Der stereografische Vorsprung, in der Geometrie, ist eine Einzelheit kartografisch darstellend (Funktion), die einen Bereich auf ein Flugzeug plant. Der Vorsprung wird auf dem kompletten Bereich definiert, außer einmal - der Vorsprung-Punkt. Wo es definiert wird, kartografisch darzustellen, ist glatt und bijektiv. Es ist conformal, bedeutend, dass es Winkel bewahrt. Es ist weder isometrisch noch bereichsbewahrt: D. h. es bewahrt weder Entfernungen noch die Gebiete von Zahlen.

Intuitiv, dann, ist der stereografische Vorsprung eine Weise, den Bereich als das Flugzeug mit einigen unvermeidlichen Kompromissen darzustellen. Weil der Bereich und das Flugzeug in vielen Gebieten der Mathematik und seiner Anwendungen erscheinen, so tut den stereografischen Vorsprung; es findet Gebrauch in verschiedenen Feldern einschließlich komplizierter Analyse, Kartenzeichnens, Geologie und Fotografie. In der Praxis wird der Vorsprung durch den Computer ausgeführt, oder durch die Hand mit einer speziellen Art von Graph-Papier hat einen stereonet oder Netz von Wulff genannt.

Geschichte

Der stereografische Vorsprung war Hipparchus, Ptolemy und wahrscheinlich früher zu den Ägyptern bekannt. Es war als der Himmelskarte-Vorsprung ursprünglich bekannt. Planisphaerium durch Ptolemy ist das älteste überlebende Dokument, das ihn beschreibt. Einer seines wichtigsten Gebrauches war die Darstellung von himmlischen Karten. Der Begriff Himmelskarte wird noch gebraucht, um sich auf solche Karten zu beziehen.

Es wird geglaubt, dass die frühste vorhandene Weltkarte, die von Gualterious Lud von St. Dié, Lorraine geschaffen ist, 1507 nach dem stereografischen Vorsprung basiert, jede Halbkugel als eine kreisförmige Platte kartografisch darstellend. Der äquatoriale Aspekt des stereografischen Vorsprungs, der allgemein für Karten der Ost- und Westhalbkugeln in den 17. und 18. Jahrhunderten (und das 16. Jahrhundert - Jean Roze 1542 verwendet ist; Rumold Mercator 1595), wurde von den alten Astronomen wie Ptolemy verwertet

François d'Aiguillon hat dem stereografischen Vorsprung seinen aktuellen Namen in seiner 1613-Arbeit Geschlecht von Opticorum libri philosophis juxta ac mathematicis utiles (Sechs Bücher der Optik gegeben, die für Philosophen und Mathematiker gleich nützlich ist).

Definition

Diese Abteilung konzentriert sich auf den Vorsprung des Einheitsbereichs vom Nordpol auf das Flugzeug durch den Äquator. Andere Formulierungen werden in späteren Abteilungen behandelt.

Der Einheitsbereich im dreidimensionalen Raum R ist der Satz von Punkten (x, y, z) solch dass x + y + z = 1. Lassen Sie N = (0, 0, 1) der "Nordpol" sein, und M der Rest des Bereichs sein zu lassen. Das Flugzeug z = 0 bohrt das Zentrum des Bereichs durch; der "Äquator" ist die Kreuzung des Bereichs mit diesem Flugzeug.

Für jeden Punkt P auf der M gibt es eine einzigartige Linie durch N und P, und diese Linie schneidet das Flugzeug z = 0 in genau einem Punkt P durch. Definieren Sie den stereografischen Vorsprung von P, um dieser Punkt P im Flugzeug zu sein.

