Christian Felix Klein (am 25. April 1849 - am 22. Juni 1925) war ein deutscher Mathematiker, der für seine Arbeit in der Gruppentheorie, komplizierte Analyse, nicht-euklidische Geometrie, und auf den Verbindungen zwischen Geometrie und Gruppentheorie bekannt ist. Erlangen sein 1872-Programm, Geometrie durch ihre zu Grunde liegenden Symmetrie-Gruppen klassifizierend, war eine ungeheuer einflussreiche Synthese von viel von der Mathematik des Tages.

Leben

Klein ist in Düsseldorf preußischen Eltern geboren gewesen; sein Vater war ein in der Provinz von Rhein aufgestellter Sekretär eines preußischen Staatsangestellten. Er hat dem Gymnasium in Düsseldorf, dann studierte Mathematik und Physik an der Universität Bonns, 1865-1866 beigewohnt, vorhabend, ein Physiker zu werden. Damals hat Julius Plücker Bonns Vorsitzenden der Mathematik und experimentellen Physik gehalten, aber als Klein sein Helfer 1866 geworden ist, war das Interesse von Plücker Geometrie. Klein hat sein Doktorat erhalten, das von Plücker von der Universität Bonns 1868 beaufsichtigt ist.

Plücker ist 1868 gestorben, sein Buch auf den Fundamenten der Liniengeometrie unvollständig verlassend. Klein war die offensichtliche Person, um den zweiten Teil des Neue Geometrie des Raumes von Plücker zu vollenden, und ist so bekannt gemacht mit Alfred Clebsch geworden, der sich zu Göttingen 1868 bewegt hatte. Klein hat Clebsch im nächsten Jahr, zusammen mit Besuchen nach Berlin und Paris besucht. Im Juli 1870, beim Ausbruch des Franco-preußischen Krieges, war er in Paris und musste das Land verlassen. Seit einer kurzen Zeit hat er als ein medizinischer regelmäßiger in der preußischen Armee gedient, bevor er des Vortragenden an Göttingen Anfang 1871 ernannt wird.

Erlangen hat Professor von Klein 1872 ernannt, als er nur 23 Jahre alt war. Darin wurde er von Clebsch stark unterstützt, der ihn als betrachtet hat, um wahrscheinlich der Hauptmathematiker seines Tages zu werden. Klein hat keine Schule an Erlangen gebaut, wo es wenige Studenten gab, und so war er zufrieden, ein Stuhl an Münchens Technische Hochschule 1875 angeboten zu werden. Dort haben er und Alexander von Brill fortgeschrittene Kurse vielen ausgezeichneten Studenten, z.B, Adolf Hurwitz, Walther von Dyck, Karl Rohn, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi, und Gregorio Ricci-Curbastro unterrichtet.

1875 hat Klein Anne Hegel, die Enkelin des Philosophen Georg Wilhelm Friedrich Hegel geheiratet.

Nach fünf Jahren an Technische Hochschule wurde Klein zu einem Vorsitzenden der Geometrie an Leipzig ernannt. Dort haben seine Kollegen Walther von Dyck, Rohn, Eduard Study und Friedrich Engel eingeschlossen. Die Jahre von Klein an Leipzig, 1880 bis 1886, haben im Wesentlichen sein Leben geändert. 1882 ist seine Gesundheit zusammengebrochen; in 1883-1884 wurde er durch Depression geplagt. Dennoch hat seine Forschung weitergegangen; seine Samenarbeit an hyperelliptischen Sigma-Funktionsdaten von ungefähr dieser Periode, 1886 und 1888 veröffentlicht.

Klein hat einen Stuhl an der Universität von Göttingen 1886 akzeptiert. Von da an bis zu seinem 1913-Ruhestand hat er sich bemüht, Göttingen als das Hauptmathematik-Forschungszentrum in der Welt wieder herzustellen. Und doch hat er nie geschafft, von Leipzig Göttingen seine eigene Rolle als der Führer einer Schule der Geometrie zu übertragen. An Göttingen hat er eine Vielfalt von Kursen, hauptsächlich auf der Schnittstelle zwischen Mathematik und Physik, wie Mechanik und potenzielle Theorie unterrichtet.

