicht erforderlich.

Beweis

Außer einer Änderung der Notation ist der Beweis demjenigen für die Standardversion des Lemmas von Fatou oben sehr ähnlich, jedoch muss der Eintönigkeitskonvergenz-Lehrsatz für bedingte Erwartungen angewandt werden.

Lassen Sie X zeigen die der X untergeordnete Grenze an. Für jede natürliche Zahl definieren k pointwise die zufällige Variable

:

Dann die Folge Y, Y... nimmt zu und läuft pointwise zu X zusammen.

Für k  n haben wir Y  X, so dass

: fast sicher

durch den Monomuskeltonus der bedingten Erwartung, folglich

: fast sicher,

weil die zählbare Vereinigung der außergewöhnlichen Sätze der Wahrscheinlichkeitsnull wieder eine Nullmenge ist.

Mit der Definition X, seine Darstellung als pointwise Grenze des Y, des Eintönigkeitskonvergenz-Lehrsatzes für bedingte Erwartungen, die letzte Ungleichheit und die Definition der untergeordneten Grenze, hieraus folgt dass fast sicher

:

\begin {richten }\aus

\mathbb {E }\\Bigl [\liminf_ {n\to\infty} X_n \,\Big | \,\mathcal G\Bigr]

&= \mathbb {E} [X |\mathcal G]

\mathbb {E }\\Bigl [\lim_ {k\to\infty} Y_k \,\Big \,\mathcal G\Bigr]

\lim_ {k\to\infty }\\mathbb {E} [Y_k\mathcal G] \\

&\\le\lim_ {k\to\infty} \inf_ {n\ge k }\\mathbb {E} [X_n |\mathcal G]

\liminf_ {n\to\infty }\\, \mathbb {E} [X_n\mathcal G].

\end {richten }\aus

</Mathematik>

Erweiterung auf gleichförmig integrable negative Teile

Lassen Sie X, X... seien Sie eine Folge von zufälligen Variablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum und lassen Sie

seien Sie ein U-Boot \U 03C3\Algebra. Wenn die negativen Teile

:

sind gleichförmig integrable in Bezug auf die bedingte Erwartung im Sinn, dass, für ε> 0 dort c> solcher 0 dass besteht

:

dann

: fast sicher.

Zeichen: Auf dem Satz wo

:

befriedigt

:wie man

betrachtet, ist die linke Seite der Ungleichheit plus die Unendlichkeit. Die bedingte Erwartung der untergeordneten Grenze könnte auf diesem Satz nicht gut definiert werden, weil die bedingte Erwartung des negativen Teils auch plus die Unendlichkeit sein könnte.

Beweis

Lassen Sie ε> 0. Wegen der Uniform integrability in Bezug auf die bedingte Erwartung, dort besteht c> solcher 0 dass

:

Seitdem

:

wo x: = max {x, 0} zeigt an, dass der positive Teil eines echten x, Monomuskeltonus der bedingten Erwartung (oder die obengenannte Tagung) und die Standardversion des Lemmas von Fatou für bedingte Erwartungen einbeziehen

:

\le\mathbb {E }\\Bigl [\liminf_ {n\to\infty} (X_n+c) ^ + \,\Big | \,\mathcal G\Bigr]

\le\liminf_ {n\to\infty }\\mathbb {E} [(X_n+c) ^ + \, | \,\mathcal G] </Mathematik> fast sicher.

Seitdem:

wir haben

:

\le\mathbb {E} [X_n \, | \,\mathcal G] +c +\varepsilon </Mathematik> fast sicher,

folglich:

\liminf_ {n\to\infty }\\mathbb {E} [X_n \, | \,\mathcal G] + \varepsilon </Mathematik> fast sicher.

Das bezieht die Behauptung ein.

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