In Kartesianischen Koordinaten (x, y, z) auf dem Bereich und (X, Y) auf dem Flugzeug, werden der Vorsprung und sein Gegenteil durch die Formeln gegeben

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In kugelförmigen Koordinaten (φ, θ) auf dem Bereich (mit φ der Zenit-Winkel, 0  φ  π, und θ der Azimut, 0  θ  2 π) und Polarkoordinaten (R, Θ) auf dem Flugzeug, sind der Vorsprung und sein Gegenteil

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Hier, wie man versteht, hat φ Wert π wenn R = 0. Außerdem gibt es viele Weisen, diese Formeln mit der trigonometrischen Identität umzuschreiben. In zylindrischen Koordinaten (r, θ, z) auf dem Bereich und den Polarkoordinaten (R, Θ) auf dem Flugzeug, sind der Vorsprung und sein Gegenteil

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Eigenschaften

Der stereografische in der vorhergehenden Abteilung definierte Vorsprung sendet den "Südpol" (0, 0, −1) zu (0, 0), der Äquator zum Einheitskreis, die südliche Halbkugel zum Gebiet innerhalb des Kreises und die Nordhemisphäre zum Gebiet außerhalb des Kreises.

Der Vorsprung wird am Vorsprung-Punkt-N = (0, 0, 1) nicht definiert. Die kleine Nachbarschaft dieses Punkts wird an Teilmengen des Flugzeugs weit weg von (0, 0) gesandt. Je näherer P dazu ist (0, 0, 1), desto entfernter sein Image von (0, 0) im Flugzeug ist. Aus diesem Grund ist es üblich, von (0, 0, 1) als kartografisch darstellend zur "Unendlichkeit" im Flugzeug, und des Bereichs als Vollendung des Flugzeugs durch das Hinzufügen eines "Punkts an der Unendlichkeit" zu sprechen. Dieser Begriff findet Dienstprogramm in der projektiven Geometrie und komplizierten Analyse. Auf einem bloß topologischen Niveau illustriert es, wie der Bereich homeomorphic zu einem Punkt compactification des Flugzeugs ist.

In Kartesianischen Koordinaten ein Punkt P (x, y, z) auf dem Bereich und seinem Image P′ (X, Y) auf dem Flugzeug sind entweder beide vernünftige Punkte oder keiner von ihnen:

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Stereografischer Vorsprung ist conformal, bedeutend, dass es die Winkel bewahrt, in denen Kurven einander durchqueren (sieh Zahlen). Andererseits bewahrt stereografischer Vorsprung Gebiet nicht; im Allgemeinen kommt das Gebiet eines Gebiets des Bereichs dem Gebiet seines Vorsprungs auf das Flugzeug nicht gleich. Das Bereichselement wird (X, Y) Koordinaten durch eingereicht

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Entlang dem Einheitskreis, wo X + Y = 1 es keine unendlich kleine Verzerrung des Gebiets gibt. Nahe (0 0) werden Gebiete durch einen Faktor 4 verdreht, und in der Nähe von der Unendlichkeit werden Gebiete durch willkürlich kleine Faktoren verdreht.

Das metrische wird (X, Y) Koordinaten durch eingereicht

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und ist die einzigartige Formel, die im Habilitationsschrift von Bernhard Riemann auf den Fundamenten der Geometrie gefunden ist, die an Göttingen 1854 geliefert ist, und hat Über berechtigt sterben Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen.

Keine Karte vom Bereich zum Flugzeug kann sowohl conformal als auch Bereichsbewahrung sein. Wenn es wäre, dann würde es eine lokale Isometrie sein und würde Krümmung von Gaussian bewahren. Der Bereich und das Flugzeug haben verschiedene Krümmungen von Gaussian, so ist das unmöglich.

Der conformality des stereografischen Vorsprungs bezieht mehrere günstige geometrische Eigenschaften ein. Kreise auf dem Bereich, die den Punkt des Vorsprungs nicht durchführen, werden zu Kreisen auf dem Flugzeug geplant. Kreise auf dem Bereich, die wirklich den Punkt des Vorsprungs durchführen, werden zu Geraden auf dem Flugzeug geplant. Von diesen Linien wird manchmal als Kreise durch den Punkt an der Unendlichkeit oder Kreise des unendlichen Radius gedacht.

Alle Linien im Flugzeug, wenn umgestaltet, in Kreise auf dem Bereich durch das Gegenteil des stereografischen Vorsprungs, schneiden einander an der Unendlichkeit durch. Parallele Linien, die sich im Flugzeug nicht schneiden, sind Tangente an der Unendlichkeit. So schneiden sich alle Linien im Flugzeug irgendwo im Bereich - entweder schräg an zwei Punkten oder tangently an der Unendlichkeit. (Ähnliche Bemerkungen halten über das echte projektive Flugzeug, aber die Kreuzungsbeziehungen sind dort verschieden.)