Das Forschungszentrum an Göttingen gegründeter Klein hat als ein Modell für das beste solchen Zentren weltweit gedient. Er hat wöchentliche Diskussionssitzungen eingeführt, und hat ein mathematisches Lesezimmer und Bibliothek geschaffen. 1895 hat Klein David Hilbert weg von Königsberg angestellt; diese Ernennung hat sich schicksalhaft erwiesen, weil Hilbert den Ruhm von Göttingen bis zu seinem eigenen Ruhestand 1932 fortgesetzt hat.

Unter der Chefredaktion von Klein ist Mathematische Annalen eine der sehr besten Mathematik-Zeitschriften in der Welt geworden. Gegründet von Clebsch, nur unter dem Management von Klein hat es getan der erste Rivale übertrifft dann die aus der Universität Berlins gestützte Zeitschrift von Crelle. Klein hat eine kleine Mannschaft von Redakteuren aufgestellt, die sich regelmäßig getroffen haben, demokratische Entscheidungen treffend. Die Zeitschrift hat sich auf die komplizierte Analyse, algebraische Geometrie und invariant Theorie spezialisiert (mindestens, bis Hilbert das Thema getötet hat). Es hat auch einen wichtigen Ausgang für die echte Analyse und die neue Gruppentheorie zur Verfügung gestellt.

Dank teilweise zu den Anstrengungen von Klein, Göttingen hat begonnen, Frauen 1893 einzulassen. Er hat die erste Doktorarbeit in der Mathematik beaufsichtigt, die an Göttingen durch eine Frau geschrieben ist; sie war Grace Chisholm Young, ein englischer Student von Arthur Cayley, den Klein bewundert hat.

1900 hat Klein begonnen, sich für die mathematische Instruktion in Schulen zu interessieren. 1905 hat er eine entscheidende Rolle in der Formulierung eines Plans gespielt, der dass die Ansätze der unterschiedlichen und Integralrechnung und des Funktionskonzepts empfiehlt, in Höheren Schulen unterrichtet werden. Diese Empfehlung wurde in vielen Ländern um die Welt allmählich durchgeführt. 1908 wurde Klein zu Vorsitzendem der Internationalen Kommission auf der Mathematischen Instruktion an Rom zu Internationalem Kongress von Mathematikern gewählt. Unter seiner Leitung hat der deutsche Zweig der Kommission viele Volumina auf dem Unterrichten der Mathematik an allen Niveaus in Deutschland veröffentlicht.

London Mathematische Gesellschaft hat Klein sein De Morgan Medal 1893 zuerkannt. Er wurde zu einem Mitglied der Königlichen Gesellschaft 1885 gewählt, und wurde seinem Orden von Copley 1912 verliehen. Er hat sich im nächsten Jahr wegen der kranken Gesundheit zurückgezogen, aber hat fortgesetzt, Mathematik an seinem Haus seit einigen Jahren mehr zu unterrichten.

Langweilige Angelegenheit von Klein der Titel von Geheimrat.

Er ist in Göttingen 1925 gestorben.

Arbeit

Die Doktorarbeit von Klein, auf der Liniengeometrie und seinen Anwendungen auf die Mechanik, hat die zweiten Grad-Linienkomplexe mit der Theorie von Weierstrass von elementaren Teilern klassifiziert.

Die ersten wichtigen mathematischen Entdeckungen von Klein wurden 1870 gemacht. In der Kollaboration mit Sophus Liegen, er hat die grundsätzlichen Eigenschaften der asymptotischen Linien auf der Oberfläche von Kummer entdeckt. Sie haben fortgesetzt, W-Kurven, Kurve-invariant unter einer Gruppe von projektiven Transformationen zu untersuchen. Es war Lüge, wer Klein ins Konzept der Gruppe vorgestellt hat, die eine Hauptrolle in seiner späteren Arbeit spielen sollte. Klein hat auch über Gruppen von Camille Jordan erfahren.

Klein hat die Flasche ausgedacht, die nach ihm, eine einseitige geschlossene Oberfläche genannt ist, die im dreidimensionalen Euklidischen Raum nicht eingebettet werden kann, aber es kann als ein Zylinder geschlungen zurück durch sich versenkt werden, um sich seinem anderen Ende vom "Inneren" anzuschließen. Es kann im Euklidischen Raum von Dimensionen 4 und höher eingebettet werden.

In den 1890er Jahren hat sich Klein mathematischer Physik, einem Thema zugewandt, von dem er weit nie gestreunt war, über das Gyroskop mit Arnold Sommerfeld schreibend. 1894 hat er die Idee von einer Enzyklopädie der Mathematik einschließlich seiner Anwendungen gestartet, die der Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften geworden sind. Dieses Unternehmen, das bis 1935 gelaufen ist, hat einen wichtigen normativen Verweis des fortdauernden Werts zur Verfügung gestellt.

