In der Gruppentheorie, einem Zweig der abstrakten Algebra, ist das Problem von Whitehead die folgende Frage:

:Is jede abelian Gruppe mit dem App. (A, Z) = 0 eine freie abelian Gruppe?

Shelah (1974) hat bewiesen, dass das Problem von Whitehead innerhalb der ZFC Standardmengenlehre unentscheidbar ist.

Verbesserung

Der Bedingungsapp. (A, Z) = 0 kann wie folgt gleichwertig formuliert werden: Wann auch immer B eine abelian Gruppe und f ist: B  ist A ein surjective Gruppenhomomorphismus, dessen Kern zur Gruppe von ganzen Zahlen Z isomorph ist, dann dort besteht ein Gruppenhomomorphismus g: Ein  B mit fg = id. Gruppen von Abelian, die diese Bedingung befriedigen, werden manchmal Gruppen von Whitehead genannt, so fragt das Problem von Whitehead: Ist jede Gruppe von Whitehead frei?

Verwarnung: Das gegenteilige vom Problem von Whitehead, nämlich dass jede freie abelian Gruppe Whitehead ist, ist eine weithin bekannte gruppentheoretische Tatsache. Einige Autoren nennen Gruppe von Whitehead nur eine nichtfreie Gruppe Ein befriedigender App. (A, Z) = 0. Das Problem von Whitehead fragt dann: Bestehen Gruppen von Whitehead?

Der Beweis von Shelah

gezeigt, dass, in Anbetracht des kanonischen ZFC Axiom-Systems, das Problem der üblichen Axiome der Mengenlehre unabhängig ist. Genauer hat er dass gezeigt:

• Wenn jeder Satz constructible ist, dann ist jede Gruppe von Whitehead frei;
• Wenn das Axiom von Martin und die Ablehnung der Kontinuum-Hypothese beide halten, dann gibt es eine nichtfreie Gruppe von Whitehead.

Da die Konsistenz von ZFC die Konsistenz von jedem des folgenden einbezieht:

• Das Axiom von constructibility (der behauptet, dass alle Sätze constructible sind);
• Das Axiom von Martin plus die Ablehnung der Kontinuum-Hypothese,

Das Problem von Whitehead kann in ZFC nicht aufgelöst werden.

Diskussion

J. H. C. Whitehead, der durch das Großcousin-Problem motiviert ist, hat zuerst das Problem in den 1950er Jahren aufgeworfen. geantwortet auf die Frage bejahend für zählbare Gruppen. Der Fortschritt für größere Gruppen war langsam, und das Problem wurde als ein wichtiger in der Algebra seit einigen Jahren betrachtet.

Das Ergebnis von Shelah war völlig unerwartet. Während die Existenz von unentscheidbaren Behauptungen bekannt gewesen war, seit dem Unvollständigkeitslehrsatz von Gödel von 1931 waren vorherige Beispiele von unentscheidbaren Behauptungen (wie die Kontinuum-Hypothese) alle in der reinen Mengenlehre gewesen. Das Whitehead Problem war das erste rein algebraische Problem, unentscheidbar bewiesen zu werden.

später hat gezeigt, dass das Problem von Whitehead unentscheidbar bleibt, selbst wenn man die Kontinuum-Hypothese annimmt. Die Whitehead-Vermutung ist wahr, wenn alle Sätze constructible sind. Dass das und andere Behauptungen über unzählbare abelian Gruppen von ZFC nachweisbar unabhängig sind, zeigt, dass die Theorie solcher Gruppen zur angenommenen zu Grunde liegenden Mengenlehre sehr empfindlich ist.

Siehe auch

• Freie abelian Gruppe
• Gruppe von Whitehead
• Liste von Behauptungen, die in ZFC unentscheidbar

• Wahre Behauptungen, wenn alle Sätze constructible sind
• Eine erklärende Rechnung des Beweises von Shelah.