In der Mathematik, dem konvexen Rumpf oder konvexen Umschlag für einen Satz X von Punkten im Euklidischen Flugzeug oder Euklidischen Raum ist der minimale konvexe Satz, der X enthält. Zum Beispiel, wenn X eine begrenzte Teilmenge des Flugzeugs ist, kann der konvexe Rumpf vergegenwärtigt werden, weil die von einem Gummiband gebildete Gestalt ungefähr X gestreckt hat.

Formell kann der konvexe Rumpf als die Kreuzung aller konvexen Sätze definiert werden, die X, die Kreuzung aller Halbräume enthalten, die X oder der Satz aller konvexen Kombinationen von Punkten in X enthalten. Mit der letzten Definition können konvexe Rümpfe von Euklidischen Räumen bis willkürliche echte Vektorräume erweitert werden; sie können auch weiter zu orientiertem matroids verallgemeinert werden.

Das algorithmische Problem, den konvexen Rumpf eines begrenzten Satzes von Punkten im Flugzeug oder in niedrig-dimensionalen Euklidischen Räumen zu finden, ist eines der grundsätzlichen Probleme der rechenbetonten Geometrie.

Definitionen

Der konvexe Rumpf eines gegebenen ist X untergegangen kann als definiert werden

1. Der (einzigartige) minimale konvexe Satz, der X enthält
2. Die Kreuzung aller konvexen Sätze, die X enthalten
3. Die Kreuzung aller Halbräume, die X enthalten
4. Der Satz aller konvexen Kombinationen von Punkten in X

Es ist aus der ersten Definition nicht offensichtlich, dass es einen einzigartigen minimalen konvexen Satz gibt, der X, für jeden X enthält; jedoch ist die Kreuzung aller konvexen Sätze, die X enthalten, bestimmt, und es ist leicht zu sehen, dass es eine Teilmenge jedes anderen konvexen Satzes ist, der X enthält, so ist es genau der einzigartige minimale konvexe Satz, der X enthält. Jeder konvexe Satz, der X enthält, muss (durch die Annahme, dass es konvex ist), enthalten alle konvexen Kombinationen von Punkten in X, so wird der Satz aller konvexen Kombinationen in der Kreuzung aller konvexen Sätze enthalten, die X enthalten. Umgekehrt ist der Satz aller konvexen Kombinationen selbst ein konvexer Satz, der X enthält, so enthält er auch die Kreuzung aller konvexen Sätze, die X enthalten, und deshalb die durch diese zwei Definitionen gegebenen Sätze gleich sein müssen. Der Hyperflugzeug-Trennungslehrsatz beweist die Gleichwertigkeit zwischen diesen drei Definitionen und der vierten Definition als die Kreuzung aller Halbräume, die X enthalten.

Tatsächlich, gemäß dem Lehrsatz von Carathéodory, wenn X eine Teilmenge eines N-dimensional Vektorraums, konvexe Kombinationen am grössten Teil von N + ist, sind 1 Punkte in der Definition oben genügend. Das ist zum Ausspruch gleichwertig, dass der konvexe Rumpf X die Vereinigung des ganzen simplices mit an den meisten N+1 Scheitelpunkten von X ist.

Der Maschinenbediener des konvexen Rumpfs Conv hat die charakteristischen Eigenschaften eines Rumpf-Maschinenbedieners:

• Es ist umfassend, bedeutend, dass der konvexe Rumpf jedes Satzes X eine Obermenge X ist.
• Es nimmt nichtab, bedeutend, dass, für alle zwei Sätze X und Y mit X  Y, der konvexe Rumpf X eine Teilmenge des konvexen Rumpfs von Y ist.
• Es ist idempotent, bedeutend, dass für jeden X der konvexe Rumpf des konvexen Rumpfs X dasselbe als der konvexe Rumpf von X ist

Der konvexe Rumpf eines begrenzten Punkts ist untergegangen

Der konvexe Rumpf eines begrenzten Punkts ist untergegangen bildet einen konvexen polytope darin. Jeder solcher, dass Conv (P \{p}) einen Scheitelpunkt von Conv (P) genannt wird. Tatsächlich ist ein konvexer polytope darin der konvexe Rumpf seiner Scheitelpunkte.

Wenn die Punkte alle auf einer Linie sind, ist der konvexe Rumpf das Liniensegment, das sich den äußersten zwei Punkten anschließt. Im planaren Fall ist der konvexe Rumpf ein konvexes Vieleck, wenn alle Punkte auf derselben Linie nicht sind. Ähnlich in drei Dimensionen ist der konvexe Rumpf im Allgemeinen das minimale konvexe Polyeder, das alle Punkte im Satz enthält.

Wenn der Satz X eine nichtleere begrenzte Teilmenge des Flugzeugs ist (d. h. zweidimensional), können wir uns vorstellen, ein Gummiband zu strecken, so dass es den kompletten Satz X und dann die Ausgabe davon umgibt, ihm erlaubend, sich zusammenzuziehen; wenn es gespannt wird, schließt es den konvexen Rumpf X ein.