Erlangen Programm

1871, während an Göttingen, Klein Hauptentdeckungen in der Geometrie gemacht hat. Er hat zwei Papiere Auf der So genannten Nicht-euklidischen Geometrie veröffentlicht zeigend, dass Euklidische und nicht-euklidische Geometrie in Betracht gezogen werden konnte, haben spezielle Fälle einer projektiven Oberfläche mit einer spezifischen konischen Abteilung angegrenzt. Das hatte die bemerkenswerte Folgeerscheinung, dass nicht-euklidische Geometrie entsprochen hat, wenn, und nur wenn Euklidische Geometrie war, Euklidische und nicht-euklidische Geometrie auf denselben Stand und Ende der ganzen Meinungsverschiedenheit stellend, die nicht-euklidische Geometrie umgibt. Cayley hat nie das Argument von Klein akzeptiert, es glaubend, kreisförmig zu sein.

Die Synthese von Klein der Geometrie als die Studie der Eigenschaften eines Raums, der invariant unter einer gegebenen Gruppe von Transformationen ist, die als das Erlangen Programm (1872) bekannt sind, hat tief die Evolution der Mathematik beeinflusst. Dieses Programm wurde im Eröffnungsvortrag von Klein als Professor an Erlangen dargelegt, obwohl es nicht die wirkliche Rede war, die er bei der Gelegenheit gegeben hat. Das Programm hat eine vereinigte Annäherung an die Geometrie vorgeschlagen, die geworden ist (und bleibt) die akzeptierte Ansicht. Klein hat gezeigt, wie die wesentlichen Eigenschaften einer gegebenen Geometrie von der Gruppe von Transformationen vertreten werden konnten, die jene Eigenschaften bewahren. So die Definition des Programms der Geometrie umfasste sowohl Euklidische als auch nicht-euklidische Geometrie.

Heute ist die Bedeutung der Beiträge von Klein zur Geometrie mehr als offensichtlich, aber nicht weil jene Beiträge jetzt als sonderbar oder falsch gesehen werden. Im Gegenteil sind jene Beiträge so viel ein Teil unseres gegenwärtigen mathematischen Denkens geworden, dass es für uns hart ist, ihre Neuheit und den Weg zu schätzen, auf den sie von allen seinen Zeitgenossen nicht sofort akzeptiert wurden.

Funktionstheorie

Klein hat seine Arbeit an der Funktionstheorie als sein Hauptbeitrag zur Mathematik, spezifisch seine Arbeit gesehen an:

• Die Verbindung zwischen bestimmten Ideen von der und invariant Theorie von Riemann,
• Zahlentheorie und abstrakte Algebra;
• Gruppentheorie;
• Geometrie mit mehr als 3 Dimensionen und Differenzialgleichungen besonders Gleichungen hat er, nämlich elliptische Modulfunktionen und Automorphic-Funktionen erfunden.

Klein hat gezeigt, dass die Modulgruppe das grundsätzliche Gebiet des komplizierten Flugzeugs um zu tessellate dieses Flugzeug bewegt. 1879 hat er auf die Handlung von PSL (2,7), Gedanke als ein Image der Modulgruppe geschaut und hat vorgeherrscht eine ausführliche Darstellung einer Oberfläche von Riemann hat heute den Klein quartic genannt. Er hat gezeigt, dass diese Oberfläche eine Kurve im projektiven Raum war, dass seine Gleichung x³y + y³z + z³x = 0 war, und dass seine Gruppe von symmetries PSL (2,7) des Auftrags 168 war. Der Theorie der algebraischen Funktionen und ihre Integrale seines Ueber Riemanns (1882) Vergnügen fungiert Theorie auf eine geometrische Weise, potenzielle Theorie und conformal mappings verbindend. Diese Arbeit hat sich auf Begriffe von der flüssigen Dynamik gestützt.

Klein hat Gleichungen des Grads> 4 gedacht, und hat sich besonders für das Verwenden transzendentaler Methoden interessiert, die allgemeine Gleichung des fünften Grads zu lösen. Auf die Methoden von Hermite und Kronecker bauend, hat er ähnliche Ergebnisse zu denjenigen von Brioschi erzeugt und hat fortgesetzt, das Problem mittels der icosahedral Gruppe völlig zu beheben. Diese Arbeit hat ihn dazu gebracht, eine Reihe von Papieren auf elliptischen Modulfunktionen zu schreiben.