Die loxodromes des Bereichs stellen zu Kurven auf dem Flugzeug der Form kartografisch dar

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wo der Parameter Maßnahmen die "Beengtheit" des loxodrome. So entsprechen loxodromes logarithmischen Spiralen. Diese Spiralen schneiden radiale Linien im Flugzeug in gleichen Winkeln durch, wie die loxodromes Meridiane auf dem Bereich in gleichen Winkeln durchschneiden.

Der stereografische Vorsprung bezieht sich auf die Flugzeug-Inversion auf eine einfache Weise. Lassen Sie P und Q zwei Punkte auf dem Bereich mit Vorsprüngen P' und Q' auf dem Flugzeug sein. Dann sind P' und Q' umkehrende Images von einander im Image des äquatorialen Kreises, wenn, und nur wenn P und Q Nachdenken von einander im äquatorialen Flugzeug sind.

Mit anderen Worten, wenn:

• P ist ein Punkt auf dem Bereich, aber nicht der 'Nordpol' N und nicht sein Antipode, der 'Südpol' S,
• P' ist das Image von P in einem stereografischen Vorsprung mit dem Vorsprung-Punkt-N und
• P" ist das Image von P in einem stereografischen Vorsprung mit dem Vorsprung-Punkt-S,

dann sind P' und P" umkehrende Images von einander im Einheitskreis.

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Netz von Wulff

Stereografische Vorsprung-Anschläge können durch einen Computer mit den ausführlichen Formeln ausgeführt werden, die oben gegeben sind. Jedoch, um mit der Hand diese Formeln grafisch darzustellen, sind unhandlich; statt dessen ist es üblich, Graph-Papier entworfen spezifisch für die Aufgabe zu verwenden. Um dieses Graph-Papier zu machen, legt man einen Bratrost von Parallelen und Meridianen auf der Halbkugel, und plant dann stereografisch diese Kurven zur Platte. Das Ergebnis wird einen stereonet oder Netz von Wulff (genannt für den russischen Mineralogen George (Yuri Viktorovich) Wulff) genannt.

In der Zahl kann das bereichsverdrehende Eigentum des stereografischen Vorsprungs durch das Vergleichen eines Bratrost-Sektors in der Nähe vom Zentrum des Netzes mit einem am weiten Recht auf das Netz gesehen werden. Die zwei Sektoren haben gleiche Gebiete auf dem Bereich. Auf der Platte hat der Letztere fast viermal das Gebiet als der erstere; wenn man feineren und feineren Bratrost auf dem Bereich verwendet, dann nähert sich das Verhältnis der Gebiete genau 4.

Das winkeltreue Eigentum des Vorsprungs kann durch das Überprüfen der Bratrost-Linien gesehen werden. Parallelen und Meridiane schneiden sich rechtwinklig auf dem Bereich, und so ihre Images im Netz von Wulff.

Für ein Beispiel des Gebrauches des Netzes von Wulff, stellen Sie sich vor, dass wir zwei Kopien davon auf dünnem Papier, ein oben auf dem anderen haben, der ausgerichtet und an ihrem gegenseitigen Zentrum geheftet ist. Nehmen Sie an, dass wir den Punkt (0.321, 0.557, −0.766) auf der niedrigeren Einheitshalbkugel planen wollen. Dieser Punkt liegt auf einer Linie orientiert 60 ° gegen den Uhrzeigersinn von der positiven X-Achse (oder 30 ° im Uhrzeigersinn von der positiven Y-Achse) und 50 ° unter der Horizontalebene z = 0. Sobald diese Winkel bekannt sind, gibt es vier Schritte:

