Eine Bijektion (oder bijektive Funktion oder isomorphe Ähnlichkeit) ist eine Funktion, die eine genaue Paarung der Elemente von zwei Sätzen gibt. Jedes Element eines Satzes wird mit genau einem Element des anderen Satzes paarweise angeordnet, und jedes Element des anderen Satzes wird mit genau einem Element des ersten Satzes paarweise angeordnet. (Es gibt keine allein stehenden Elemente.)

Eine Bijektion vom Satz X zum Satz Y hat eine umgekehrte Funktion von Y bis X. Wenn X und Y begrenzte Sätze sind, dann bedeutet die Existenz einer Bijektion, dass sie dieselbe Zahl der Elemente haben. Für unendliche Sätze ist das Bild komplizierter, zum Konzept der Grundzahl, eine Weise führend, die verschiedenen Größen von unendlichen Sätzen zu unterscheiden.

Eine bijektive Funktion von einem Satz bis sich wird auch eine Versetzung genannt.

Bijektive Funktionen sind für viele Gebiete der Mathematik einschließlich der Definitionen des Isomorphismus, homeomorphism, diffeomorphism, der Versetzungsgruppe und der projektiven Karte notwendig.

Definition

Um eine genaue Paarung zwischen X und Y zu haben (wo Y von X nicht verschieden zu sein braucht) müssen vier Eigenschaften halten:

1. jedes Element X muss mit mindestens einem Element von Y, paarweise angeordnet werden
2. kein Element X darf mit mehr als einem Element von Y, paarweise angeordnet werden
3. jedes Element von Y muss mit mindestens einem Element X, und paarweise angeordnet werden
4. kein Element von Y darf mit mehr als einem Element X paarweise angeordnet werden.

Die Zufriedenheit von Eigenschaften (1) und (2) Mittel, dass eine Bijektion eine Funktion mit dem Gebiet X ist. Es ist üblicher, Eigenschaften (1) und (2) schriftlich als eine einzelne Behauptung zu sehen: Jedes Element X wird mit genau einem Element von Y paarweise angeordnet. Wie man sagt, sind Funktionen, die Eigentum (3) befriedigen, "auf Y" und werden Surjektionen (oder Surjective-Funktionen) genannt. Wie man sagt, sind Funktionen, die Eigentum (4) befriedigen, "isomorphe Funktionen" und werden Einspritzungen (oder Injective-Funktionen) genannt. Mit dieser Fachsprache ist eine Bijektion eine Funktion, die sowohl eine Surjektion als auch eine Einspritzung oder das Verwenden anderer Wörter ist, ist eine Bijektion eine Funktion, die sowohl isomorph ist als auch darauf.

Beispiel

Als ein konkretes Beispiel einer Bijektion, denken Sie die eintretende Aufstellung einer Baseball-Mannschaft. Der Satz X wird die neun Spieler auf der Mannschaft sein, und der Satz wird Y die neun Positionen in der eintretenden Ordnung sein (1, 2, 3, usw.) Die "Paarung" wird gegeben, durch den Spieler worin Position in dieser Ordnung ist. Eigentum (1) ist zufrieden, da jeder Spieler irgendwo in der Liste ist. Eigentum (2) ist seit keinen Spieler-Fledermäusen in zwei (oder mehr) Positionen in der Ordnung zufrieden. Eigentum (3) sagt, dass für jede Position in der Ordnung es einen Spieler gibt, der in dieser Position und Eigentum (4) Staaten eintritt, mit denen zwei oder mehr Spieler in derselben Position in der Liste nie blinzeln.

Als ein anderes Beispiel, denken Sie die Beziehung zwischen dem Satz aller Erwachsenen in den Vereinigten Staaten und dem Satz aller Sozialversicherungsnummern (SSN'S) im aktuellen Gebrauch. (Für Nichtamerikaner, denken Sie an jede Sorte der regierungszugeteilten Kennnummer, z.B die nationalen Kennnummern von vielen Ländern.) Ideal dort sollte eine Bijektion bestehen, d. h. zwischen den zwei isomorph kartografisch darzustellen: Jeder Erwachsene hat einen SSN, und jeder SSN sollte genau einem Erwachsenem entsprechen. In solch einem Fall kann der SSN als ein einzigartiger Bezeichner eines bestimmten Individuums verwendet werden. Die vier Eigenschaften würden bedeuten:

1. Jede Person hat eine Sozialversicherungsnummer. (Nicht wahr in der Praxis: Einige Menschen, die Steuern nie bezahlt haben, haben sie nicht.)
2. Keine Person hat zwei oder mehr Sozialversicherungsnummern. (Auch nicht wahr. Einige Menschen haben vielfachen SSN'S z.B wegen Fehler in der Datenbank oder absichtlich, um Schwindel zu begehen.)
3. Jede Sozialversicherungsnummer entspricht einer Person. (Wahr durch die Annahme, da wir nur SSN'S im wirklichen Gebrauch denken.)
4. Keine Sozialversicherungsnummer entspricht vielfachen Leuten. (Wieder, nicht wahr. Ein SSN'S entspricht wirklich vielfachen Leuten wieder entweder wegen Datenbankfehler oder zu den Zwecken, Schwindel zu begehen.)

