In der Mathematik ist eine ganze Kategorie eine Kategorie, in der alle kleinen Grenzen bestehen. D. h. eine Kategorie C ist wenn jedes Diagramm F abgeschlossen: J  C, wo J klein ist, hat eine Grenze in C. Doppel-ist eine cocomplete Kategorie diejenige, in der alle kleinen colimits bestehen. Eine bicomplete Kategorie ist eine Kategorie, die sowohl abgeschlossen ist als auch cocomplete.

Die Existenz aller Grenzen (selbst wenn J eine richtige Klasse ist) ist zu stark, um praktisch wichtig zu sein. Jede Kategorie mit diesem Eigentum ist notwendigerweise eine dünne Kategorie: Für irgendwelche zwei Gegenstände kann es am grössten Teil eines morphism von einem Gegenstand bis den anderen geben.

Eine schwächere Form der Vollständigkeit ist die der begrenzten Vollständigkeit. Eine Kategorie ist begrenzt abgeschlossen, wenn alle begrenzten Grenzen (d. h. Grenzen von Diagrammen bestehen, die durch eine begrenzte Kategorie J mit einem Inhaltsverzeichnis versehen sind). Doppel-ist eine Kategorie begrenzt cocomplete, wenn alle begrenzten colimits bestehen.

Lehrsätze

Es folgt aus dem Existenz-Lehrsatz für Grenzen, dass eine Kategorie abgeschlossen ist, wenn, und nur wenn es Equalizer (von allen Paaren von morphisms) und alle (kleinen) Produkte hat. Da Equalizer von Hemmnissen gebaut werden können und binäre Produkte (denken Sie das Hemmnis (f, g) entlang der Diagonale Δ), ist eine Kategorie abgeschlossen, wenn, und nur wenn es Hemmnisse und Produkte hat.

Doppel-ist eine Kategorie cocomplete, wenn, und nur wenn es coequalizers und den ganzen (kleinen) coproducts, oder, gleichwertig, pushouts und coproducts hat.

Begrenzte Vollständigkeit kann auf mehrere Weisen charakterisiert werden. Für eine Kategorie C ist der folgende die ganze Entsprechung:

• C, ist begrenzt abgeschlossen
• C hat Equalizer und alle begrenzten Produkte,
• C hat Equalizer, binäre Produkte und einen Endgegenstand,
• C hat Hemmnisse und einen Endgegenstand.

Die Doppelbehauptungen sind auch gleichwertig.

Eine kleine Kategorie C ist abgeschlossen, wenn, und nur wenn es cocomplete ist. Eine kleine ganze Kategorie ist notwendigerweise dünn.

Eine posetal Kategorie hat ausdruckslos alle Equalizer und coequalizers, woher ist es (begrenzt) abgeschlossen, wenn, und nur wenn es alle (begrenzten) Produkte, und Doppel-für cocompleteness hat. Ohne die Endlichkeitsbeschränkung ist eine posetal Kategorie mit allen Produkten automatisch cocomplete, und Doppel-durch einen Lehrsatz über ganze Gitter.

Beispiele und Gegenbeispiele

• Die folgenden Kategorien sind bicomplete:
• Satz, die Kategorie von Sätzen
• Spitze, die Kategorie von topologischen Räumen
• Grp, die Kategorie von Gruppen
• Ab, die Kategorie von abelian Gruppen
• Ring, die Kategorie von Ringen
• K-Vect', die Kategorie von Vektorräumen über Feld K
• R-Mod', die Kategorie von Modulen über einen Ersatzring R
• CmptH, die Kategorie aller Kompakträume von Hausdorff
• Katze, die Kategorie aller kleinen Kategorien
• Die folgenden Kategorien sind begrenzt abgeschlossen und begrenzt cocomplete, aber weder abgeschlossen noch cocomplete:
• Die Kategorie von begrenzten Sätzen
• Die Kategorie von begrenzten Gruppen
• Die Kategorie von endlich-dimensionalen Vektorräumen
• Jeder (pre) abelian Kategorie ist begrenzt abgeschlossen und begrenzt cocomplete.
• Die Kategorie von ganzen Gittern ist abgeschlossen, aber nicht cocomplete.
• Die Kategorie von metrischen Räumen, Entsprochen, ist begrenzt abgeschlossen, aber hat weder binären coproducts noch unendliche Produkte.
• Die Kategorie von Feldern, Feld, ist weder begrenzt abgeschlossen noch begrenzt cocomplete.
• Ein poset, betrachtet als eine kleine Kategorie, ist abgeschlossen (und cocomplete), wenn, und nur wenn es ein ganzes Gitter ist.
• Die teilweise bestellte Klasse aller Ordinalzahlen ist cocomplete, aber nicht abgeschlossen (da es keinen Endgegenstand hat).
• Eine Gruppe, betrachtet als eine Kategorie mit einem einzelnen Gegenstand, ist abgeschlossen, wenn, und nur wenn es trivial ist. Eine nichttriviale Gruppe hat Hemmnisse und pushouts, aber nicht Produkte, coproducts, Equalizer, coequalizers, Endgegenstände oder anfängliche Gegenstände.

Weiterführende Literatur