Funktionsanalyse

Funktionsanalyse ist ein Zweig der mathematischen Analyse, deren Kern durch die Studie von Vektorräumen gebildet wird, die mit einer Art Grenze-zusammenhängender Struktur (z.B Skalarprodukt, Norm, Topologie, usw.) und die geradlinigen Maschinenbediener ausgestattet sind, die nach diesen Räumen handeln und diese Strukturen in einem passenden Sinn respektieren. Die historischen Wurzeln der Funktionsanalyse liegen in der Studie von Räumen von Funktionen, und die Formulierung von Eigenschaften von Transformationen von Funktionen wie der Fourier verwandeln sich als Transformationen, die dauernd, einheitlich usw. Maschinenbediener zwischen Funktionsräumen definieren. Dieser Gesichtspunkt hat sich erwiesen, für die Studie von unterschiedlichen und Integralgleichungen besonders nützlich zu sein.

Der Gebrauch des funktionellen Wortes geht zurück zur Rechnung von Schwankungen, eine Funktion einbeziehend, deren Argument eine Funktion ist und der Name zuerst im 1910-Buch von Hadamard auf diesem Thema verwendet wurde. Jedoch war das Gesamtkonzept von funktionellen vorher 1887 vom italienischen Mathematiker und Physiker Vito Volterra eingeführt worden. Die Theorie von nichtlinearem functionals wurde von Studenten von Hadamard, in besonderem Fréchet und Lévy fortgesetzt. Hadamard hat auch die moderne Schule der geradlinigen Funktionsanalyse gegründet, die weiter von Riesz und der Gruppe von polnischen Mathematikern um Stefan Banach entwickelt ist.

In modernen einleitenden Texten zur Funktionsanalyse wird das Thema als die Studie von Vektorräumen gesehen, die mit einer Topologie in besonderen unendlichen dimensionalen Räumen ausgestattet sind. Im Gegensatz befasst sich geradlinige Algebra größtenteils mit begrenzten dimensionalen Räumen, oder verwendet Topologie nicht. Ein wichtiger Teil der Funktionsanalyse ist die Erweiterung der Theorie des Maßes, der Integration und der Wahrscheinlichkeit zu unendlichen dimensionalen Räumen, auch bekannt als unendlicher dimensionaler Analyse.

Vektorräume von Normed

Die grundlegende und historisch erste Klasse von in der Funktionsanalyse studierten Räumen ist ganze normed Vektorräume über die reellen Zahlen oder komplexen Zahlen. Solche Räume werden Banachräume genannt. Ein wichtiges Beispiel ist ein Raum von Hilbert, wo die Norm aus einem Skalarprodukt entsteht. Diese Räume sind von grundsätzlicher Wichtigkeit in vielen Gebieten einschließlich der mathematischen Formulierung der Quant-Mechanik.

Mehr allgemein schließt Funktionsanalyse die Studie von Räumen von Fréchet und anderen topologischen mit einer Norm nicht ausgestatteten Vektorräumen ein.

Ein wichtiger Gegenstand der Studie in der Funktionsanalyse ist die dauernden geradlinigen auf Räumen von Banach und Hilbert definierten Maschinenbediener. Diese führen natürlich zur Definition C*-algebras und andere Maschinenbediener-Algebra.

Räume von Hilbert

Räume von Hilbert können völlig klassifiziert werden: Es gibt einen einzigartigen Raum von Hilbert bis zum Isomorphismus für jeden cardinality der orthonormalen Basis. Endlich-dimensionale Hilbert Räume werden in der geradlinigen Algebra völlig verstanden, und unendlich-dimensionale trennbare Räume von Hilbert sind dazu isomorph. Trennbarkeit, die für Anwendungen wichtig ist, die Funktionsanalyse von Räumen von Hilbert befasst sich folglich größtenteils mit diesem Raum. Eines der offenen Probleme in der Funktionsanalyse soll beweisen, dass jeder begrenzte geradlinige Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert einen richtigen invariant Subraum hat. Viele spezielle Fälle dieses invariant Subraumproblems sind bereits bewiesen worden.

Banachräume

Allgemeine Banachräume sind mehr kompliziert als Räume von Hilbert, und können auf solch eine einfache Weise als diejenigen nicht klassifiziert werden. Insbesondere Banachräume haben an einem einer orthonormalen Basis analogen Begriff Mangel.

