In der komplizierten Analyse stellt der Riemann, der Lehrsatz kartografisch darstellt, fest, dass, wenn eine nichtleere einfach verbundene offene Teilmenge des Flugzeugs der komplexen Zahl ist, das nicht ganzer dann ist, dort ein biholomorphic (bijektiv und holomorphic) besteht, von auf die offene Einheitsplatte kartografisch darstellend

Das kartografisch darzustellen, ist als ein Riemann bekannt, der kartografisch darstellt.

Intuitiv, die Bedingung, die man einfach Mittel verbunden wird, das keine "Löcher" enthält. Die Tatsache, die biholomorphic ist, deutet an, dass es eine Conformal-Karte und deshalb winkeltreu ist. Intuitiv bewahrt solch eine Karte die Gestalt jeder genug kleinen Zahl, während sie vielleicht rotiert und klettert (aber nicht nachdenkt) es.

Henri Poincaré hat bewiesen, dass die Karte im Wesentlichen einzigartig ist: Wenn ein Element dessen ist und φ ein willkürlicher Winkel ist, dann dort besteht genau ein als oben mit den zusätzlichen Eigenschaften, der in kartografisch darstellt, und dass das Argument der Ableitung am Punkt φ gleich ist. Das ist eine leichte Folge des Lemmas von Schwarz.

Als eine Folgeerscheinung des Lehrsatzes können irgendwelche zwei einfach verbundenen offenen Teilmengen des Bereichs von Riemann (der jede an mindestens zwei Punkten des Bereichs Mangel haben) conformally sein, der in einander kartografisch dargestellt ist (weil conformal Gleichwertigkeit eine Gleichwertigkeitsbeziehung ist).

Geschichte

Der Lehrsatz wurde festgesetzt (unter der Annahme, dass die Grenze dessen piecewise glatt ist) durch Bernhard Riemann 1851 in seiner Doktorarbeit. Lars Ahlfors hat einmal bezüglich der ursprünglichen Formulierung des Lehrsatzes geschrieben, dass es in Begriffen "schließlich formuliert wurde, die sich über jeden Versuch des Beweises sogar mit modernen Methoden hinwegsetzen würden". Der fehlerhafte Beweis von Riemann hat vom Grundsatz von Dirichlet abgehangen (dessen Name von Riemann selbst geschaffen wurde), der gesund zurzeit betrachtet wurde. Jedoch hat Karl Weierstrass gefunden, dass dieser Grundsatz nicht allgemein gültig war. Später ist David Hilbert im Stande gewesen zu beweisen, dass, weit gehend, der Grundsatz von Dirichlet laut der Hypothese gültig ist, dass Riemann damit arbeitete. Jedoch, um gültig zu sein, braucht der Grundsatz von Dirichlet bestimmte Hypothesen, bezüglich deren Grenze für einfach verbundene Gebiete im Allgemeinen nicht gültig sind. Einfach verbundene Gebiete mit willkürlichen Grenzen wurden zuerst dadurch behandelt.

Der erste Beweis des Lehrsatzes ist wegen Constantin Carathéodorys, der es 1912 veröffentlicht hat. Sein Beweis hat Oberflächen von Riemann verwendet, und er wurde von Paul Koebe zwei Jahre später in einem Weg vereinfacht, der sie nicht verlangt hat.

Ein anderer Beweis, wegen Leopold Fejérs und zu Frigyes Riesz, wurde 1922 veröffentlicht, und es war eher kürzer als die vorherigen. In diesem Beweis, wie im Beweis von Riemann, gewünscht kartografisch darzustellen, wurde als die Lösung eines extremal Problems erhalten. Der Fejér-Riesz Beweis wurde weiter von Alexander Ostrowski und von Carathéodory vereinfacht.

Wichtigkeit

Die folgenden Punkte berichten über die Einzigartigkeit und Macht des Riemanns ausführlich, der Lehrsatz kartografisch darstellt:

• Sogar relativ einfacher Riemann mappings (zum Beispiel eine Karte vom Interieur eines Kreises zum Interieur eines Quadrats) hat keine ausführliche Formel mit nur Elementarfunktionen.
• Einfach verbundene offene Sätze im Flugzeug können zum Beispiel hoch kompliziert werden die Grenze kann nirgends-differentiable fractal Kurve der unendlichen Länge sein, selbst wenn der Satz selbst begrenzt wird. Die Tatsache, dass solch ein Satz auf eine winkeltreue Weise zur netten und regelmäßigen Einheitsscheibe kartografisch dargestellt werden kann, scheint gegenintuitiv.
• Das Analogon des Riemanns, der Lehrsatz für mehr komplizierte Gebiete kartografisch darstellt, ist nicht wahr. Der folgende einfachste Fall ist doppelt verbundener Gebiete (Gebiete mit einem einzelnen Loch). Jedes doppelt verbundene Gebiet abgesehen von der durchstochenen Platte und dem durchstochenen Flugzeug ist conformally Entsprechung zu einem Ringrohr {: r: 1: 1 und wollen wir eine Funktion bauen, die zur Einheitsplatte und dazu kartografisch darstellt. Für diese Skizze werden wir annehmen, dass das begrenzt wird und seine Grenze glatt ist, viel wie Riemann hat getan. Schreiben Sie

wo einige ist (um bestimmt zu werden), holomorphic Funktion mit dem echten Teil und imaginären Teil. Es ist dann klar, dass z die einzige Null von f ist. Wir verlangen für an der Grenze dessen, so brauchen wir

an der Grenze. Seitdem ist der echte Teil einer Holomorphic-Funktion, wir wissen, dass das notwendigerweise eine harmonische Funktion ist, d. h. er die Gleichung von Laplace befriedigt.

Die Frage wird dann: Besteht eine reellwertige harmonische Funktion der wird auf ganzem dessen definiert und hat die gegebene Grenzbedingung? Die positive Antwort wird durch den Grundsatz von Dirichlet zur Verfügung gestellt. Sobald die Existenz von u gegründet worden ist, erlauben die Gleichungen von Cauchy-Riemann für die Holomorphic-Funktion uns zu finden (dieses Argument hängt ab in der Annahme, dass man einfach verbunden wird). Einmal und sind gebaut worden, man muss überprüfen, dass die resultierende Funktion wirklich tatsächlich alle erforderlichen Eigenschaften hat.

Lehrsatz von Uniformization

Der Riemann, der Lehrsatz kartografisch darstellt, kann zum Zusammenhang von Oberflächen von Riemann verallgemeinert werden: Wenn U eine einfach verbundene offene Teilmenge einer Oberfläche von Riemann ist, dann ist U biholomorphic zu einem des folgenden: der Bereich von Riemann, das komplizierte Flugzeug oder die offene Einheitsplatte. Das ist als der uniformization Lehrsatz bekannt.

Siehe auch

• Der Lehrsatz von Carathéodory
• Messbarer Riemann, der Lehrsatz kartografisch darstellt
• John B. Conway, Funktionen einer komplizierter Variable, Springers-Verlag, 1978, internationale Standardbuchnummer 0-387-90328-3
• John B. Conway, Funktionen einer komplizierter Variable II, Springers-Verlag, 1995, internationale Standardbuchnummer 0-387-94460-5
• Reinhold Remmert, Klassische Themen in der komplizierten Funktionstheorie, dem Springer-Verlag, 1998, internationale Standardbuchnummer 0-387-98221-3
• Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse, Göttingen, 1851

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