Ein polyomino ist ein Flugzeug geometrische gebildete Zahl durch das Verbinden ein oder gleicherer Quadratrand, um sich zu drängen. Es ist eine Polyform, deren Zellen Quadrate sind. Es kann als eine begrenzte Teilmenge betrachtet werden, mit einem verbundenen Interieur regelmäßig Quadrat-mit Ziegeln zu decken.

Polyominoes werden gemäß klassifiziert, wie viele Zellen sie haben:

Polyominoes sind in populären Rätseln seitdem mindestens 1907 verwendet worden, und auf die Enumeration von pentominoes wird zur Altertümlichkeit datiert. Viele Ergebnisse mit den Stücken von 1 bis 6 Quadraten wurden zuerst in der Feenhaften Schachrezension zwischen den Jahren 1937 bis 1957 unter dem Namen von "Sezieren-Problemen veröffentlicht." Der Name polyomino wurde von Solomon W. Golomb 1953 erfunden, und er wurde von Martin Gardner verbreitet.

Verbunden mit polyominoes sind polyiamonds, der von gleichseitigen Dreiecken gebildet ist; Polyhexen, die von regelmäßigen Sechsecken gebildet sind; und andere Flugzeug-Polyformen. Polyominoes sind zu höheren Dimensionen durch das Verbinden Würfeln verallgemeinert worden, um Polywürfel oder Hyperwürfel zu bilden, um polyhypercubes zu bilden.

Wie viele Rätsel in der Erholungsmathematik erheben polyominoes viele kombinatorische Probleme. Das grundlegendste zählt polyominoes einer gegebenen Größe auf. Keine Formel ist abgesehen von speziellen Klassen von polyominoes gefunden worden. Mehrere Schätzungen sind bekannt, und es gibt Algorithmen, um sie zu berechnen.

Polyominoes mit Löchern sind zu einigen Zwecken ungünstig wie, Probleme mit Ziegeln zu decken. In einigen Zusammenhängen polyominoes mit Löchern werden ausgeschlossen, das Erlauben hat nur einfach polyominoes verbunden.

Enumeration von polyominoes

Freier, einseitiger und befestigter polyominoes

Es gibt drei allgemeine Weisen, polyominoes für die Enumeration zu unterscheiden:

• freie polyominoes sind verschieden, wenn niemand eine starre Transformation (Übersetzung, Folge, Nachdenken oder Gleiten-Nachdenken) von einem anderen ist (Stücke, die aufgenommen und geschnipst werden können).
• einseitige polyominoes sind verschieden, wenn niemand eine Übersetzung oder Folge von einem anderen ist (Stücke, die nicht geschnipst werden können).
• befestigte polyominoes sind verschieden, wenn niemand eine Übersetzung von einem anderen ist (Stücke, die weder geschnipst noch rotieren gelassen werden können).

Der folgende Tisch zeigt die Zahlen von polyominoes von verschiedenen Typen mit n Zellen.

, Iwan Jensen hat den festen polyominoes bis zu n = 56 aufgezählt; die Zahl von festem polyominoes mit 56 Zellen ist etwa 6.915. Freie polyominoes sind bis zu n = 28 von Tomás Oliveira e Silva aufgezählt worden.

Symmetries von polyominoes

Die zweiflächige Gruppe D ist die Gruppe von symmetries (Symmetrie-Gruppe) von einem Quadrat. Diese Gruppe enthält vier Folgen und vier Nachdenken. Es wird durch das Wechselnachdenken über die X-Achse und über eine Diagonale erzeugt. Ein freier polyomino entspricht höchstens 8 hat polyominoes befestigt, die seine Images unter dem symmetries von D sind. Jedoch sind jene Images nicht notwendigerweise verschieden: Mehr Symmetrie, die ein freier polyomino, die weniger verschiedenen festen Kopien hat, die es hat. Deshalb kann ein freier polyomino, der invariant unter einigen oder dem ganzen nichttrivialen symmetries von D ist, entsprechen nur 4, 2 oder 1 haben polyominoes befestigt. Mathematisch sind freie polyominoes Gleichwertigkeitsklassen von festem polyominoes unter der Gruppe D.