Beispiele von Banachräumen sind - Räume für jede reelle Zahl. In Anbetracht auch eines Maßes auf dem Satz, dann, manchmal auch angezeigt oder, hat als seine Vektor-Gleichwertigkeitsklassen von messbaren Funktionen, deren-th Macht des absoluten Werts begrenztes Integral, d. h. Funktionen hat, für die hat

:

Wenn das Zählen-Maß ist, dann kann das Integral durch eine Summe ersetzt werden. D. h. wir verlangen

:

Dann ist es nicht notwendig, sich mit Gleichwertigkeitsklassen zu befassen, und der Raum wird angezeigt, einfacher im Fall geschrieben, wenn der Satz von natürlichen Zahlen ist.

In Banachräumen schließt ein großer Teil der Studie den Doppelraum ein: der Raum aller dauernden geradlinigen Karten vom Raum in sein zu Grunde liegendes Feld, so genannten functionals. Ein Banachraum kann mit einem Subraum seines bidual kanonisch identifiziert werden, der der Doppel-von seinem Doppelraum ist. Die entsprechende Karte ist eine Isometrie, aber im Allgemeinen nicht darauf. Ein allgemeiner Banachraum und sein bidual brauchen in jedem Fall gegen die endlich-dimensionale Situation nicht sogar isometrisch isomorph zu sein. Das wird im Doppelraumartikel erklärt.

Außerdem kann der Begriff der Ableitung zu willkürlichen Funktionen zwischen Banachräumen erweitert werden., Sieh zum Beispiel, den Ableitungsartikel von Fréchet.

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Größer und Foundational-Ergebnisse

Wichtige Ergebnisse der Funktionsanalyse schließen ein:

  • Die Uniform boundedness Grundsatz (auch bekannt als Banach-Steinhaus Lehrsatz) gilt für Sätze von Maschinenbedienern mit gleichförmigen Grenzen.
  • Einer der geisterhaften Lehrsätze (gibt es tatsächlich mehr als einen) gibt eine integrierte Formel für die normalen Maschinenbediener auf einem Raum von Hilbert. Dieser Lehrsatz ist von Hauptwichtigkeit für die mathematische Formulierung der Quant-Mechanik.
  • Der Hahn-Banach Lehrsatz erweitert functionals von einem Subraum bis den vollen Raum auf eine Norm bewahrende Mode. Eine Implikation ist die Nichtbedeutungslosigkeit von Doppelräumen.
  • Der offene kartografisch darstellende Lehrsatz und geschlossene Graph-Lehrsatz.

Siehe auch: Liste von Funktionsanalyse-Themen.

Fundamente von Mathematik-Rücksichten

Die meisten in der Funktionsanalyse betrachteten Räume haben unendliche Dimension. Die Existenz einer Vektorraum-Basis für solche Räume zu zeigen, kann das Lemma von Zorn verlangen. Jedoch ist ein etwas verschiedenes Konzept, Basis von Schauder, gewöhnlich in der Funktionsanalyse mehr wichtig. Viele sehr wichtige Lehrsätze verlangen den Hahn-Banach Lehrsatz, gewöhnlich hat Verwenden-Axiom der Wahl bewiesen, obwohl ausschließlich schwächerer Boolean idealer Hauptlehrsatz genügt. Der Baire Kategorie-Lehrsatz, musste viele wichtige Lehrsätze beweisen, auch verlangt eine Form des Axioms der Wahl.

Gesichtspunkte

Die Funktionsanalyse in seinem schließt die folgenden Tendenzen ein:

  • Abstrakte Analyse. Eine Annäherung an die Analyse, die auf topologischen Gruppen, topologischen Ringen und topologischen Vektorräumen gestützt ist.
  • Die Geometrie von Banachräumen enthält viele Themen. Man ist kombinatorische mit Jean Bourgain verbundene Annäherung; ein anderer ist eine Charakterisierung von Banachräumen, in denen verschiedene Formen des Gesetzes der großen Anzahl halten.
  • Nichtersatzgeometrie. Entwickelt von Alain Connes, teilweise auf frühere Begriffe wie die Annäherung von George Mackey an die ergodic Theorie bauend.
  • Verbindung mit der Quant-Mechanik. Entweder mit knapper Not definiert als in der mathematischen Physik, oder weit gehend interpretiert durch, z.B Israel Gelfand, um die meisten Typen der Darstellungstheorie einzuschließen.

