In der Funktionsanalyse wird ein Banachraum (oder mehr allgemein ein lokal konvexer topologischer Vektorraum) reflexiv genannt, wenn es mit dem Doppel-von seinem Doppelraum in den topologischen und algebraischen Sinnen zusammenfällt. Reflexive Banachräume werden häufig durch ihre geometrischen Eigenschaften charakterisiert.

Definitionen

Räume von Normed

Denken Sie X ist ein normed Vektorraum über R oder C. Wir zeigen durch seinen dauernden Doppel-, d. h. der Raum aller dauernden geradlinigen Karten von X bis das Grundfeld an. Wie erklärt, im Doppelraumartikel, ist ein Banachraum. Wir können den doppelten Doppel-, den dauernden Doppel-davon bilden. Es gibt eine natürliche dauernde geradlinige Transformation

:J: X →

definiert durch

:J (x) (φ) = φ (x) für jeden x in X und φ.

D. h. J stellt x zum funktionellen auf dem gegebenen durch die Einschätzung an x kartografisch dar. Demzufolge des Hahn-Banach Lehrsatzes ist J Norm-Bewahrung (d. h., || J (x) || = || x) und folglich injective. Der Raum X wird reflexiv genannt, wenn J bijektiv ist. (Das deutet an, dass ein reflexiver normed Raum ein Banachraum ist, da X zum ganzen Raum isometrisch sein muss.) Wird der Raum X quasireflexiv genannt (des Auftrags d), wenn X ′′/J (X) begrenzte Dimension d hat.

Lokal konvexe Räume

Wenn X ein lokal konvexer topologischer Vektorraum ist, kann der dauernde Doppel-mit der starken Topologie, der Topologie der gleichförmigen Konvergenz auf begrenzten Teilmengen X ausgestattet werden. Lassen Sie zeigen diesen topologischen Vektorraum, genannt die starken Doppel-von X an. Wenn das kanonische Einbetten J X in den Doppel-davon bijektiv ist, dann X wird gesagt, halbreflexiv zu sein. Wenn, außerdem, die Topologie auf X mit der starken Topologie zusammenfällt, dann X wird gesagt, reflexiv zu sein.

Bemerken Sie Wenn angewandt, auf normed Räume, die Definitionen in dieser Abteilung fallen mit dem Begriff von reflexivity für normed Räume zusammen. Tatsächlich fällt die Norm-Topologie auf dem Doppel-von einem Banachraum X mit der starken Topologie zusammen, so dass, als topologischer Vektorraum ist der normed Raum die starken Doppel-von X. Außerdem fällt die Norm-Topologie auf X damit zusammen. Deshalb, X ist als topologischer Vektorraum reflexiv, wenn, und nur wenn es als normed Raum nämlich reflexiv ist, wenn die Einspritzung J bijektiv ist.

Beispiele

Jeder endlich-dimensionale normed Raum ist einfach reflexiv, weil in diesem Fall, der Raum, sein Doppel- und bidual alle dieselbe geradlinige Dimension haben, folglich ist die geradlinige Einspritzung J aus der Definition durch den Lehrsatz der Reihe-Ungültigkeit bijektiv.

Der Banachraum c Skalarfolgen, die zu 0 an der Unendlichkeit neigen, die mit der Supremum-Norm ausgestattet ist, ist nicht reflexiv. Es folgt aus den allgemeinen Eigenschaften unter diesem , und  sind nicht reflexiv, weil  zum Doppel-von c isomorph ist, und  zum Doppel-von  isomorph ist.

Alle Hilbert Räume sind reflexiv, wie die L Räume dafür sind