Polyominoes haben den folgenden möglichen symmetries; kleinste Zahl von Quadraten, die in einem polyomino mit dieser Symmetrie erforderlich sind, wird in jedem Fall gegeben:

• 8 hat polyominoes für jeden freien polyomino befestigt:
• keine Symmetrie (4)
• 4 hat polyominoes für jeden freien polyomino befestigt:
• Spiegelsymmetrie in Bezug auf eine der Bratrost-Linienrichtungen (4)
• Spiegelsymmetrie in Bezug auf eine diagonale Linie (3)
• 2-fache Rotationssymmetrie: C (4)
• 2 hat polyominoes für jeden freien polyomino befestigt:
• Symmetrie sowohl in Bezug auf Bratrost-Linienrichtungen, als auch folglich auch in Bezug auf 2-fache Rotationssymmetrie: D (2)
• Symmetrie sowohl in Bezug auf diagonale Richtungen, als auch folglich auch in Bezug auf 2-fache Rotationssymmetrie: D (7)
• 4-fache Rotationssymmetrie: C (8)
• 1 hat polyomino für jeden freien polyomino befestigt:
• die ganze Symmetrie des Quadrats: D (1).

Der folgende Tisch zeigt die Zahlen von polyominoes mit n Quadraten, die von Symmetrie-Gruppen sortiert sind.

Algorithmen für die Enumeration von festem polyominoes

Induktive Algorithmen

Jeder polyomino des Auftrags n+1 kann durch das Hinzufügen eines Quadrats zu einem polyomino des Auftrags n erhalten werden. Das führt zu Algorithmen, um polyominoes induktiv zu erzeugen.

Am einfachsten, in Anbetracht einer Liste von polyominoes des Auftrags n, können Quadrate neben jedem polyomino in jeder möglichen Position und dem resultierenden polyomino des Auftrags n+1 hinzugefügt werden, der zur Liste wenn nicht einem Duplikat von einem bereits hinzugefügt ist, gefunden; Verbesserungen in der Einrichtung der Enumeration und Markierung angrenzender Quadrate, die nicht betrachtet werden sollten, vermindern die Anzahl von Fällen, die für Duplikate überprüft werden müssen. Diese Methode kann verwendet werden, um entweder freien oder festen polyominoes aufzuzählen.

Eine hoch entwickeltere Methode, die von Redelmeier beschrieben ist, ist von vielen Autoren als ein Weg verwendet worden, nicht nur polyominoes aufzuzählen (ohne zu verlangen, dass der ganze polyominoes des Auftrags n versorgt werden, um diejenigen des Auftrags n+1 aufzuzählen), sondern auch Beweis von oberen Grenzen auf ihrer Zahl. Die Grundidee besteht darin, dass wir mit einem einzelnen Quadrat, und von dort beginnen, fügen Sie rekursiv Quadrate hinzu. Abhängig von den Details kann es jeden n-omino n Zeiten, einmal davon aufzählen, von jedem seiner n Quadrate anzufangen oder kann eingeordnet werden, um jeden nur einmal aufzuzählen.

Die einfachste Durchführung ist mit dem Hinzufügen eines Quadrats auf einmal verbunden. Mit einem anfänglichen Quadrat beginnend, numerieren Sie die angrenzenden Quadrate, im Uhrzeigersinn von der Spitze, 1, 2, 3, und 4. Picken Sie jetzt eine Zahl zwischen 1 und 4 auf, und fügen Sie ein Quadrat an dieser Position hinzu. Numerieren Sie die unnumerierten angrenzenden Quadrate, mit 5 anfangend. Dann picken Sie eine Zahl auf, die größer ist als die vorher aufgepickte Zahl, und fügen Sie dieses Quadrat hinzu. Setzen Sie fort, eine Zahl aufzupicken, die größer ist als die Zahl des aktuellen Quadrats, dass Quadrat und dann das Numerieren der neuen angrenzenden Quadrate hinzufügend. Als n Quadrate geschaffen worden sind, ist ein n-omino geschaffen worden.

Diese Methode stellt sicher, dass jeder polyomino befestigt hat, wird genau n Zeiten einmal für jedes Startquadrat aufgezählt. Es kann optimiert werden, so dass es jeden polyomino nur einmal, aber nicht n Zeiten aufzählt. Wenn Sie mit dem anfänglichen Quadrat anfangen, erklären Sie es, das tiefer verlassene Quadrat des polyomino zu sein. Numerieren Sie einfach kein Quadrat, das auf einer niedrigeren Reihe, oder verlassen des Quadrats auf derselben Reihe ist. Das ist die von Redelmeier beschriebene Version.

Wenn man freien polyominoes statt dessen dann aufzählen möchte, kann man für symmetries nach dem Schaffen jedes n-omino überprüfen. Jedoch ist es schneller, um symmetrischen polyominoes getrennt (durch eine Schwankung dieser Methode) zu erzeugen und so die Zahl von freiem polyominoes durch das Lemma von Burnside zu bestimmen.