1. Das Verwenden der Bratrost-Linien, die 10 ° einzeln in den Zahlen hier unter Drogeneinfluss sind, kennzeichnet den Punkt am Rand des Netzes, das 60 ° gegen den Uhrzeigersinn vom Punkt (1, 0) (oder 30 ° im Uhrzeigersinn vom Punkt (0, 1)) ist.
2. Lassen Sie das Spitzennetz rotieren, bis dieser Punkt nach (1, 0) im untersten Netz ausgerichtet wird.
3. Mit den Bratrost-Linien im untersten Netz, kennzeichnen Sie den Punkt, der 50 ° zum Zentrum von diesem Punkt ist.
4. Lassen Sie das Spitzennetz entgegengesetzt dazu rotieren, wie es vorher orientiert wurde, um es in die Anordnung mit dem untersten Netz zurückzubringen. Der im Schritt 3 gekennzeichnete Punkt ist dann der Vorsprung, den wir gewollt haben.

Um andere Punkte zu planen, deren Winkel nicht solche runden Zahlen wie 60 ° und 50 ° sind, muss man zwischen den nächsten Bratrost-Linien visuell interpolieren. Es ist nützlich, ein Netz mit dem feineren Abstand zu haben, als 10 °; der Abstand von 2 ° ist üblich.

Um den Hauptwinkel zwischen zwei Punkten auf dem auf ihrem stereografischen Anschlag gestützten Bereich zu finden, überziehen Sie den Anschlag in einem Netz von Wulff und lassen Sie den Anschlag über das Zentrum rotieren, bis die zwei Punkte auf oder in der Nähe von einem Meridian liegen. Dann messen Sie den Winkel zwischen ihnen, indem Sie Bratrost-Linien entlang diesem Meridian aufzählen.

Image:Wulff Netz Hauptwinkel 1.jpg|Two spitzt P und P an, wird eine durchsichtige am Ursprung eines Netzes von Wulff geheftete Platte angezogen.

Image:Wulff Netz Hauptwinkel 2.jpg|The wird durchsichtige Platte rotieren gelassen, und der Hauptwinkel wird entlang dem allgemeinen Meridian zu beiden Punkten P und P gelesen.

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Andere Formulierungen und Generalisationen

Einige Autoren definieren stereografischen Vorsprung vom Nordpol (0, 0, 1) auf das Flugzeug z = &minus;1, der Tangente zum Einheitsbereich am Südpol (0, 0, &minus;1) ist. Die Werte X und durch diesen Vorsprung erzeugter Y sind genau zweimal diejenigen, die durch den äquatorialen in der vorhergehenden Abteilung beschriebenen Vorsprung erzeugt sind. Zum Beispiel sendet dieser Vorsprung den Äquator an den Kreis des Radius 2 in den Mittelpunkt gestellte am Ursprung. Während der äquatoriale Vorsprung keine unendlich kleine Bereichsverzerrung entlang dem Äquator erzeugt, erzeugt dieser Vorsprung der Pol-Tangente stattdessen keine unendlich kleine Bereichsverzerrung am Südpol.

Im Allgemeinen kann man einen stereografischen Vorsprung von jedem Punkt Q auf dem Bereich auf jedes Flugzeug E solch dass definieren

• E ist auf dem Diameter durch Q und rechtwinklig
• E enthält Q nicht.

So lange E diese Bedingungen, dann für jeden Punkt P anders entspricht als Q, entspricht die Linie durch P und Q E in genau einem Punkt P, der definiert wird, um der stereografische Vorsprung von P auf E zu sein.

Alle Formulierungen des stereografischen Vorsprungs beschrieben haben so weit dieselben wesentlichen Eigenschaften. Sie sind glatte Bijektionen (diffeomorphisms) definiert überall außer am Vorsprung-Punkt. Sie sind conformal und nicht Bereichsbewahrung.

Mehr allgemein kann stereografischer Vorsprung auf den N-Bereich S in (n + 1) - dimensionaler Euklidischer Raum E angewandt werden. Wenn Q ein Punkt von S und E ein Hyperflugzeug in E, dann der stereografische Vorsprung eines Punkts P  S &minus ist; {Q} ist der Punkt P der Kreuzung der Linie mit E.