In zwei Dimensionen wird der konvexe Rumpf häufig in zwei polygonale Ketten, den oberen Rumpf und den niedrigeren Rumpf verteilt, sich zwischen dem leftmost und den niedrigstwertigen Punkten des Rumpfs streckend. Mehr allgemein, für Punkte in jeder Dimension in der allgemeinen Position, wird jede Seite des konvexen Rumpfs entweder aufwärts (das Trennen des Rumpfs von Punkten direkt darüber) oder abwärts orientiert; die Vereinigung der aufwärts liegenden Seiten bildet eine topologische Platte, den oberen Rumpf, und ähnlich bildet die Vereinigung der nach unten liegenden Seiten den niedrigeren Rumpf.

Berechnung von konvexen Rümpfen

In der rechenbetonten Geometrie sind mehrere Algorithmen bekannt, für den konvexen Rumpf für einen begrenzten Satz von Punkten und für andere geometrische Gegenstände zu schätzen.

Die Computerwissenschaft des konvexen Rumpfs bedeutet, eine eindeutige, effiziente Darstellung der erforderlichen konvexen Gestalt zu bauen. Die Kompliziertheit der entsprechenden Algorithmen wird gewöhnlich in Bezug auf n, die Zahl von Eingangspunkten, und h, die Zahl von Punkten auf dem konvexen Rumpf geschätzt.

Für Punkte in zwei und drei Dimensionen sind mit der Produktion empfindliche Algorithmen bekannt, die rechnen, der konvexe Rumpf rechtzeitig O (n loggen h). Für höhere Dimensionen d ist die Zeit, für den konvexen Rumpf zu schätzen, die Grenzfall-Produktionskompliziertheit des Problems vergleichend.

Hinzufügung von Minkowski und konvexe Rümpfe

Die Operation, konvexe Rümpfe zu nehmen, benimmt sich gut in Bezug auf die Hinzufügung von Minkowski von Sätzen.

• In einem echten Vektorraum, der Summe von Minkowski von zwei (nichtleeren) Sätzen S und S wird definiert, um der Satz S + S gebildet durch die Hinzufügung von Vektoren zu sein, die von den Summand-Sätzen mit dem Element klug

: S + S = {x + x: x  S und x  S\.

Mehr allgemein ist die Summe von Minkowski einer begrenzten Familie von (nichtleeren) Sätzen S der Satz, der durch die mit dem Element kluge Hinzufügung von Vektoren gebildet ist

:  S = { x: x  S\.

• Für alle Teilmengen S und S eines echten Vektorraums ist der konvexe Rumpf ihrer Summe von Minkowski die Summe von Minkowski ihrer konvexen Rümpfe

: Conv (S + S) = Conv (S) + Conv (S).

Dieses Ergebnis hält mehr allgemein für jede begrenzte Sammlung von nichtleeren Sätzen

: Conv ( S) =  Conv (S).

Mit anderen Worten tauschen die Operationen der Summierung von Minkowski und konvexe Rümpfe zu bilden, Operationen ein.

Diese Ergebnisse zeigen, dass sich Hinzufügung von Minkowski von der Vereinigungsoperation der Mengenlehre unterscheidet; tatsächlich braucht die Vereinigung von zwei konvexen Sätzen nicht konvex zu sein: Die Einschließung Conv (S)  Conv (T)  Conv (S  T) ist allgemein streng. Die Operation des konvexen Rumpfs ist für den Satz von konvexen Sätzen erforderlich, um ein Gitter zu bilden, in dem die "Verbindungslinie"-Operation der konvexe Rumpf der Vereinigung von zwei konvexen Sätzen ist

: Conv (S) Conv (T) = Conv (S  T) = Conv (Conv (S)  Conv (T)).

Beziehungen zu anderen geometrischen Strukturen

Die Delaunay Triangulation eines Punkts ist untergegangen, und seine Doppel-, das Voronoi Diagramm, sind mathematisch mit konvexen Rümpfen verbunden: Die Triangulation von Delaunay eines Punkts hat eingesetzt R kann als der Vorsprung eines konvexen Rumpfs in R angesehen werden.

Anwendungen

Das Problem, konvexe Rümpfe zu finden, findet seine praktischen Anwendungen in Muster-Anerkennung, Bildverarbeitung, Statistik, GIS und statischer Codeanalyse durch die abstrakte Interpretation. Es dient auch als ein Werkzeug, ein Baustein für mehrere andere rechenbetont-geometrische Algorithmen wie die rotierende Tastzirkel-Methode, für die Breite und das Diameter eines Punkt-Satzes zu schätzen.

Siehe auch

• Rumpf von Affine
• Geradliniger Rumpf
• Krein-Milman Lehrsatz
• Theorie von Choquet
• Holomorphically konvexer Rumpf
• Orthogonaler konvexer Rumpf
• Oloid
• Der Lehrsatz von Helly

Referenzen

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Links

• "Konvexer Rumpf" durch Eric W. Weisstein, Wolfram-Demonstrationsprojekt, 2007.