Mit der Übertragungmatrixmethode

Der modernste Algorithmus, für den festen polyominoes aufzuzählen, wurde von Iwan Jensen entdeckt. Eine Verbesserung auf der Methode von Andrew Conway, es ist exponential schneller als die vorherigen Methoden (jedoch, seine Laufzeit ist noch in n Exponential-).

Sowohl die Versionen von Conway als auch Jensens der mit der Übertragungmatrixmethode schließen das Zählen der Zahl von polyominoes ein, die eine bestimmte Breite haben. Die Computerwissenschaft der Zahl für alle Breiten gibt die Gesamtzahl von polyominoes. Die Grundidee hinter der Methode besteht darin, dass mögliche beginnende Reihen betrachtet werden, und dann zu beschließen, dass die minimale Zahl von Quadraten den polyomino der gegebenen Breite vollenden musste. Verbunden mit dem Gebrauch, Funktionen zu erzeugen, ist diese Technik im Stande, viele polyominoes sofort aufzuzählen, so ihm ermöglichend, oft schneller zu laufen, als Methoden, die jeden polyomino erzeugen müssen.

Obwohl es ausgezeichnete Laufzeit hat, besteht der Umtausch darin, dass dieser Algorithmus Exponentialbeträge des Gedächtnisses verwendet (viele Gigabytes des Gedächtnisses sind für n oben 50 erforderlich), ist zum Programm viel härter als die anderen Methoden und kann nicht zurzeit verwendet werden, um freien polyominoes aufzuzählen.

Asymptotisches Wachstum der Zahl von polyominoes

Befestigter polyominoes

Theoretische Argumente und numerische Berechnungen unterstützen die Schätzung

:

wo λ = 4.0626 und c = 0.3169. Jedoch wird dieses Ergebnis nicht bewiesen und die Werte von λ, und c sind nur Schätzungen.

Die bekannten theoretischen Ergebnisse sind fast so nicht spezifisch wie diese Schätzung. Es ist das bewiesen worden

besteht. Mit anderen Worten wächst A exponential. Das für λ tiefer gebundene am besten bekannte ist 3.980137. Das am besten bekannte obere gebunden, nicht verbessert seit den 1970er Jahren, ist.

Um einen gebundenen niedrigeren zu gründen, ist eine einfache, aber hoch wirksame Methode Verkettung von polyominoes. Definieren Sie das ober-richtige Quadrat, um das niedrigstwertige Quadrat in der obersten Reihe des polyomino zu sein. Definieren Sie unten links Quadrat ähnlich. Dann kann das ober-richtige Quadrat jedes polyomino der Größe n unten links Quadrat jedes polyomino der Größe M beigefügt werden, um einen einzigartigen (n+m)-omino zu erzeugen. Das erweist sich. Mit dieser Gleichung kann man sich für den ganzen n zeigen. Verbesserungen dieses Verfahrens, das mit Daten für A verbunden ist, erzeugen tiefer bestimmt gegeben oben.

Das gebundene obere wird durch die Generalisierung der induktiven Methode erreicht, polyominoes aufzuzählen. Anstatt ein Quadrat auf einmal hinzuzufügen, fügt man eine Traube von Quadraten auf einmal hinzu. Das wird häufig als das Hinzufügen von Zweigen beschrieben. Indem man beweist, dass jeder n-omino eine Folge von Zweigen, und durch den Beweis von Grenzen auf den Kombinationen von möglichen Zweigen ist, herrscht man vor ein oberer hat zur Zahl von n-ominoes gebunden. Zum Beispiel im Algorithmus, der oben an jedem Schritt entworfen ist, müssen wir eine größere Zahl wählen, und höchstens werden drei neue Zahlen hinzugefügt (da höchstens drei unnumerierte Quadrate neben jedem numerierten Quadrat sind). Das kann verwendet werden, um einen oberen zu erhalten, der 6.75 gebunden ist. Mit 2.8 Millionen Zweigen haben Klarner und Rivest einen oberen erhalten, der 4.65 gebunden ist.

Freier polyominoes

Annäherungen für die Zahl von festem polyominoes und freiem polyominoes sind auf eine einfache Weise verbunden. Ein freier polyomino ohne symmetries (Folge oder Nachdenken) entspricht 8 verschiedenem befestigtem polyominoes, und für großen n, die meisten n-ominoes haben keinen symmetries. Deshalb ist die Zahl von festem n-ominoes etwa 8mal die Zahl von freiem n-ominoes. Außerdem ist diese Annäherung als n Zunahmen exponential genauer.