In seinem 1884-Buch auf dem Ikosaeder hat Klein eine Theorie von Automorphic-Funktionen dargelegt, Algebra und Geometrie verbindend. Jedoch hat Poincaré einen Umriss seiner Theorie von Automorphic-Funktionen 1881 veröffentlicht, die zu einer freundlichen Konkurrenz zwischen den zwei Männern geführt haben. Beide haben sich bemüht, einen großartigen uniformization Lehrsatz festzusetzen und zu beweisen, der als ein capstone der erscheinenden Theorie dienen würde. Klein hat geschafft, solch einen Lehrsatz und im Skizzieren einer Strategie zu formulieren, um es zu beweisen. Aber während sie diese Arbeit getan hat, ist seine Gesundheit wie oben erwähnt zusammengebrochen.

Klein hat seine Arbeit an automorphic und elliptischen Modulfunktionen in einer vier Volumen-Abhandlung zusammengefasst, die mit Robert Fricke über eine Zeitdauer von ungefähr 20 Jahren geschrieben ist.

Einige seiner wichtigen Arbeiten

• Der Theorie der Algebraischen Functionen und ihre Integrale von Ueber Riemann (1882), auch verfügbar von Cornell
• Vorlesungen über das Ikosaeder und stirbt Auflösung der Gleichungen vom 5ten Rang (1884); englische Übersetzung von G. G. Morrice, Vorträgen auf dem Ikosaeder; und die Lösung von Gleichungen des Fünften Grads, (2. verbesserte Auflage, New York, 1914)
• Über hyperelliptische Sigmafunktionen Erster Aufsatz p. 323-356, Mathematik. Annalen, Bd. 27, (1886)
• Über hyperelliptische Sigmafunktionen Zweiter Aufsatz p. 357-387, Mathematik. Annalen, Bd. 32, (1888)
• Über sterben hypergeometrische Funktion (1894)
• Über lineare Differentialgleichungen der 2. Ordnung (1894)
• Theorie des Kreisels, verbinden Sie mit Arnold Sommerfeld (4 Volumina: 1897, 1898, 1903, 1910)
• Vorlesungen über sterben Theorie der elliptischen Modulfunktionen, Gelenk mit Robert Fricke (2 Volumina: 1890 und 1892)
• Mathematische Theorie der Spitze (Adresse von Princeton, New York, 1897)
• Vorträge über ausgewählte Fragen der Elementargeometrie (1895; englische Übersetzung von W. W. Beman und D. E. Smith, Berühmten Problemen der Elementaren Geometrie, Bostons, 1897)
• Evanston Kolloquium (1893) bevor hat der Kongress der Mathematik, gemeldet und hat durch Ziwet (New York, 1894) veröffentlicht
• Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus (Leipzig, 1908)
• "Vorlesungen über stirbt Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert" (2 Bände), Julius Springer Verlag, Berlin 1926 und 1927. S. Felix Klein Vorlesungen über stirbt Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert

Siehe auch

• Elliptische Modulfunktion
• Flasche von Klein
• Konfiguration von Klein
• Klein vier-Gruppen-
• Geometrie von Klein
• Modell von Klein
• Klein quadric
• Gruppe von Kleinian
• Schottky-Klein Hauptform
• Die Protokolle von Felix Klein

Bibliografie

Primär:

• 1887. "Der arithmetizing der Mathematik" in Ewald, William B., Hrsg., 1996. Von Kant zu Hilbert: Ein Quellbuch in den Fundamenten der Mathematik, 2 vols. Oxford Uni. Drücken Sie: 965-71.
• 1921. "Felix Klein gesammelte mathematische Abhandlungen" R. Fricke und A. Ostrowski (Hrsg.). Berlin, Springer. 3 Volumina. (Online-Kopie an GDZ)
• 1890. "Nicht-Euklidische Geometrie"

Sekundärer

• David Mumford, Caroline Series und die Perlen von David Wright Indra: Die Vision von Felix Klein. Cambridge Univ. Drücken. 2002.
• Tobies, Renate (mit Fritz König) Felix Klein. Teubner Verlag, Leipzig 1981.

Links

• Die Webseiten von Klein.
• Felix Klein, Klein Protokolle
• Felix Klein (Enzyklopädie Britannica)