Nehmen Sie noch mehr allgemein an, dass S eine (nichtsinguläre) Quadric-Hyperoberfläche im projektiven Raum P ist. Definitionsgemäß ist S der geometrische Ort von Nullen einer nichtsingulären quadratischen Form f (x..., x) in den homogenen Koordinaten x. Befestigen Sie jeden Punkt Q auf S und einem Hyperflugzeug E in P, der nicht Q enthält. Dann der stereografische Vorsprung eines Punkts P in S &minus; {Q} ist der einzigartige Punkt der Kreuzung mit E. Wie zuvor ist der stereografische Vorsprung conformal und invertible außerhalb eines "kleinen" Satzes. Der stereografische Vorsprung präsentiert die Quadric-Hyperoberfläche als eine vernünftige Hyperoberfläche. Dieser Aufbau spielt eine Rolle in der algebraischen Geometrie und conformal Geometrie.

Anwendungen innerhalb der Mathematik

Komplizierte Analyse

Obwohl jeder stereografische Vorsprung einen Punkt auf dem Bereich verpasst (der Vorsprung-Punkt), kann der komplette Bereich mit zwei Vorsprüngen von verschiedenen Vorsprung-Punkten kartografisch dargestellt werden. Mit anderen Worten kann der Bereich durch zwei stereografische parametrizations (die Gegenteile der Vorsprünge) vom Flugzeug bedeckt werden. Der parametrizations kann gewählt werden, um dieselbe Orientierung auf dem Bereich zu veranlassen. Zusammen beschreiben sie den Bereich als eine orientierte Oberfläche (oder zweidimensionale Sammelleitung).

Dieser Aufbau hat spezielle Bedeutung in der komplizierten Analyse. Der Punkt (X, Y) im echten Flugzeug kann mit der komplexen Zahl ζ = X + iY identifiziert werden. Der stereografische Vorsprung vom Nordpol auf das äquatoriale Flugzeug ist dann

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Ähnlich ξ = X &minus lassend; iY, eine andere komplizierte Koordinate, die Funktionen sein

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definieren Sie einen stereografischen Vorsprung vom Südpol auf das äquatoriale Flugzeug. Die Übergang-Karten zwischen dem ζ- und ξ-coordinates sind dann ζ = 1 / ξ und ξ = 1 / ζ mit ζ, der sich 0 nähert, als ξ zur Unendlichkeit, und umgekehrt geht. Das erleichtert einen eleganten und nützlichen Begriff der Unendlichkeit für die komplexen Zahlen und tatsächlich eine komplette Theorie von zum Bereich von Riemann kartografisch darstellenden Meromorphic-Funktionen. Der auf dem Einheitsbereich metrische Standard stimmt mit der im Bereich von Riemann metrischen Fubini-Studie überein.

Vergegenwärtigung von Linien und Flugzeugen

Der Satz aller Linien durch den Ursprung im dreidimensionalen Raum formt sich ein Raum hat das echte projektive Flugzeug genannt. Dieser Raum ist schwierig sich zu vergegenwärtigen, weil er im dreidimensionalen Raum nicht eingebettet werden kann.

Jedoch kann man sich es "fast" als eine Platte wie folgt vergegenwärtigen. Jede Linie durch den Ursprung schneidet die südliche Halbkugel z  0 in einem Punkt durch, der dann zu einem Punkt auf einer Platte stereografisch geplant werden kann. Horizontale Linien schneiden die südliche Halbkugel in zwei antipodischen Punkten entlang dem Äquator durch, von denen jeder zur Platte geplant werden kann; es wird verstanden, dass antipodische Punkte an der Grenze der Platte eine einzelne Linie vertreten. (Sieh Quotient-Topologie.), So kann jeder Satz von Linien durch den Ursprung fast vollkommen als eine Reihe von Punkten in einer Platte geschildert werden.

Außerdem schneidet jedes Flugzeug durch den Ursprung den Einheitsbereich in einem großen Kreis, genannt die Spur des Flugzeugs durch. Dieser Kreis stellt zu einem Kreis unter dem stereografischen Vorsprung kartografisch dar. So lässt der Vorsprung uns uns Flugzeuge vergegenwärtigen, weil Rundschreiben in der Platte funkt. Vor der Verfügbarkeit von Computern sind stereografische Vorsprünge mit großen Kreisen häufig mit Zeichnung von Kreisbogen des großen Radius verbunden gewesen, die Gebrauch eines Balken-Kompasses verlangt haben. Computer machen jetzt diese Aufgabe viel leichter.