Spezielle Klassen von polyominoes

Genaue Formeln sind bekannt, um polyominoes von speziellen Klassen, wie die Klasse von konvexem polyominoes und die Klasse von geleitetem polyominoes aufzuzählen.

Die Definition eines konvexen polyomino ist von der üblichen Definition der Konvexität verschieden. Wie man sagt, ist ein polyomino konvexe Säule, wenn seine Kreuzung mit einer vertikaler Linie konvex ist (mit anderen Worten, hat jede Säule keine Löcher). Ähnlich, wie man sagt, ist ein polyomino konvexe Reihe, wenn seine Kreuzung mit einer horizontaler Linie konvex ist. Wie man sagt, ist ein polyomino konvex, wenn es Reihe und konvexe Säule ist.

sagt, wird ein polyomino geleitet, wenn er ein Quadrat enthält, das als die Wurzel bekannt ist, solch, dass jedes andere Quadrat durch Bewegungen oder Recht ein Quadrat erreicht werden kann, ohne den polyomino zu verlassen.

Geleitete polyominoes, Säule (oder Reihe) konvexer polyominoes und konvexer polyominoes sind durch das Gebiet n, sowie durch einige andere Rahmen wie Umfang mit erzeugenden Funktionen effektiv aufgezählt worden.

Gebrauch von polyominoes

Polyominoes haben bedeutende Forschung in der Mathematik gefördert und sind ein fruchtbares Thema für und Erholungsmathematik. Herausforderungen werden häufig aufgestellt, um zu bedecken, ein vorgeschriebenes Gebiet oder das komplette Flugzeug, mit polyominoes oder Falte eines polyomino (mit Ziegeln zu decken), um andere Gestalten zu schaffen. Gardner hat mehrere einfache Spiele mit einer Reihe freier pentominoes und einem Schachbrett vorgeschlagen. Einige Varianten des Rätsels von Sudoku verwenden polyomino-geformte Gebiete auf dem Bratrost. Das Spiel Tetris basiert auf den sieben einseitigen tetrominoes und dem Brettspiel Blokus, verwendet alle freien polyominoes bis zu pentominoes.

Gebiete mit Sätzen von polyominoes mit Ziegeln deckend

Rätsel bitten allgemein ein gegebenes Gebiet mit einem gegebenen Satz von polyominoes wie die 12 pentominoes mit Ziegeln zu decken. Die Bücher von Golomb und Gardners haben viele Beispiele. Ein typisches Rätsel soll 6×10 Rechteck mit den zwölf pentominoes mit Ziegeln decken; die 2339 Lösungen davon wurden 1960 gefunden. Wo vielfachen Kopien des polyominoes im Satz erlaubt wird, definiert Golomb eine Hierarchie von verschiedenen Gebieten, die ein Satz im Stande sein kann, wie Rechtecke, Streifen und das ganze Flugzeug mit Ziegeln zu decken, und zeigt, dass, ob polyominoes von einem gegebenen Satz das Flugzeug mit Ziegeln decken kann, unentscheidbar ist, indem es Sätze von Ziegeln von Wang zu Sätzen von polyominoes kartografisch dargestellt wird.

Gebiete mit Kopien eines einzelnen polyomino mit Ziegeln deckend

Eine andere Klasse von Problemen fragt, ob Kopien eines gegebenen polyomino ein Rechteck mit Ziegeln decken können, und wenn so, welche Rechtecke sie mit Ziegeln decken können. Diese Probleme sind für besonderen polyominoes umfassend studiert worden, und Tische von Ergebnissen für individuellen polyominoes sind verfügbar. Klarner und Göbel haben gezeigt, dass für jeden polyomino es einen begrenzten Satz von Hauptrechtecken gibt, die er, solch mit Ziegeln deckt, dass alle anderen Rechtecke, die er mit Ziegeln deckt, durch jene Hauptrechtecke mit Ziegeln gedeckt werden können.

Außer Rechtecken hat Golomb seine Hierarchie für einzelnen polyominoes gegeben: Ein polyomino kann ein Rechteck, einen halben Streifen, einen Begabungsstreifen, eine vergrößerte Kopie von sich, einem Quadranten, einem Streifen, einem halben Flugzeug, dem ganzen Flugzeug, den bestimmten Kombinationen oder keinem von diesen mit Ziegeln decken. Es gibt bestimmte Implikationen unter diesen, beide offensichtlich (zum Beispiel, wenn polyomino Ziegel die Hälfte des Flugzeugs dann es das ganze Flugzeug mit Ziegeln deckt) und weniger (zum Beispiel, wenn polyomino Ziegel eine vergrößerte Kopie von sich, dann deckt es den Quadranten mit Ziegeln). Polyominoes von Ordnungen werden bis zu 6 in dieser Hierarchie (mit dem Status eines hexomino, später gefunden charakterisiert, ein Rechteck, ungelöst damals mit Ziegeln zu decken).