Siehe auch

  • Liste von Funktionsanalyse-Themen
  • Geisterhafte Theorie
  • Aliprantis, C.D. Grenze, K.C.: Infinite Dimensional Analysis: Ein Führer eines Trampers, 3. Hrsg., Springer 2007, internationale Standardbuchnummer 978-3-540-32696-0. Online (durch das Abonnement)
  • Bachman, G., Narici, L.: Funktionsanalyse, Akademische Presse, 1966. (drucken Sie Veröffentlichungen von Dover nach)
  • Banach S. Theorie von Geradlinigen Operationen. Band 38, Nordhollander Mathematische Bibliothek, 1987, internationale Standardbuchnummer 0-444-70184-2
  • Brezis, H.: Analysieren Sie Fonctionnelle, Dunod internationale Standardbuchnummer 978-2-10-004314-9 oder internationale Standardbuchnummer 978-2-10-049336-4
  • Conway, J. B.: Ein Kurs in der Funktionsanalyse, der 2. Ausgabe, dem Springer-Verlag, 1994, internationale Standardbuchnummer 0-387-97245-5
  • Dunford, N. und Schwartz, J.T.: Linear Operators, Allgemeine Theorie, und andere 3 Volumina, schließen Vergegenwärtigungskarten ein
  • Edwards, R. E.: Funktionsanalyse, Theorie und Anwendungen, Hält Rinehart und Winston, 1965.
  • Eidelman, Yuli, Vitali Milman und Antonis Tsolomitis: Funktionsanalyse: Eine Einführung, amerikanische Mathematische Gesellschaft, 2004.
  • Freidman, A.: Fundamente der Modernen Analyse, Veröffentlichungen von Dover, Paperback-Ausgabe, am 21. Juli 2010
  • Giles, J.R.: Einführung in die Analyse von Normed geradlinigen Räumen, Universität von Cambridge Presse, 2000
  • Hirsch F., Lacombe G. - "Elemente der Funktionsanalyse", Springer 1999.
  • Hutson, V., Pym, J.S. Wolke M.J.: Anwendungen der Funktionsanalyse- und Maschinenbediener-Theorie, 2. Ausgabe, Elsevier Wissenschaft, 2005, internationale Standardbuchnummer 0-444-51790-1
  • Kantorovitz, S., Einführung in die Moderne Analyse, Presse der Universität Oxford, 2003,2. Hrsg. 2006
  • Kolmogorov, A.N und Fomin, S.V.: Elements der Theorie von Funktionen und Funktionsanalyse, Veröffentlichungen von Dover, 1999
  • Kreyszig, E.: Einleitende Funktionsanalyse mit Anwendungen, Wiley, 1989.
  • Locker, P.: Funktionsanalyse, Wiley-Zwischenwissenschaft, 2002
  • Lebedev, L.P. und Vorovich, I.I.: Funktionsanalyse in der Mechanik, dem Springer-Verlag, den 2002
  • Michel, Anthony N. und Charles J. Herget: Angewandte Algebra und Funktionsanalyse, Dover, 1993.
  • Pietsch, Albrecht: Geschichte von Banachräumen und geradlinigen Maschinenbedienern, Birkhauser Boston Inc., 2007, internationale Standardbuchnummer 978-0-8176-4367-6
  • Rohr, M., Simon, B.: "Funktionsanalyse", Akademische Presse 1980.
  • Riesz, F. und Sz.-Nagy, B.: Funktionsanalyse, Veröffentlichungen von Dover, 1990
  • Rudin, W.: Funktionsanalyse, McGraw-Hügel-Wissenschaft, 1991
  • Schechter, M.: Grundsätze von Funktionsanalyse, AMS, 2. Ausgabe, 2001
  • Shilov, Georgi E.: Elementare Funktionsanalyse, Dover, 1996.
  • Sobolev, S.L.: Anwendungen der Funktionsanalyse in der Mathematischen Physik, AMS, den 1963
  • Yosida, K.: Funktionsanalyse, Springer-Verlag, 6. Ausgabe, 1980

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