In der Mathematik, mehr spezifisch in der abstrakten Algebra und Ringtheorie, ist ein Euklidisches Gebiet (hat auch einen Euklidischen Ring genannt), ein Ring, der mit einer bestimmten Struktur - nämlich eine Euklidische Funktion ausgestattet sein kann, um im Detail unten beschrieben zu werden - der eine passende Generalisation des Euklidischen Algorithmus erlaubt. Dieser verallgemeinerte Euklidische Algorithmus kann zu vielem von demselben Gebrauch als der ursprüngliche Algorithmus von Euklid im Ring von ganzen Zahlen gestellt werden: In jedem Euklidischen Gebiet kann man den Euklidischen Algorithmus anwenden, um den größten allgemeinen Teiler irgendwelcher zwei Elemente zu schätzen. Insbesondere der größte allgemeine Teiler irgendwelcher zwei Elemente besteht und kann als eine geradlinige Kombination geschrieben werden

ihrer (Identität von Bézout). Auch jedes Ideal in einem Euklidischen Gebiet ist hauptsächlich, der eine passende Generalisation des Hauptsatzes der Arithmetik einbezieht: Jedes Euklidische Gebiet ist ein einzigartiges factorization Gebiet.

Es ist wichtig, die Klasse von Euklidischen Gebieten mit der größeren Klasse von idealen Hauptgebieten (PIDs) zu vergleichen. Ein willkürlicher PID hat ziemlich dasselbe "Struktureigenschaften" eines Euklidischen Gebiets (oder, tatsächlich, sogar des Rings von ganzen Zahlen), aber das Wissen einer ausführlichen Euklidischen Funktion gibt eine Greifbarkeit, die für algorithmische Anwendungen nützlich ist. Besonders ist die Tatsache, dass die ganzen Zahlen und jeder polynomische Ring in einer Variable über ein Feld Euklidische Gebiete in Bezug auf leicht berechenbare Euklidische Funktionen sind, von grundlegender Wichtigkeit in der rechenbetonten Algebra.

Also, in Anbetracht eines integrierten Gebiets R ist es häufig sehr nützlich zu wissen, dass R eine Euklidische Funktion hat: Insbesondere das deutet an, dass R ein PID ist. Jedoch, wenn es keine "offensichtliche" Euklidische Funktion gibt, dann ist Bestimmung, ob R ein PID ist, allgemein ein viel leichteres Problem als Bestimmung, ob es ein Euklidisches Gebiet ist.

Euklidische Gebiete erscheinen in der folgenden Kette von Klasseneinschließungen:

: Ersatzringe  integrierte Gebiete  integriert geschlossene Gebiete  einzigartige factorization Gebiete  ideale Hauptgebiete  Euklidische Gebiete  Felder

Motivation

Denken Sie den Satz von ganzen Zahlen mit den natürlichen Operationen + und . Das vertraute Konzept der langen Abteilung auf den ganzen Zahlen verlässt sich schwer auf die folgende Tatsache: In Anbetracht einer ganzen Zahl a und einer ganzen Nichtnullzahl b, dort besteht ganze Zahlen q und r mit = qb + r, und außerdem, mit r = 0 oder |r | geben ein Vielfache von b nach (die Vormultiplikation dieser Entität mit b), der a gibt. So für Felder und Abteilungsringe, dort besteht ein Vielfache von b, der genau mit a zusammenpasst. Natürlich braucht das nicht im Allgemeinen wahr zu sein (z.B es scheitert für die ganzen Zahlen), so wird die Beschränkung zu gerade "einem Vielfache von b genug in der Nähe von" entspannt. Die natürliche Frage zu fragen ist, was die Reihe der Grad-Funktion definiert wird, um zu sein. Zu vielen Zwecken, und insbesondere zum Zweck, den der Euklidische Algorithmus halten sollte, wird die Reihe definiert, um die natürlichen Zahlen zu sein. Das entscheidende Eigentum der natürlichen Zahlen hier besteht darin, dass sie gut bestellt werden.

Definition

Lassen Sie R ein integriertes Gebiet sein. Eine Euklidische Funktion auf R ist eine Funktion

die Zufriedenheit des folgenden grundsätzlichen Eigentums der Abteilung mit dem Rest:

• (EF1), Wenn a und b in R und b sind, ist Nichtnull, dann gibt es q und r in solchem R dass und entweder r = 0 oder.