2001 haben Cristopher Moore und John Michael Robson gezeigt, dass das Problem, einen polyomino mit Kopien von einem anderen mit Ziegeln zu decken, NP-complete ist.

Das Flugzeug mit Kopien eines einzelnen polyomino mit Ziegeln deckend

Das Flugzeug mit Kopien eines einzelnen polyomino mit Ziegeln zu decken, ist auch sehr besprochen worden. Es wurde 1965 bemerkt, dass alle polyominoes von Aufträgen 1 bis 6 das Flugzeug, und dann mit Ziegeln decken, dass alle außer vier heptominoes so tun werden. Es wurde dann von David Bird dass alle außer 26 octominoes Ziegel das Flugzeug gegründet. Rawsthorne hat gefunden, dass alle außer 235 polyominoes des Ziegels des Auftrags 9 und solche Ergebnisse zu höheren Ordnungen von Rhoads (zum Auftrag 14) und andere erweitert worden sind. Polyominoes, die das Flugzeug mit Ziegeln decken, sind durch den symmetries ihres tilings und durch die Zahl von Aspekten (Orientierungen) klassifiziert worden, in denen die Ziegel in ihnen erscheinen.

Eine allgemeine Zahl mit verschiedenem polyominoes mit Ziegeln deckend

Das Vereinbarkeitsproblem ist, zwei oder mehr polyominoes zu nehmen und eine Zahl zu finden, die mit jedem mit Ziegeln gedeckt werden kann. Vereinbarkeit von Polyomino ist seit den 1990er Jahren weit studiert worden. Jorge Luis Mireles und Giovanni Resta haben Websites von systematischen Ergebnissen und Show-Ergebnissen von Livio Zucca für einige komplizierte Fälle wie drei verschiedene pentominoes veröffentlicht. Das allgemeine Problem kann hart sein. Die erste Vereinbarkeitszahl für den L und X pentominoes wurde 2005 veröffentlicht und hatte 80 Ziegel jeder Art. Viele Paare von polyominoes sind unvereinbar durch die systematische Erschöpfung bewiesen worden. Kein Algorithmus ist bekannt, um zu entscheiden, ob zwei willkürliche polyominoes vereinbar sind.

Etymologie

Das Wort polyomino und die Namen der verschiedenen Ordnungen von polyomino sind alle Rückbildungen vom Wortdomino, ein allgemeines Spielstück, das aus zwei Quadraten, mit dem ersten Brief d-fantasievoll interpretiert als eine Version des Präfixes di - besteht, der "zwei" bedeutet. Wie man glaubt, kommt das Namendomino für das Spielstück aus dem entdeckten Maskerade-Kleidungsstück-Domino aus lateinischem dominus.

Die meisten numerischen Präfixe sind griechisch. Polyominoes des Auftrags 9 und 11 nehmen öfter die lateinischen Präfixe nona - (nonomino) und undeca-(undecomino) als die griechischen Präfixe ennea-(enneomino) und hendeca-(hendecomino).

Siehe auch

• Perkolationstheory, die mathematische Studie von zufälligen Teilmengen des Bratrostes der ganzen Zahl. Die begrenzten verbundenen Bestandteile dieser Teilmengen bilden polyominoes.
• Junges Diagramm, eine spezielle Art von in der Zahlentheorie verwendetem polyomino, um Teilungen der ganzen Zahl und in der mathematischen Physik zu beschreiben, um Darstellungen der symmetrischen Gruppe zu beschreiben.
• Blokus, ein Brettspiel mit polyominoes.
• Squaregraph, eine Art ungeleiteter Graph einschließlich als ein spezieller Fall die Graphen von Scheitelpunkten und Ränder von polyominoes.

Referenzen

Links

• Eine interaktive polyomino-mit-Ziegeln-deckende Anwendung
• Das polyomino begrenzte Rechteck von Karl Dahlke tilings
• Eine Durchführung und Beschreibung der Methode von Jensen
• Eine Zeitung, die moderne Schätzungen (PS) beschreibt
• MathPages - Zeichen auf der Enumeration von polyominoes mit verschiedenem symmetries
• Liste von Sezieren-Problemen in der Feenhaften Schachrezension
• Vierbiteinheiten durch Karl Scherer, Wolfram-Demonstrationsprojekt.