Weiter vereinigt mit jedem Flugzeug ist eine einzigartige Linie, genannt den Pol des Flugzeugs, der den Ursprung durchführt und auf dem Flugzeug rechtwinklig ist. Diese Linie kann als ein Punkt auf der Platte geplant werden, wie jede Linie durch den Ursprung kann. So lässt der stereografische Vorsprung uns uns auch Flugzeuge als Punkte in der Platte vergegenwärtigen. Für Anschläge, die viele Flugzeuge einschließen, erzeugt das Plotten ihrer Pole ein weniger angefülltes Bild als das Plotten ihrer Spuren.

Dieser Aufbau wird verwendet, um sich Richtungsdaten in der Kristallographie und Geologie, wie beschrieben, unten zu vergegenwärtigen.

Andere Vergegenwärtigung

Stereografischer Vorsprung wird auch auf die Vergegenwärtigung von polytopes angewandt. In einem Diagramm von Schlegel wird ein n-dimensional polytope in R auf einen n-dimensional Bereich geplant, der dann auf R stereografisch geplant wird. Die Verminderung von R bis R kann das polytope leichtere machen, um sich zu vergegenwärtigen und zu verstehen.

Arithmetische Geometrie

In der elementaren arithmetischen Geometrie stellt der stereografische Vorsprung vom Einheitskreis ein Mittel zur Verfügung, den ganzen primitiven Pythagoreer zu beschreiben, verdreifacht sich. Spezifisch gibt der stereografische Vorsprung vom Nordpol (0,1) auf die X-Achse eine isomorphe Ähnlichkeit zwischen den Punkten der rationalen Zahl (x, y) auf dem Einheitskreis (mit y  1) und den vernünftigen Punkten der X-Achse. Wenn (m/n, 0) ein vernünftiger Punkt auf der X-Achse ist, dann ist sein umgekehrter stereografischer Vorsprung der Punkt

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der die Formel von Euklid für einen dreifachen Pythagoreer gibt.

Ersatz von Weierstrass

Vom Paar von trigonometrischen Funktionen kann als das Parametrisieren des Einheitskreises gedacht werden. Der stereografische Vorsprung gibt eine Alternative parametrization des Einheitskreises:

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Unter diesem reparametrization geht das Länge-Element dx des Einheitskreises zu durch

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Dieser Ersatz kann manchmal Integrale vereinfachen, die trigonometrische Funktionen einschließen.

Anwendungen auf andere Disziplinen

Kartenzeichnen

Sich das grundsätzliche Problem des Kartenzeichnens besteht darin, dass keine Karte vom Bereich zum Flugzeug beide Winkel genau vertreten kann (und so formt), und Gebiete. Im Allgemeinen werden bereichsbewahrende Karte-Vorsprünge für statistische Anwendungen bevorzugt, weil sie sich gut in Bezug auf die Integration benehmen, während winkeltreu (conformal) Karte-Vorsprünge werden für die Navigation bevorzugt.

Stereografischer Vorsprung fällt in die zweite Kategorie. Wenn der Vorsprung am Nord- oder Südpol der Erde in den Mittelpunkt gestellt wird, hat er zusätzliche wünschenswerte Eigenschaften: Es sendet Meridiane an Strahlen, die vom Ursprung und den Parallelen zu am Ursprung in den Mittelpunkt gestellten Kreisen ausgehen.

Kristallographie

In der Kristallographie sind die Orientierungen von Kristalläxten und Gesichtern im dreidimensionalen Raum eine geometrische Hauptsorge, zum Beispiel in der Interpretation des Röntgenstrahls und der Elektronbeugungsmuster. Diese Orientierungen können als in der Abteilungsvergegenwärtigung von Linien und Flugzeugen oben vergegenwärtigt werden. D. h. Kristalläxte und Pole zu Kristallflugzeugen werden mit der Nordhemisphäre durchgeschnitten und haben dann verwendenden stereografischen Vorsprung geplant. Ein Anschlag von Polen wird eine Pol-Zahl genannt.