Gegenteile

Eine Bijektion f mit dem Gebiet X ("funktionell" angezeigt durch f: X  Y) definieren auch eine Beziehung, die in Y anfängt und zu X (durch das Umdrehen der Pfeile) geht. Der Prozess, "die Pfeile" für eine willkürliche Funktion umzudrehen, gibt keine Funktion gewöhnlich nach, aber Eigenschaften (3) und (4) einer Bijektion sagen, dass diese umgekehrte Beziehung eine Funktion mit dem Gebiet Y ist. Außerdem sagen Eigenschaften (1) und (2) dann, dass diese umgekehrte Funktion eine Surjektion und eine Einspritzung ist, d. h. besteht die umgekehrte Funktion und ist auch eine Bijektion. Wie man sagt, sind Funktionen, die umgekehrte Funktionen haben, invertible. Bijektionen sind die Invertible-Funktionen.

Festgesetzt in der kurzen mathematischen Notation ist eine Funktion bijektiv, wenn, und nur wenn es die Bedingung befriedigt

:for jeder dort ist ein einzigartiger damit.

Mit dem eintretenden Baseball-Aufstellungsbeispiel weitergehend, nimmt die Funktion, die definiert wird, als Eingang den Namen von einem der Spieler und Produktionen die Position dieses Spielers in der eintretenden Ordnung. Da diese Funktion eine Bijektion ist, hat sie eine umgekehrte Funktion, die als Eingang eine Position in der eintretenden Ordnung und den Produktionen der Spieler nimmt, der in dieser Position eintreten wird.

Zusammensetzung

Die Zusammensetzung von zwei Bijektionen und ist eine Bijektion. Das Gegenteil dessen ist.

Umgekehrt, wenn die Zusammensetzung von zwei Funktionen bijektiv ist, können wir nur sagen, dass f injective ist und g surjective ist.

Bijektionen und cardinality

Wenn X und Y begrenzte Sätze sind, dann dort besteht eine Bijektion zwischen den zwei Sätzen X und Y, wenn, und nur wenn X und Y dieselbe Zahl der Elemente haben. Tatsächlich, in der axiomatischen Mengenlehre, wird das als die Definition "derselben Zahl der Elemente" genommen, und diese Definition zu unendlichen Sätzen verallgemeinernd, führt zum Konzept der Grundzahl, eine Weise, die verschiedenen Größen von unendlichen Sätzen zu unterscheiden.

Beispiele und Nichtbeispiele

• Für jeden Satz X, die Identitätsfunktion, ist bijektiv.
• Die Funktion ist bijektiv, seitdem für jeden y gibt es einen einzigartigen solchen dass.
• Die Exponentialfunktion ist nicht bijektiv: Zum Beispiel, dort ist nicht solch, dass, zeigend, dass g nicht surjective ist. Jedoch, wenn der codomain auf die positiven reellen Zahlen eingeschränkt wird, dann wird g bijektiv; sein Gegenteil ist die natürliche Logarithmus-Funktion ln.
• Die Funktion ist nicht bijektiv: Zum Beispiel, Vertretung, dass h nicht injective ist. Jedoch, wenn das Gebiet darauf eingeschränkt wird, dann wird h bijektiv; sein Gegenteil ist die positive Quadratwurzel-Funktion.

Eigenschaften

• Eine Funktion ist bijektiv, wenn, und nur wenn sein Graph jede horizontale und vertikale Linie genau einmal entspricht.
• Wenn X ein Satz ist, dann bilden die bijektiven Funktionen von X bis sich, zusammen mit der Operation der funktionellen Zusammensetzung (), eine Gruppe, die symmetrische Gruppe X, der verschiedenartig durch S (X), S, oder X angezeigt wird! (X factorial).
• Bijektionen bewahren cardinalities von Sätzen: Für eine Teilmenge des Gebiets mit cardinality A und Teilmenge B des codomain mit cardinality B hat man die folgenden Gleichheiten:
• :f (A) = A und f (B) = B.
• Wenn X und Y begrenzte Sätze mit demselben cardinality sind, und, dann ist der folgende gleichwertig:
• # ist f eine Bijektion.
• # ist f eine Surjektion.
• # ist f eine Einspritzung.
• Für einen begrenzten Satz S gibt es eine Bijektion zwischen dem Satz der möglichen Gesamteinrichtung der Elemente und dem Satz von Bijektionen von S bis S. Das heißt, ist die Zahl von Versetzungen von Elementen von S dasselbe als die Zahl der Gesamteinrichtung dieses Satzes — nämlich, n!.

Bijektionen und Kategorie-Theorie

Bijektionen sind genau der Isomorphismus im Kategorie-Satz von Sätzen und Satz-Funktionen. Jedoch sind die Bijektionen nicht immer der Isomorphismus für kompliziertere Kategorien. Zum Beispiel, in der Kategorie Gr von Gruppen, muss der morphisms Homomorphismus sein, da sie die Gruppenstruktur bewahren müssen, so ist der Isomorphismus Gruppenisomorphismus, der bijektiver Homomorphismus ist.

Siehe auch

• Injective fungieren
• Surjective fungieren
• Bijektion, Einspritzung und Surjektion
• Symmetrische Gruppe
• Bijektives Zählen
• Bijektiver Beweis
• Cardinality
• Kategorie-Theorie
• Lehrsatz der Axt-Grothendieck

Referenzen

Dieses Thema ist ein grundlegendes Konzept in der Mengenlehre und kann in jedem Text gefunden werden, der eine Einführung in die Mengenlehre einschließt. Fast alle Texte, die sich mit einer Einführung ins Schreiben von Beweisen befassen, werden eine Abteilung auf der Mengenlehre einschließen, so kann das Thema in einigen von diesen gefunden werden:

Links

• Frühster Gebrauch von Einigen der Wörter der Mathematik: Der Zugang auf der Einspritzung, Surjektion und Bijektion hat die Geschichte der Einspritzung und verwandten Begriffe.