Ein Euklidisches Gebiet ist ein integriertes Gebiet, das mit mindestens einer Euklidischer Funktion ausgestattet sein kann. Es ist wichtig zu bemerken, dass eine besondere Euklidische Funktion f nicht ein Teil der Struktur eines Euklidischen Gebiets ist: Im Allgemeinen wird ein Euklidisches Gebiet viele verschiedene Euklidische Funktionen zulassen.

Die meisten Algebra-Texte verlangen eine Euklidische Funktion, das folgende zusätzliche Eigentum zu haben:

• (EF2) Für die ganze Nichtnull a und b in R.

Jedoch kann man zeigen, dass (EF2) im folgenden Sinn überflüssig ist: jedes Gebiet R der

kann mit einer Funktion g ausgestattet sein (EF1) befriedigend, kann auch mit einer Funktion f ausgestattet sein (EF1) und (EF2) befriedigend: Tatsächlich für kann man f (a) wie folgt definieren. (Rogers 1971)

In Wörtern kann man f (a) definieren, um der minimale Wert zu sein, der durch g auf dem Satz aller Nichtnullelemente des durch a erzeugten Hauptideales erreicht ist.

Zeichen auf der Definition

Viele Autoren gebrauchen andere Begriffe wie "Grad-Funktion", "Schätzungsfunktion" "messen Funktion" oder "Norm-Funktion", im Platz der "euklidischen Funktion". Einige Autoren verlangen auch, dass das Gebiet der Euklidischen Funktion der komplette Ring R ist; das kann immer durch das Hinzufügen 1 zu den Werten an allen Nichtnullelementen und das Definieren der Funktion angepasst werden, 0 am Nullelement von R zu sein, aber das Ergebnis ist im Fall von K [X] etwas ungeschickt. Die Definition wird manchmal durch das Erlauben der Euklidischen Funktion verallgemeinert, seine Werte in jedem gut bestellten Satz zu nehmen; diese Schwächung betrifft die wichtigsten Implikationen des Euklidischen Eigentums nicht.

Das Eigentum (EF1) kann wie folgt neu formuliert werden: Für jedes Hauptideal I von R mit dem Nichtnullgenerator b klingeln alle Nichtnullklassen des Quotienten R/I haben einen vertretenden r damit. Da die möglichen Werte von f gut bestellt werden, kann dieses Eigentum durch den Beweis für jeden r (nicht in I) mit dem minimalen Wert von f (r) in seiner Klasse gegründet werden. Bemerken Sie, dass für eine Euklidische Funktion, die so gegründet wird, dort keine wirksame Methode zu bestehen braucht, q und r in (EF1) zu bestimmen.

Beispiele

Beispiele von Euklidischen Gebieten schließen ein:

• Jedes Feld. Definieren Sie f (x) = 1 für die ganze Nichtnull x.
• Z, der Ring von ganzen Zahlen. Definieren Sie f (n) = n, der absolute Wert von n.
• Z [ich], der Ring von ganzen Zahlen von Gaussian. Definieren Sie f (+ bi) = + b, die karierte Norm der ganzen Zahl von Gaussian + bi.
• Z [ω] (wo ω eine Würfel-Wurzel 1 ist), der Ring von ganzen Zahlen von Eisenstein. Definieren Sie f (+ bω) = − ab + b, die Norm der ganzen Zahl von Eisenstein + bω.
• K [X], der Ring von Polynomen über Feld K. Für jedes Nichtnullpolynom P, definieren Sie f (P), um der Grad von P zu sein.
• K
• Jeder getrennte Schätzungsring. Definieren Sie f (x), um die höchste Macht der maximalen idealen M zu sein, die x enthält (gleichwertig, zur Macht des Generators des maximalen Ideales, dass x zu vereinigt wird). Der vorherige Fall K
• Ein Dedekind Gebiet mit begrenzt vielen Nichtnullhauptidealen P..., P. Definieren Sie, wo die getrennte Schätzung entsprechend dem idealen P. (Samuel 1971) ist

Eigenschaften

Lassen Sie R ein Gebiet und f eine Euklidische Funktion auf R sein. Dann:

• R ist ein ideales Hauptgebiet. Tatsächlich, wenn ich ein Nichtnullideal von R dann bin, ist jedes Element I\{0} mit dem minimalen Wert (auf diesem Satz) f (a) ein Generator von mir. Demzufolge ist R auch ein einzigartiges factorization Gebiet und ein Ring von Noetherian. In Bezug auf allgemeine ideale Hauptgebiete ist die Existenz von factorizations (d. h., dass R ein Atomgebiet ist) besonders leicht, sich in Euklidischen Gebieten zu erweisen: Eine Euklidische Funktion f wählend (EF2) befriedigend, kann x keine Zergliederung in mehr haben als f (x) Nichteinheitsfaktoren, so mit x anfangend und wiederholt reduzierbare Faktoren zersetzend, werden verpflichtet, einen factorization in nicht zu vereinfachende Elemente zu erzeugen.
• Jedes Element von R, an dem f seinen allgemein minimalen Wert nimmt, ist invertible in R. Wenn ein f, der (EF2) befriedigt, gewählt wird, dann hält das gegenteilige auch, und f nimmt seinen minimalen Wert genau an den invertible Elementen von R.
• Wenn das Euklidische Eigentum algorithmisch ist, d. h., wenn es einen Abteilungsalgorithmus gibt, der für gegebenen a und Nichtnull b einen Quotienten q und Rest r mit erzeugt und entweder oder, dann kann ein verlängerter Euklidischer Algorithmus in Bezug auf diese Abteilungsoperation definiert werden.

Nicht jeder PID ist Euklidisch. Zum Beispiel, für d = −19, −43, −67, −163, ist der Ring von ganzen Zahlen dessen ein PID, der nicht Euklidisch ist, aber die Fälle d = −1, −2, −3, −7, −11 sind Euklidisch.

Jedoch, in vielen begrenzten Erweiterungen von Q mit der trivialen Klassengruppe, ist der Ring von ganzen Zahlen Euklidisch (nicht notwendigerweise in Bezug auf den absoluten Wert der Feldnorm; sieh unten).

Das Annehmen der verlängerten Hypothese von Riemann, wenn K eine begrenzte Erweiterung von Q und der Ring von ganzen Zahlen von K ist, ist ein PID mit einer unendlichen Zahl von Einheiten, dann ist der Ring von ganzen Zahlen Euklidisch.

Insbesondere gilt das für den Fall von völlig echten quadratischen numerischen Feldern mit der trivialen Klassengruppe.

Außerdem (und ohne ERH anzunehmen), wenn Feld K eine Erweiterung von Galois von Q ist, hat triviale Klassengruppe und Einheitsreihe, die ausschließlich größer ist als drei, dann ist der Ring von ganzen Zahlen Euklidisch.

Eine unmittelbare Folgeerscheinung davon ist, dass, wenn das numerische Feld Galois über Q ist, seine Klassengruppe trivial ist und die Erweiterung Grad hat, der größer ist als 8 dann, ist der Ring von ganzen Zahlen notwendigerweise Euklidisch.

Mit der Norm euklidische Felder

Felder der algebraischen Zahl K kommen mit einer kanonischen Norm-Funktion auf ihnen: Der absolute Wert der Feldnorm N, der ein algebraisches Element α zum Produkt des ganzen Konjugierens von α nimmt. Diese Norm stellt den Ring von ganzen Zahlen eines numerischen Feldes K sagen wir O zu den nichtnegativen vernünftigen ganzen Zahlen kartografisch dar, so ist es ein Kandidat, um eine Euklidische Norm auf diesem Ring zu sein. Wenn diese Norm die Axiome einer Euklidischen Funktion dann befriedigt, wird das numerische Feld K mit der Norm euklidisch genannt. Genau genommen ist es der Ring von ganzen Zahlen, der Euklidisch ist, da Felder trivial Euklidische Gebiete sind, aber die Fachsprache ist normal.

Wenn ein Feld dann nicht mit der Norm euklidisch ist, bedeutet das nicht, dass der Ring von ganzen Zahlen gerade nicht Euklidisch ist, dass die Feldnorm die Axiome einer Euklidischen Funktion nicht befriedigt. Tatsächlich gibt es Beispiele von numerischen Feldern, deren Ring von ganzen Zahlen euklidisch, aber, ein einfaches Beispiel nicht mit der Norm euklidisch ist, das das quadratische Feld ist. Entdeckung aller dieser Felder ist ein offenes Hauptproblem besonders im quadratischen Fall.

Die mit der Norm euklidischen quadratischen Felder sind völlig klassifiziert worden, sie sind, wo d die Werte nimmt

:−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73.

Zeichen

• John B. Fraleigh, Victor J. Katz. Eine Vorspeise in der abstrakten Algebra. Addison Wesley Publishing Company. 5 Hrsg., 1967. Internationale Standardbuchnummer 0-201-53467-3
• Pierre Samuel, "Über Euklidische Ringe", Zeitschrift der Algebra 19 (1971) 282-301.