In der Elektronbeugung erscheinen Linienpaare von Kikuchi als Bänder, die die Kreuzung zwischen Gitter-Flugzeug-Spuren und dem Bereich von Ewald so schmücken, der experimentellen Zugang zu einem stereografischen Vorsprung von Kristall zur Verfügung stellt. Modell Karten von Kikuchi im gegenseitigen Raum und Franse-Sichtbarkeitskarten für den Gebrauch mit Kurve-Konturen im direkten Raum, handelt so als Autokarten, um Orientierungsraum mit Kristallen im Übertragungselektronmikroskop zu erforschen.

Geologie

Forscher in der Strukturgeologie sind mit den Orientierungen von Flugzeugen und Linien aus mehreren Gründen beschäftigt. Die Blattbildung eines Felsens ist eine planare Eigenschaft, die häufig genannten lineation einer geradlinigen Eigenschaft enthält. Ähnlich ist ein Schuld-Flugzeug eine planare Eigenschaft, die geradlinige Eigenschaften wie slickensides enthalten kann.

Diese Orientierungen von Linien und Flugzeugen an verschiedenen Skalen können mit den Methoden der Vergegenwärtigung der Linien- und Flugzeug-Abteilung oben geplant werden. Als in der Kristallographie werden Flugzeuge normalerweise von ihren Polen geplant. Verschieden von der Kristallographie wird die südliche Halbkugel statt der nördlichen (weil die geologischen Eigenschaften fragliche Lüge unter der Oberfläche der Erde) verwendet. In diesem Zusammenhang wird der stereografische Vorsprung häufig den Vorsprung der niedrigeren Halbkugel des gleichen Winkels genannt. Der vom Lambert definierte Vorsprung der niedrigeren Halbkugel des gleichen Gebiets scheitelwinkliger Vorsprung des gleichen Gebiets wird auch besonders verwendet, wenn der Anschlag der nachfolgenden statistischen Analyse wie das Dichte-Umreißen unterworfen werden soll.

Fotografie

Einige Fischaugen-Objektive verwenden einen stereografischen Vorsprung, um eine breite Winkelansicht zu gewinnen. Im Vergleich zu traditionelleren Fischaugen-Objektiven, die einen Vorsprung des gleichen Gebiets verwenden, behalten Gebiete in der Nähe vom Rand ihre Gestalt, und Geraden werden weniger gebogen. Jedoch sind stereografische Fischaugen-Objektive normalerweise teurer, um zu verfertigen. Bildsoftware der kartografisch wiederdarstellenden, wie Panotools, erlaubt von Fotos von einem Fischauge des gleichen Gebiets bis einen stereografischen Vorsprung automatisch kartografisch wiederdarzustellen.

Der stereografische Vorsprung ist verwendet worden, um kugelförmige Panoramen kartografisch darzustellen. Das läuft auf Effekten hinaus, die als ein kleiner Planet bekannt sind (wenn das Zentrum des Vorsprungs der Nadir ist), und eine Tube (wenn das Zentrum des Vorsprungs der Zenit ist).

Die Beliebtheit, stereografische Vorsprünge zu verwenden, um Panoramen über andere scheitelwinklige Vorsprünge kartografisch darzustellen, wird der Gestalt-Bewahrung zugeschrieben, die sich aus dem conformality des Vorsprungs ergibt.

Siehe auch

• Astrolabium
• Astronomische Uhr
• Plattenmodell von Poincaré, des Hyperbelflugzeugs analog kartografisch darzustellen

Referenzen

Links

• Zeitraffer stereografischer Vorsprung
• Planetmath.org
• Tisch von Beispielen und Eigenschaften aller allgemeinen Vorsprünge, von radicalcartography.net
• Das dreidimensionale Java Applet
• Stereografischer Vorsprung und Inversion von der Knoten-Kürzung
• Beispiele von Miniplanet-Panoramen, Mehrheit im Vereinigten Königreich
• Beispiele von Miniplanet-Panoramen, Mehrheit in Tschechien
• Beispiele von Miniplanet-Panoramen, Mehrheit in Polen
• DoITPoMS lehrend und das Lernen des Pakets - "Der stereografische Vorsprung"