In der Mathematik, einem Teiler einer ganzen Zahl, hat auch einen Faktor dessen genannt, ist eine ganze Zahl, die sich teilt, ohne einen Rest zu verlassen.

Fachsprache

Der Name "Teiler" kommt aus der arithmetischen Operation der Abteilung: Wenn dann die Dividende, der Teiler und der Quotient ist.

Im Allgemeinen, für ganze Nichtnullzahlen und, teilt sich, schriftlich:

:

wenn dort eine solche ganze Zahl dass besteht. So können Teiler negativ sowie positiv sein, obwohl manchmal der Begriff auf positive Teiler eingeschränkt wird. (Zum Beispiel gibt es sechs Teiler vier, 1, 2, 4, −1, −2, −4, aber nur die positiven würden gewöhnlich, d. h. 1, 2, und 4 erwähnt.)

1 und −1 teilen sich (sind Teiler) jede ganze Zahl, jede ganze Zahl (und seine Ablehnung) ist ein Teiler von sich, und jede ganze Zahl ist ein Teiler 0, außer durch die Tagung 0 selbst (sieh auch Abteilung durch die Null). Zahlen, die durch 2 teilbar sind, werden sogar genannt, und Zahlen, die durch 2 nicht teilbar sind, werden seltsam genannt.

1, −1, n und −n sind als die trivialen Teiler von n bekannt. Ein Teiler von n, der nicht ein trivialer Teiler ist, ist als ein nichttrivialer Teiler bekannt. Eine Zahl mit mindestens einem nichttrivialem Teiler ist als eine zerlegbare Zahl bekannt, während die Einheiten-1 und 1 und Primzahlen keine nichttrivialen Teiler haben.

Es gibt Teilbarkeitsregeln, die erlauben, bestimmte Teiler einer Zahl von den Ziffern der Zahl anzuerkennen.

Wie man

sagen kann, ist die Generalisation das Konzept der Teilbarkeit in jedem integrierten Gebiet.

Beispiele

• 7 ist ein Teiler 42, weil, so können wir sagen. Es kann auch gesagt werden, dass 42 durch 7 teilbar ist, 42 ist ein Vielfache 7, 7 teilt sich 42, oder 7 ist ein Faktor 42.
• Die nichttrivialen Teiler 6 sind 2, −2, 3,

−3.

• Die positiven Teiler 42 sind 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
• Der Satz aller positiven Teiler 60, teilweise bestellt durch die Teilbarkeit, hat das Diagramm von Hasse:

Weitere Begriffe und Tatsachen

Es gibt einige elementare Regeln:

• Wenn und, dann. Das ist die transitive Beziehung.
• Wenn und, dann oder.
• Wenn und, dann ist es dass NICHT immer wahr (z.B und aber 5 teilt sich 6 nicht). Jedoch, wenn und, dann wahr ist, wie ist.

Die vertikale verwendete Bar ist Unicode "Teilt" Charakter, Codepunkt U+2223 und geschrieben in TeX als:. Sein verneintes Symbol ist , oder geschrieben in TeX als:. In einer ASCII-einzigen Umgebung wird die vertikale Standardbar "|", der ein bisschen kürzer ist, häufig verwendet.

Wenn, und gcd, dann. Das wird das Lemma von Euklid genannt.

Wenn eine Primzahl und dann oder (oder beide) ist.

Dessen positiver Teiler davon verschieden ist, wird einen richtigen Teiler oder einen aliquoten Teil dessen genannt. Eine Zahl, die nicht gleichmäßig teilt, aber einen Rest verlässt, wird einen aliquant Teil dessen genannt.

Eine ganze Zahl, deren nur richtiger Teiler 1 ist, wird eine Primzahl genannt. Gleichwertig ist eine Primzahl eine positive ganze Zahl, die genau zwei positive Faktoren hat: 1 und es.

Jeder positive Teiler dessen ist ein Produkt von Hauptteilern von erhobenen zu etwas Macht. Das ist eine Folge des Hauptsatzes der Arithmetik.

Wenn eine Zahl der Summe seiner richtigen Teiler gleichkommt, wie man sagt, ist es eine vollkommene Zahl. Wie man sagt, sind Zahlen weniger als die Summe ihrer richtigen Teiler reichlich, während, wie man sagt, Zahlen, die größer sind als diese Summe, unzulänglich sind.

Die Gesamtzahl von positiven Teilern dessen ist eine Multiplicative-Funktion, das bedeutend, wenn zwei Zahlen und dann relativ erst sind. Zum Beispiel; die acht Teiler 42 sind 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 und 42). Jedoch ist die Zahl von positiven Teilern nicht völlig multiplicative Funktion: Wenn die zwei Zahlen und der Anteil ein allgemeiner Teiler, dann könnte es nicht das wahr sein. Die Summe der positiven Teiler dessen ist eine andere Multiplicative-Funktion (z.B).. Beide dieser Funktionen sind Beispiele von Teiler-Funktionen.

Wenn der erste factorization dessen durch gegeben wird

:

dann ist die Zahl von positiven Teilern dessen

:

und jeder der Teiler hat die Form

:

wo für jeden

Es kann das für irgendwelchen natürlich die Ungleichheit gezeigt werden

Auch ihm kann gezeigt werden

das

:

Eine Interpretation dieses Ergebnisses ist, dass eine zufällig gewählte positive ganze Zahl n einen erwarteten hat

Zahl von Teilern ungefähr.

In der abstrakten Algebra

Die Beziehung der Teilbarkeit verwandelt den Satz von natürlichen Zahlen in einen teilweise bestellten Satz tatsächlich in ein ganzes verteilendes Gitter. Das größte Element dieses Gitters ist 0, und das kleinste ist 1. Die entsprechen Operation ^ wird durch den größten allgemeinen Teiler und die Verbindungslinie-Operation v durch kleinstes Gemeinsames Vielfaches gegeben. Dieses Gitter ist zum Doppel-vom Gitter von Untergruppen der unendlichen zyklischen Gruppe isomorph.

Siehe auch

• Arithmetische Funktionen
• Teilbarkeitsregel
• Teiler-Funktion
• Der Algorithmus von Euklid
• Bruchteil (Mathematik)
• Tisch von Teilern - Ein Tisch von Haupt- und Nichthauptteilern für 1-1000
• Tisch von Hauptfaktoren - Ein Tisch von Hauptfaktoren für 1-1000

Referenzen

• Richard K. Guy, Ungelöste Probleme in der Zahlentheorie (3. Hrsg.), Springer Verlag, 2004 internationale Standardbuchnummer 0-387-20860-7; Abschnitt B.
• Erz von Oystein, Zahlentheorie und seine Geschichte, McGraw-Hügel, New York, 1944 (und Nachdrücke von Dover).