Der Radius der Kreisbewegung oder gyradius ist der Name von mehreren zusammenhängenden Maßnahmen der Größe eines Gegenstands, einer Oberfläche oder eines Ensembles von Punkten. Es wird berechnet, weil die Wurzel Quadratentfernung der Teile der Gegenstände entweder von seinem Zentrum des Ernstes oder von einer gegebenen Achse bedeutet.

Anwendungen in der Strukturtechnik

In der Strukturtechnik wird der zweidimensionale Radius der Kreisbewegung verwendet, um den Vertrieb des bösen Schnittgebiets in einer Säule um seine centroidal Achse zu beschreiben. Der Radius der Kreisbewegung wird durch die folgende Formel gegeben

:oder:

wo ich der zweite Moment des Gebiets bin und A die Gesamtquerschnittsfläche ist. Der Kreisbewegungsradius ist im Schätzen der Steifkeit einer Säule nützlich. Jedoch, wenn die Hauptmomente des zweidimensionalen Kreisbewegungstensor nicht gleich sind, wird die Säule dazu neigen, sich um die Achse mit dem kleineren Hauptmoment zu verbiegen. Zum Beispiel wird eine Säule mit einem elliptischen Querschnitt dazu neigen, sich in der Richtung auf die kleinere Halbachse zu verbiegen.

Es kann auch die radiale Entfernung von einer gegebenen Achse genannt werden, an der die Masse eines Körpers konzentriert werden konnte, ohne die Rotationsträgheit des Körpers über diese Achse zu verändern.

In der Technik, wo sich Leute mit dauernden Körpern der Sache befassen, wird der Radius der Kreisbewegung gewöhnlich als ein Integral berechnet.

Anwendungen in der Mechanik

Der Radius der Kreisbewegung (r) über eine gegebene Achse kann in Bezug auf den Massenmoment der Trägheit I um diese Achse und die GesamtmassenM geschätzt werden;

:oder:

Ich bin ein Skalar, und bin nicht der Moment des Trägheitstensor.

Molekulare Anwendungen

In der Polymer-Physik wird der Radius der Kreisbewegung verwendet, um die Dimensionen einer Polymer-Kette zu beschreiben. Der Radius der Kreisbewegung eines besonderen Moleküls wird zu einem festgelegten Zeitpunkt als definiert:

:

R_ {\\mathrm {g}} ^ {2} \\stackrel {\\mathrm {def}} {= }\\\frac {1} {N} \sum_ {k=1} ^ {N} \left (\mathbf {r} _ {k} - \mathbf {r} _ {\\mathrm {bösartig}} \right) ^ {2},

</Mathematik>

wo die Mittelposition des monomers ist.

Wie ausführlich berichtet, unten ist der Radius der Kreisbewegung auch zur Mittelquadratentfernung der Wurzel zwischen dem monomers proportional:

:

R_ {\\mathrm {g}} ^ {2} \\stackrel {\\mathrm {def}} {= }\\\frac {1} {2N^ {2}} \sum_ {ich, j}

\left (\mathbf {r} _ {ich} - \mathbf {r} _ {j} \right) ^ {2}.

</Mathematik>

Als eine dritte Methode kann der Radius der Kreisbewegung auch durch das Summieren der Hauptmomente des Kreisbewegungstensor geschätzt werden.

Da die Kette conformations einer Polymer-Probe Quasiunendliche in der Zahl ist und sich ständig mit der Zeit ändert, muss der "Radius der Kreisbewegung, die" in der Polymer-Physik besprochen ist, gewöhnlich als ein bösartiger über alle Polymer-Moleküle der Probe und mit der Zeit verstanden werden. D. h. der Radius der Kreisbewegung, die gemessen wird, ist ein Durchschnitt mit der Zeit oder Ensemble:

:

R_ {\\mathrm {g}} ^ {2} \\stackrel {\\mathrm {def}} {= }\\\frac {1} {N} \langle \sum_ {k=1} ^ {N} \left (\mathbf {r} _ {k} - \mathbf {r} _ {\\mathrm {bösartig}} \right) ^ {2} \rangle,

</Mathematik>

wo die winkeligen Klammern den Ensemble-Durchschnitt anzeigen.

Ein entropically hat Polymer-Kette geregelt (d. h. in so genannten theta Bedingungen) folgt einem zufälligen Spaziergang in drei Dimensionen. Der Radius der Kreisbewegung für diesen Fall wird durch gegeben

:

Bemerken Sie, dass, obwohl die Kontur-Länge des Polymers vertritt, von der Polymer-Steifkeit stark abhängig ist und sich über Größenordnungen ändern kann. wird entsprechend reduziert.

Ein Grund, dass der Radius der Kreisbewegung ein interessantes Eigentum ist, besteht darin, dass es experimentell mit dem statischen leichten Zerstreuen sowie mit dem kleinen Winkelneutron - und Röntgenstrahl-Zerstreuen bestimmt werden kann. Das erlaubt theoretischen Polymer-Physikern, ihre Modelle gegen die Wirklichkeit zu überprüfen.

Der hydrodynamische Radius ist numerisch ähnlich, und kann mit Dynamic Light Scattering (DLS) gemessen werden.

Abstammung der Identität

Zu zeigen, dass die zwei Definitionen dessen, identisch

sind

wir multiplizieren zuerst den summand in der ersten Definition:

:

R_ {\\mathrm {g}} ^ {2} \\stackrel {\\mathrm {def}} {= }\\

\frac {1} {N} \sum_ {k=1} ^ {N} \left (\mathbf {r} _ {k} - \mathbf {r} _ {\\mathrm {bösartig}} \right) ^ {2} =

\frac {1} {N} \sum_ {k=1} ^ {N} \left [\mathbf {r} _ {k} \cdot \mathbf {r} _ {k} +

\mathbf {r} _ {\\mathrm {bösartig}} \cdot \mathbf {r} _ {\\mathrm {bösartig}}

- 2 \mathbf {r} _ {k} \cdot \mathbf {r} _ {\\mathrm {bösartig}} \right].

</Mathematik>

Das Ausführen der Summierung über die letzten zwei Begriffe und das Verwenden der Definition dessen geben die Formel

:R_ {\\mathrm {g}} ^ {2} \\stackrel {\\mathrm {def}} {= }\\

- \mathbf {r} _ {\\mathrm {bösartig}} \cdot \mathbf {r} _ {\\mathrm {bösartig}} +

\frac {1} {N} \sum_ {k=1} ^ {N} \left (\mathbf {r} _ {k} \cdot \mathbf {r} _ {k} \right).

</Mathematik>

Referenzen

• Grosberg AY und Khokhlov AR. (1994) Statistische Physik von Makromolekülen (übersetzt von Atanov YA), AIP Presse. Internationale Standardbuchnummer 1-56396-071-0
• Flory PJ. (1953) Grundsätze der Polymer-Chemie, Universität von Cornell, Seiten 428-429 (Kapitel X des Anhangs C o).